2025年高考数学压轴训练二十.docx

2025 年高考数学压轴训练 20
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•海淀区校级三模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 的左、右焦 点分别为 F1 ，F2 ，A 为双曲线右支上一点，连接 AF1 交y 轴于点B ．若△ ABF2 为等边三角形，则双曲线 C 的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．（2024•新郑市校级一模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 A1 ，A2 ，F 为 C 的 右焦点， C 的离心率为 2 ，若 P 为 C 右支上一点，满足 PF 丄 FA2 ，则 tan 上A1PA2 = ( )
A ． B ．1 C ． D ．2
3 ．（2024•浙江模拟）双曲线 的左、右焦点为 F1 ， F2 ，直线l 过点F2 且平行于 C
---→ ---
的一条渐近线， l 交 C 于点 P ，若 PF1 . PF2 = 0 ，则 C 的离心率为 ( )

A ． B ．2 C ． D ．3
4 ．（2024•江西一模） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点M 为 F1 关于
渐近线的对称点．若 ，且△ MF1F2 的面积为 8 ，则 C 的方程为 ( )
A ． B ． C ． D ．
5 ．（2024•山西模拟）设直线 x — 3y + m = 0(m ≠ 0) 与双曲线 相交于 A ， B 两点，若
线段 AB 中点的坐标是 (x0 ， y0 ) ，且 x0 : y0 = 4 : 3 ，则 )
A ． B ． C ． D ．2
6 ．（2024•辽宁模拟）已知定点 P(m, 0) ，动点 Q 在圆 O : x2 + y2 = 16 上，PQ 的垂直平分线交直线 OQ 于M 点，若动点M 的轨迹是双曲线，则m 的值可以是 ( )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
7 ．（2024•大武口区校级四模）双曲线 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ．过F2 作其中一条
渐近线的垂线，垂足为 P ．已知PF2 = 2 ，直线PF1 的斜率为 ，则双曲线的方程为 ( )
A ． B ． C ． D ．

1
8 ．（2024•天津模拟）如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，过 F1 的直线 与 C 分别在第一、二象限交于 A ，B 两点，ΔABF2 内切圆半径为 r ，若 | BF1 |= r = a ，则 C 的离心率为 ( )

A ． B ． C ． D ．
9．（2024•岳麓区校级模拟）已知 F1 ，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 上 ，
若椭圆的离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2 ，则 的最小值是 ( )
A ． B ． C ． D ．
10 ．（2024•临渭区校级模拟） 已知直线 y = x + 1 与双曲线 的两条渐近线交于 A ， B 两点，且点 A 在第一象限． O 为坐标原点，若 | OA |= 2 | OB | ，则双曲线 C 的离心率为 ( )
A ． B ． C ．2 D ．5
二．多选题（共 4 小题）
11 ．（2024•屯溪区校级模拟） 已知F1 ， F2 分别为双曲线 的左、右焦点，过 F2 的 直线 l 与圆 O : x2 + y2 = a2 相切于点M ， l 与第二象限内的渐近线交于点 Q ，则 ( )
A ．双曲线 C 的离心率
B ．若 | OF2 |:|MF2 |=| OQ |:| QM | ，则 C 的渐近线方程为
则 C 的渐近线方程为

D ．若 | QF2 |= 4 | MF2 | ，则 C 的渐近线方程为 y = ±2x
12．（2024•安徽模拟）已知双曲线 ，过原点的直线 AC ，BD 分别交双曲线于 A ，C 和B ，D 四 点 (A ， B ， C ， D 四点逆时针排列），且两直线斜率之积为 ，则下列结论正确的是 ( )
A ．四边形 ABCD 一定是平行四边形
B ．四边形 ABCD 可能为菱形

2
C ． AB 的中点可能为 (2, 2)
D ． tan 上AOB 的值可能为
13 ．（2024•新县校级模拟）双曲线 左、右顶点分别为 A ， B ， O 为坐标原点， 如图，已知动直线l 与双曲线 C 左、右两支分别交于 P ， Q 两点，与其两条渐近线分别交于 R ， S 两点， 则下列命题正确的是 ( )

