2025年高考数学压轴训练六.docx

2025 年高考数学压轴训练 6
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•新泰市校级模拟） 已知集合 若 a ， b ， c ∈ A 且互不相等，则使得指数 函数 y = ax ，对数函数 y = logb x ，幂函数y = xc 中至少有两个函数在 (0, +∞) 上单调递增的有序数对 (a ，b ， c) 的个数是 ( )
A ．16 B ．24 C ．32 D ．48
2 ．（2024•哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三模） 已知2a = log2(1) a ， 则下面正
确的是 ( )
A ． a > b B ． C ． D ．
3 ．（2024•深圳模拟） 已知 a > 0 ，且 a ≠ 1 ，则函数 的图象一定经过 ( )
A ．一、二象限 B ．一、三象限 C ．二、四象限 D ．三、四象限
4 ．（2024•浙江模拟）函数 的图象不可能是 ( )

1

A．

C．




B．

D．

5 ．（2024•东莞市校级模拟）高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一， 和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作[x] ，是指不超过实数x 的最大整数，例如 [6.8] = 6 ， [-4. 1] = -5 ，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．若函数 f(x) = log2 (-x2 + x + 2) ，则当x ∈[0 ， 1] 时， [f(x)] 的值域为 ( )
A ． B ． C ． {1} D ． {2}
6 ．（2024 • 江苏模拟 ） 已知 实数 x ， y 满足 (x +1)2 ·、x+1 + 2x = 2 ， 则

xy + x + y = ( )
A ．4 B ．3 C ．2 D ． 1
7 ．（2024•广汉市校级模拟）某次“最强大脑 ”节目中，主持人出题：一个 35 位整数的 31 次方根仍是一 个整数，下面我报出这个 35 位数，请说出它的 31 次方根 …… 未等主持人报出数字，台下已经有人报出答 案 ： 13 ． 淮 安 市 某 中 学 举 办 “ 数 学节 ” 活 动 ， 其 中 也有 一 个 类似 问 题： 下 列 选 项 中 ， 最接 近
的是（其中lg 2 ≈ 0.30 ， lg3 ≈ 0.48 ， lg 7 ≈ 0.85)( )
A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
8 ．（2024•东湖区校级四模） 已知 ， ， 则
A ． a < b < c B ． b < c < a C ． b < a < c D ． a < c < b
9．（2024•威宁县校级模拟）已知直线 y = —x + 2 分别与函数 y = ex 和 y = lnx 的图象交于点 A(x1 ，y1 ) ，B(x2 ， y2 ) ，则下列结论错误的是 ( )
A ． x1 + x2 = 2 B ． ex1 + ex2 > 2e
C ． x1lnx2 + x2 lnx1 > 0 D ．
10 ．（ 2024 • 东 兴 区 校 级 模 拟 ） 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) ， 对 x1 ， x2 ∈ R 都 有
x1f(x1 ) + x2 f(x2 ) > x1f(x2 ) + x2 f(x1 ) ，若 f(xa ) > f(loga x)(a > 0 且 a ≠ 1) ，则下列式子一定成立的是 ( )
A ． B ． C ． D ．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•山东模拟） 已知 a > 0 ， b > 0 ， ab = 2 ，则 ( )
A ． log2 a . log2 b 的最大值为 B ． 2a + 4b 的最小值为 8
C ． a3 + b3 的最小值为 D ． 的最小值为
12 ．（2024•孝南区校级模拟）已知函数 f(x) =| lgx | ， 0 < a < b ，且 f （a） = f （b），则下列说法正确的是
( )
A ． ab = 1 B ． ab = 10
C ． a + 2b 的最小值为 D ． (a +1)2 + (b +1)2 > 8
13 ．（2024•金安区校级模拟）设 a > 1 ， b > 0 ，且 lna = 2 —b ，则下列关系式可能成立的是 ( )
A ． a = b B ． b — a = e C ． a = 2024b D ． ab > e
14 ．（2024•盐城一模） 已知 x ， y ∈ R ，且12x = 3 ， 12y = 4 ，则 ( )

2
A ． y > x B ． x + y > 1 C ． D ．
15 ．（2024•重庆模拟） 已知 a > 0 ， b > 0 ，且 a + b = 2 ，则 ( )
A ． a2 + b2 开2 B ． 一b < 4
C ． log2 a + log2 b开0 D ． a2 一 b > 0
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•浦东新区三模） 已知实数 x1 、 x2 、 y1 、 y2 满足 x1(2) + y1(2) = 1 ， x2(2) + y2(2) = 3 ， x1y2 一 则

| x1x2 + y1y2 |= ．
17 ．（2024•杨浦区校级三模）设 a > 0 ， 已知函数 f(x) = ln(x2 + ax + 2) 的两个不同的零点 x1 、 x2 ，满足 | x1 一 x2 |= 1 ，若将该函数图像向右平移 m(m > 0) 个单位后得到一个偶函数的图像，则 m = ．
18 ．（2024•回忆版） 已知 一 一 ．
19 ．（2024•广东模拟）若 xy = 3 ，则 ．