A ．存在直线l ，使得 AP / /OR
B ． l 在运动的过程中，始终有 | PR |=| SQ |
C ．若直线l 的方程为 y = kx + 2 ，存在k ，使得 SΔORB 取到最大值
D ．若直线 l 的方程为 ， R--S = 2S(-) ，则双曲线 C 的离心率为
14 ．（2024•灌云县校级模拟）双曲线具有如下光学性质：如图F1 ，F2 是双曲线的左、右焦点，从右焦点F2

发出的光线 m 交双曲线右支于点P ，经双曲线反射后，反射光线 n 的反向延长线过左焦点F1 ．若双曲线 C 的方程为 则

A ．双曲线的焦点F2 到渐近线的距离为 ·、 B ．若 m 丄 n ，则 | PF1 || PF2 |= 42

C ．当 n 过点 Q(3, 6) 时，光线由F2 → P → Q 所经过的路程为 8
D ．反射光线 n 所在直线的斜率为 k ，则
三．填空题（共 5 小题）

3
15 ．（2024•浙江模拟）已知双曲线为双曲线的左右焦点，过F1 作斜率为正的直线 交双曲线左支于 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 )(y1 < y2 ) 两点，若 | AF1 |= 2a ， 上ABF2 = 90 ，则双曲线的离心率 是 ．
16．（2024•江宁区校级三模）已知双曲线 与直线 交于M ，N 两点（点M 位于第一象限），点 P 是直线l 上的动点，点 A ， B 分别为 C 的左、右顶点，当 sin 上APB 最大 时， 为坐标原点），则双曲线 C 的离心率 e = ．
17．（2024•闵行区二模）双曲线的左右焦点分别为 F1 、F2 ，过坐标原点的直线与 Γ 相交于 A 、 B 两点，若 则 ．

---→ ---→
18 ．（2024•咸安区校级模拟） 已知对任意平面向量 AB = (x, y) ，把 AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ 角得
→
到向量A(-)-P- = (x cosθ —y sinθ, x sinθ+ y cosθ) ，叫做把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转θ 角得到点P ．现将双
曲线上的每个点 M 绕坐标原点 O 沿逆时针方向旋转 4(兀) 后得到曲线 C ，则曲线 C 的方程
为 ．
19 ．（2024•辽宁模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1 (—c, 0) ，F2 (c, 0) ，过点 F1 作斜率为 的直线与 C 的右支交于点P ，且点M 满足 且 丄 则 C 的离心 率是 ．
四．解答题（共 6 小题）
20 ．（2024•盐湖区一模） 已知F1 、 F2 是双曲线的左、右焦点，直线l 经过双曲线的左焦点F1 ， 与双曲线左、右两支分别相交于 A 、 B 两点．
（1）求直线 l 斜率的取值范围；
若 求 ΔAOB 的面积．
21 ．（2024•江西模拟） 已知双曲线 的离心率为 2 ，顶点到渐近线的距离为 ．
（1）求 C 的方程；
（2）若直线 l : y = kx + 2 交 C 于 A ， B 两点， O 为坐标原点，且 ΔAOB 的面积为 求 k 的值．
22 ．（2024•浦东新区三模）已知双曲线 点 F1 、F2 分别为双曲线的左、右焦点，A(x1 ，y1 ) 、 B(x2 ， y2 ) 为双曲线上的点．

4
（1）求右焦点F2 到双曲线的渐近线的距离；
若 求直线 AB 的方程；

（3）若 AF1 / /BF2 ，其中 A 、B 两点均在x 轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形 AF1F2 B 的
面积的取值范围．
23 ．（2024•濮阳模拟） 已知双曲线 , F2 分别是 C 的左、右焦点．若 C 的离心率 e = 2 ，且点 (4, 6) 在 C 上．
（1）求 C 的方程．
（2）若过点F2 的直线l 与 C 的左、右两支分别交于 A ，B 两点（不同于双曲线的顶点），问： 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
24 ．（2024•青岛模拟）在平面内，若直线l 将多边形分为两部分，多边形在l 两侧的顶点到直线l 的距离之
和相等，则称 l 为多边形的一条“等线 ”，已知 O 为坐标原点，双曲线 的左，右 焦点分别为 F1 ， F2 ， E 的离心率为 2 ．点P 为 E 右支上一动点，直线 m 与曲线 E 相切于点P ，且与E 的 渐近线交于 A ， B 两点．当 PF2 丄 x 轴时，直线y = 1 为△ PF1F2 的等线．
（1）求 E 的方程；
若 是四边形 AF1BF2 的等线，求四边形 AF1BF2 的面积；
设 ，点 G 的轨迹为曲线 Γ , 证明： Γ 在点 G 处的切线 n 为△ AF1F2 的等线．
25 ．（2024•青羊区校级模拟） 已知双曲线 经过点P(4, 6) ，且离心率为 2．
（1）求 C 的方程；
（2）过点 P 作 y 轴的垂线，交直线 l : x =1 于点M ，交y 轴于点N ．设点 A ，B 为双曲线 C 上的两个动点， 直线 PA ， PB 的斜率分别为 k1 ， k2 ，若 k1 + k2 = 2 ，求 ．

5
2025 年高考数学压轴训练 20
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•海淀区校级三模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 的左、右焦 点分别为 F1 ，F2 ，A 为双曲线右支上一点，连接 AF1 交y 轴于点B ．若△ ABF2 为等边三角形，则双曲线 C 的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 C
【考点】双曲线的几何特征
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解
【分析】利用等边三角形的性质以及三角形全等，结合双曲线的几何性质，求出双曲线的离心率 e ． 【解答】解： 由题意，因为△ ABF2 为等边三角形，

所以 | AF2 |=| BF2 |=| AB | ， 上ABF2 = 上BAF2 = 上AF2 B = 60O ，

因为△F1BO 三 △ F2BO ，
所以 上BF1F2 = 30O ， 上AF2F1 = 90O ，即 AF2 丄 F1F2 ，故点 ，
则 解得 ．
故选： C ．
【点评】本题考查双曲线的几何性质的运用，双曲线离心率的求法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，

6
属于中档题．
2 ．（2024•新郑市校级一模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 A1 ，A2 ，F 为 C 的 右焦点， C 的离心率为 2 ，若 P 为 C 右支上一点，满足 PF 丄 FA2 ，则 tan 上A1PA2 = ( )
A ． B ．1 C ． D ．2
【答案】 A
【考点】双曲线的几何特征
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解
【分析】设点 P(x0 ， y0 ) ，由 C 的离心率可得b 、 c 与 a 的关系，再由PF 丄 FA2 ，求得 x0 = c ，将P(c, y0 )

代入 C 的方程，得 然后分类利用三角公式求解．

【解答】解：设点 P(x0 ， y0 ) ，
由 得 ，
PF 丄 FA2 ， :x0 = c ，将P(c, y0 ) 代入 C 的方程得 得 ，

同理可得当 时， tan 上 ．
故选： A ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，是中档题．
3 ．（2024•浙江模拟）双曲线 的左、右焦点为 F1 ， F2 ，直线l 过点F2 且平行于 C
的一条渐近线， l 交 C 于点 P ，若 则 C 的离心率为 ( )

A ． B ．2 C ． D ．3
【答案】 C
【考点】双曲线与平面向量
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】先求出直线l 的方程，联立直线与曲线方程，结合向量数量积的性质即可求解． 【解答】解： 由题意得， F1 (—c, 0) ， F2 (c, 0) ，直线l 的方程为 ，

7
联立 与 可得 若 则 丄
所以 | OP |=| OF2 |=| OF1 |= c ，
所以 化简得， ，
所以 ．
故选： C ．
【点评】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系及双曲线性质的应用，属于中档题．
4 ．（2024•江西一模） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点M 为 F1 关于 渐近线的对称点．若 ，且△ MF1F2 的面积为 8 ，则 C 的方程为 ( )
A ． B ． C ． D ． 【答案】 C
【考点】双曲线的几何特征
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】根据双曲线的性质可知 |MF1 |= 2b ，| OA |= a ，由条件得 | MF2 |= b ，根据三角形中位线，可得b = 2a ，
再结合 S△△ 即可求解．
【解答】解：因为 F1 关于 C 的一条渐近线的对称点为M ，
令渐近线为 ．即bx + ay = 0 ， F1 (—c, 0) ， 则 F1 到bx + ay = 0 的距离为 ， 所以 |MF1 |= 2b ，又 | OF1 |= c ．
所以 | OA |= a ，
因为 | MF1 |= 2 | MF2 | ，所以|MF2 |= b = 2a ， 又因为△ MF1F2 的面积为 8，
因为 且 ，

8
所以 S△△ ,
所以 ，即 ab = 4 ，又b = 2a ， 所以 a2 = 2 ， b2 = 8 ，
所以双曲线方程为． 故选： C ．

【点评】本题考查双曲线方程的应用，属于中档题．
5 ．（2024•山西模拟）设直线 x — 3y + m = 0(m ≠ 0) 与双曲线 相交于 A ， B 两点，若
线段 AB 中点的坐标是 (x0 ， y0 ) ，且 x0 : y0 = 4 : 3 ，则 )
A ． B ． C ． D ．2
【答案】 D
【考点】双曲线的中点弦
【专题】综合法；数学运算；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，化简整理所求值． 【解答】解：将 (x0 ， y0 ) 代入直线 x — 3y + m = 0(m ≠ 0) 中，得x0 — 3y0 + m = 0 ，
联立 x0 : y0 = 4 : 3 ，解得 ， ， 设 A(x1 ， y1 )B(x2 ， y2 ) ，
联立 x — 3y + m = 0 和双曲线 b2x2 — a2y2 = a2b2 ， 消去 x 得 (9b2 — a2 )y2 — 6b2 my + b2 (m2 — a2 ) = 0 ，

9
则△ = 36b4 m2 — 4b2 (9b2 — a2 )(m2 — a2 ) = 4a2b2 (9b2 + m2 — a2 ) > 0 ， 因此
整理得 a2 = 4b2 ，则 a = 2b ，
所以 ．
故选： D ．
【点评】本题考查双曲线的方程、直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
6 ．（2024•辽宁模拟）已知定点 P(m, 0) ，动点 Q 在圆 O : x2 + y2 = 16 上，PQ 的垂直平分线交直线 OQ 于M 点，若动点M 的轨迹是双曲线，则m 的值可以是 ( )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】 D
【考点】双曲线的性质
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算
【分析】当 P 在圆内时， 由几何性质可得 | MP | + | MO |= 4 >| OP |=| m | ，此时点M 的轨迹是以 O ， P 为焦 点的椭圆，当点 P 在圆上时，线段PQ 的中垂线交线段 OQ 于圆心 O ，当点 P 在圆外时，
| MP | — | MO |= 4 <| OP |=| m | ，此时点M 的轨迹是以 O ， P 为焦点的双曲线的一支，从而得到答案． 【解答】解：当 P 在圆内，设PQ 与圆的另一交点为 N ，设点H 为弦 NQ 的中点，
则 OH 丄 PQ ，线段 PQ 的中点E 在线段 HQ 内， 则线段 PQ 的中垂线交线段 OQ 于点M ，如图 1，

连接MP ，则 | QM |=| MP | ，
所以 | MP | + | MO |=| MQ | + | MO |=| OQ |= 4 ， 则 | MP | + | MO |= 4 >| OP |=| m | ，
此时M 的轨迹是以 O ， P 为焦点的椭圆，
当点 P 在圆上时，线段 PQ 的中垂线交线段 OQ 于圆心 O ， 当点 P 在圆外时，设 PQ 与圆的另一交点为 N ，
设点 H 为弦 NQ 的中点，则 OH 丄 PQ ，线段PQ 的中点 E 在线段 HP 内， 则线段 PQ 的中垂线交线段 QO 的延长线于点M ，如图 2，

连接MP ，则 | QM |=| MP | ，
所以 | MP | — | MO |=| MQ | — | MO |=| OQ |= 4 ，

10
则 | MP | - | MO |= 4 <| OP |=| m | ，
此时点M 的轨迹是以O ， P 为焦点的双曲线的一支，
同理当 Q 在圆上运动时，还会得到| MO | - | MP |= 4 <| OP |=| m | ， 所以动点M 的轨迹是双曲线，则点 P 在圆外，所以 | m |> r = 4 ． 综上可得， | m |> 4 ．
故选： D ．

【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，椭圆与双曲线定义的应用，求解动点轨迹的常见方法有：直接 法、定义法、代入法、消元法、交轨法等，属于中档题．
7 ．（2024•大武口区校级四模）双曲线 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ．过F2 作其中一条 渐近线的垂线，垂足为 P ．已知PF2 = 2 ，直线PF1 的斜率为 ，则双曲线的方程为 ( )
A ． B ． C ． D ． 【答案】 D
【考点】双曲线的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；方程思想；综合法；数学运算

11
【分析】根据对称性，不妨设双曲线的其中一条渐近线方程为 ，则过 F2 (c, 0) 且垂直渐近线 的
直线方程为 联立两直线方程求出 ，再根据题意建立方程，即可求解．
【解答】解：根据对称性，不妨设双曲线的其中一条渐近线方程为 ，
则过 F2 (c, 0) 且垂直渐近线 的直线方程为 ， 联立 可得 ，
又

又b = 2 ，
: 双曲线的方程为． 故选： D ．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属中档题．
8 ．（2024•天津模拟）如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，过 F1 的直线 与 C 分别在第一、二象限交于 A ，B 两点，ΔABF2 内切圆半径为 r ，若 | BF1 |= r = a ，则 C 的离心率为 ( )

A ． B ． C ． D ． 【答案】 D
【考点】双曲线的几何特征
【专题】数学运算；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法
【分析】根据双曲线定义和几何性质，结合圆的切线长定理与余弦定理即可求解． 【解答】解：如图，

12

设 | AB |= x ，内切圆圆心为I ，内切圆在 BF2 ， AF2 ， AB 上的切点分别为U ， V ， W ，

则 | BU |=| BW | ， | AV |=| AW | ， | F2 U |=| F2 V | ，

由 | BF1 |= a 及双曲线的定义可知，

故四边形 IUF2 V 是正方形，

得 AF2 丄 BF2 ，于是| BF2 |2 + | AF2 |2 =| AB |2 ，

故 x2 = 9a2 + (x — a)2 ，得 x = 5a ，
于是 cos 上 在△F1BF2 中， 由余弦定理可得：

从而 ．
故选： D ．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
9．（2024•岳麓区校级模拟）已知 F1 ，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 上 ，
若椭圆的离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2 ，则 的最小值是 ( )
A ． B ． C ． D ． 【答案】 A
【考点】双曲线的几何特征
【专题】数学运算；不等式；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法 【分析】 由椭圆与双曲线的定义，结合基本不等式的应用求解．
【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为 a1 ，双曲线的实半轴长为 a2 ，

13
则根据椭圆及双曲线的定义得： | PF1 | + | PF2 |= 2a1 ， | PF1 | - | PF2 |= 2a2 ， :| PF1 |= a1 + a2 ， | PF2 |= a1 - a2 ，

则在△ PF1F2 中， 由余弦定理得
化简得 a1(2) + 3a2(2) = 4c2 ，
即 ，

当且仅当 即 时等号成立， 故选： A ．

【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义，重点考查了基本不等式的应用，属中档题．
10 ．（2024•临渭区校级模拟） 已知直线 y = x + 1 与双曲线 的两条渐近线交于 A ， B 两点，且点 A 在第一象限． O 为坐标原点，若 | OA |= 2 | OB | ，则双曲线 C 的离心率为 ( )
A ． B ． C ．2 D ．5
【答案】 B
【考点】双曲线的几何特征

14
【专题】综合法；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】根据给定的双曲线方程求出渐近线方程，再与直线方程联立求出点 A ，B 的坐标，然后列式求出 a ， b 的关系即可．
【解答】解：双曲线 的渐近线方程为bx - ay = 0 和bx + ay = 0 ， 显然直线 y = x + 1与直线bx - ay = 0 交点在第一象限，则有 即b > a ，
由 解得 即点 ，
由 解得 即点 而 | OA |= 2 | OB | ， 即 整理得b = 3a ，
所以双曲线 C 的离心率 ．

故选： B ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．
二．多选题（共 4 小题）
11 ．（2024•屯溪区校级模拟） 已知F1 ， F2 分别为双曲线 的左、右焦点，过 F2 的 直线 l 与圆 O : x2 + y2 = a2 相切于点M ， l 与第二象限内的渐近线交于点 Q ，则 ( )
A ．双曲线 C 的离心率
B ．若 | OF2 |:|MF2 |=| OQ |:| QM | ，则 C 的渐近线方程为
则 C 的渐近线方程为

D ．若 | QF2 |= 4 | MF2 | ，则 C 的渐近线方程为 y = ±2x
【答案】 AC
【考点】求双曲线的离心率；双曲线的几何特征；求双曲线的渐近线方程
【专题】数学运算；综合法；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
利用 tan 上 可得 ，与渐近线斜率相比较即可构造不等式求得离心率 e ，知 A 正 确；根据斜率关系可知直线 OM 为双曲线 C 的一条渐近线，利用 cos 上QOF2 可构造方程求得B 正确；分别

15
利用 cos 上MOF1 和 cos 上QOF 可构造方程求得 CD 正误．

【解答】解：对于 A ， : OM 丄 MF2 ， | OF2 |= c ， | OM |= a ， ， tan 上 ， ，

又l 与第二象限内的渐近线交于点 Q ，
即 正确；
对于 B ， 由 A 知 又 OM 丄 ， : 直线 OM 即为双 曲线 C 的一条渐近线， | OF2 | - | MF2 |=| OQ |:| QM | ，
:| OQ |:| QM |= c : b ，又| OQ |2 - | QM |2 = a2 ， :| OQ |= c ， | QM |= b ， cos 上 tan 上 ，
整理可得： c2 - 2b2 = c2 - 2(c2 - a2 ) = -ac ，即 c2 - ac - 2a2 = 0 ， :e2 - e - 2 = (e - 2)(e +1) = 0 ，

: e = 2 ，即 解得： ， : C 的渐近线方程为 错误； 对于 上

: cos 上 整理可得： c2 - 5a2 = -2a2 ，
即 c2 = a2 + b2 = 3a2 ， b2 = 2a2 ， ， : C 的渐近线方程为 正确；
对于 D ， :| QF2 |= 4 |MF2 |= 4b ， :| QM |= 3b ， :

16

整理可得： (a2 — 3b2 )2 = a2 (a2 + 9b2 ) ，
即 ， : C 的渐近线方程为 错误． 故选： AC ．
【点评】本题考查双曲线离心率、渐近线的求解问题，解题关键是能够利用余弦定理和渐近线斜率构造关 于 a ， b ， c 的方程，进而求得双曲线的离心率和渐近线方程．是中档题．
12．（2024•安徽模拟）已知双曲线 ，过原点的直线 AC ，BD 分别交双曲线于 A ，C 和B ，D 四 点 (A ， B ， C ， D 四点逆时针排列），且两直线斜率之积为 ，则下列结论正确的是 ( )
A ．四边形 ABCD 一定是平行四边形
B ．四边形 ABCD 可能为菱形
C ． AB 的中点可能为 (2, 2)
D ． tan 上AOB 的值可能为
【答案】 AD
【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数
【专题】数学运算；综合法；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】运用双曲线的方程和性质，结合直线的斜率公式、点差法和对勾函数的性质，对选项分析可得结 论．
【解答】解： 由双曲线的中心对称性可知， A ， B 分别关于原点与 C ， D 对称， 故 OA = OC ， OB = OD ，所以四边形 ABCD 一定是平行四边形，
而直线 AC ， BD 斜率之积为 ，则 AC 与 BD 不垂直， 所以四边形 ABCD 不可能为菱形， A 正确， B 错；
设 ，则 ， 两式作差得
将 x1 + x2 = 4 ， y1 + y2 = 4 代入，

求得 3(x1 — x2 ) — (y1 — y2 ) = 0 ，故 AB 的方程为 y = 3x — 4 ，将其与双曲线联立，
解得 此时 故 C 错误；

17
当点 A 位于第四象限，点 B 位于第一象限，
由直线的夹角公式和对勾函数的单调性，可得tan 上AOB 的取值范围为 ，
当点 A 位于第一象限，点 B 位于第二象限，设直线 OA 的斜率为 k ，则直线 OB 的斜率为 ， 由 可得 ，
又因为 tan 上 可得 tan 上AOB 的取值范围为 ，
综上tan 上AOB 的取值范围为 正确．
故选： AD ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于 中档题．
13 ．（2024•新县校级模拟）双曲线 左、右顶点分别为 A ， B ， O 为坐标原点， 如图，已知动直线l 与双曲线 C 左、右两支分别交于 P ， Q 两点，与其两条渐近线分别交于 R ， S 两点， 则下列命题正确的是 ( )

A ．存在直线l ，使得 AP / /OR
B ． l 在运动的过程中，始终有 | PR |=| SQ |
C ．若直线l 的方程为 y = kx + 2 ，存在k ，使得 SΔORB 取到最大值
D ．若直线 l 的方程为 ， R--S = 2S(-) ，则双曲线 C 的离心率为
【答案】 BD
【考点】双曲线的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；计算题；综合法；数学运算
【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对 A 项判断；设直线 l : y = kx + t 分别与双
-- --→
曲线联立，渐近线联立，分别求出P ，Q 和R ，S 坐标，从而可对 B 、C 项判断；根据 RS = 2SB ，求出 ，

18
从而可对 D 项判断．
【解答】解：对于 A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故 A 项错误；
对于 B 项：设直线 l : y = kx + t ，与双曲线联立 ，得： (b2 - a2k2 )x2 - 2a2ktx - (a2t2 + a2b2 ) = 0 ， 设P(x1 ， y1 ) ， Q(x2 ， y2 ) ，由根与系数关系得
所以线段 PQ 中点
将直线 l : y = kx + t 与渐近线联立得点 S 坐标为
将直线 l : y = kx + t 与渐近线x 联立得点 R 坐标为 所以线段 RS 中点
所以线段 PQ 与线段 RS 的中点重合，所以 故 B 项正确；
对于 C 项： 由 B 项可得
因为 | OB | 为定值，当k 越来越接近渐近线 的斜率 时， 趋向于无穷， 所以 SΔORB 会趋向于无穷，不可能有最大值，故 C 项错误；
对于 D 项：联立直线 l 与渐近线 解得 ， 联立直线 l 与渐近线 解得
由题可知， RS = 2SB ，
-- --→

所以 yS - yR = 2(yB - yS ) ，即 3yS = yR + 2yB ，
解得 所以 故D 项正确．
故选： BD ．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于难题．
14 ．（2024•灌云县校级模拟）双曲线具有如下光学性质：如图F1 ，F2 是双曲线的左、右焦点，从右焦点F2

发出的光线 m 交双曲线右支于点P ，经双曲线反射后，反射光线 n 的反向延长线过左焦点F1 ．若双曲线 C 的方程为 则

19

A ．双曲线的焦点F2 到渐近线的距离为

B ．若 m 丄 n ，则 | PF1 || PF2 |= 42

C ．当 n 过点 Q(3, 6) 时，光线由F2 → P → Q 所经过的路程为 8
D ．反射光线 n 所在直线的斜率为 k ，则 【答案】 ABD
【考点】双曲线的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；数学运算；转化法
【分析】对于 A ，求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式即可判断； 对于 B ，判断出 上F1PF2 = 90O ，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；
对于 C ，利用双曲线的定义直接求得；
对于 D ，先求出双曲线的渐近线方程， 由 P 在双曲线右支上，即可得到 n 所在直线的斜率的范围； 【解答】解：对于 A ，由双曲线 C 的方程为知双曲线的渐近线方程为 ，
焦点 F2 (5, 0) 到直线 的距离为 故 A 正确；
对于 B ，若 m 丄 n ， 则 上F1PF2 = 90O ，
因为 P 在双曲线右支上，
所以 | F1P | - | F2 P |= 4 ，由勾股定理得： | F1P |2 + | F2P |2 =| F1F2 |2 ，
二者联立解得 故 B 正确；
对 于 C ， 光 由 F2 → P → Q 所 经 过 的 路 程 为
| F2