20 ．（2024•咸阳模拟） 已知函数 f(x) = 2024x 一 2024一x ，若 m > 0 ， n > 0 ，且 f(m 一 2) + f(n) = f(0) ，则 的最小值为 ．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2023•广西一模） 已知函数 f(x) = log2 (| x 一1| + | x 一 5 | 一a) ．
（1）当 a = 2 时，求函数 f(x) 的最小值；
（2）当函数 f(x) 的定义域为R 时，求实数 a 的取值范围．
22 ．（2023•青岛学业考试）若一个两位正整数 m 的个位数为 4 ，则称 m 为“好数 ”．
（1）求证：对任意“好数 ” m ， m2 一16 一定为 20 的倍数；
（2）若 m = p2 一 q2 ，且 p ，q 为正整数，则称数对 (p, q) 为“友好数对 ”，规定： 例如 24 = 52 一12 ， 称数对 (5, 1) 为“友好数对 ”，则 ，求小于 70 的“好数 ”中，所有“友好数对 ”的 H(m) 的最大 值．
23 ．（2023•南京二模） 已知函数 f(x) = ax一1 一 loga x ， a > 1 ．
（1）若 a = e ，求证： f(x)开1 ；
（2）若关于 x 的不等式 f(x) < 1 的解集为集合 B ，且 B 二 求实数 a 的取值范围．

3
24 ．（2022•德阳模拟） 已知函数 f(x) = ax (1 一 x)(a > 0 ， a ≠ 1) 的最大值为 1．
（1）求常数 a 的值；
（2）若 3x1 ≠ x2 ， f(x1 ) = f(x2 ) ，求证： x1 + x2 < 0 ．
25 ．（2021•神木市校级一模） 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且x.0 时，
（1）求 f(x) 的解析式；
（2）若 f(a 一1) < 一1 ，求实数 a 的取值范围．

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2025 年高考数学压轴训练 6
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•新泰市校级模拟） 已知集合 若 a ， b ， c ∈ A 且互不相等，则使得指数 函数 y = ax ，对数函数 y = logb x ，幂函数y = xc 中至少有两个函数在 (0, +∞) 上单调递增的有序数对 (a ，b ， c) 的个数是 ( )
A ．16 B ．24 C ．32 D ．48
【答案】 B
【考点】幂函数的概念；幂函数的单调性与最值；对数函数的单调性与最值
【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用；排列组合；逻辑思维；运算求解
【分析】满足各个函数在 (0, +∞) 的参数取值均为 ，由于 a ，b ，c 互不相等，有三种情况：指数 函数 y = ax ，对数函数 y = logb x 在 (0, +∞) 单调递增，而幂函数 y = xc 不满足；指数函数 y = ax ，幂函数 y = xc 在 (0, +∞) 上单调递增，而对数函数 y = logb x 不满足；对数函数 y = logb x ，幂函数 y = xc 在 (0, +∞) 上单调 递增，而指数函数y = ax 不满足；三个函数都在 (0, +∞) 上单调递增，分别求出这四种情况的所有可能种数 相加即可．
【解答】解：由题意知，满足指数函数 y = ax (a > 0 且 a ≠ 1) ，对数函数 y = logb x(b > 0 且b ≠ 1) 的 a ， b 取 值，且使得它们在 (0, +∞) 单调递增的 a ， b 都只有 2 个，分别是 2 ，3 ．满足幂函数 y = xc 的 c 取值，且使
得它在 (0, +∞) 上单调递增的 c 有 4 个，分别为 ， ，2 ，3．
由于 a ， b ， c 互不相等，有三种情况：①指数函数y = ax ，对数函数 y = logb x 在 (0, +∞) 上单调递增，而 幂函数 y = xc 不满足，有 2× 1 × 2 = 4 种；
②指数函数 y = ax ，幂函数 y = xc 在 (0, +∞) 上单调递增，而对数函数y = logb x 不满足，有 2× 2 × 2 = 8 种；
③对数函数 y = logb x ，幂函数 y = xc 在 (0, +∞) 单调递增，而指数函数 y = ax 不满足，有 2× 2 × 2 = 8 种（与
②相同）；
④三个函数都在 (0, +∞) 单调递增，有 2× 2 = 4 种；
由分类加法计数原理，共有 4 + 8 + 8 + 4 = 24 种选法，也即满足条件的有序实数对 (a ， b ， c) 有 24 个． 故选： B ．

5
【点评】本题考查了排列与组合的应用问题，也考查了函数模型应用问题，是中档题．
2 ．（2024•哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三模） 已知 ， 则下面正 确的是 ( )
A ． a > b B ． C ． D ． 【答案】 D
【考点】对数值大小的比较
【专题】函数的性质及应用；综合法；数学抽象；构造法；数形结合
【分析】 由题意可得， a ， b 可分别看成 y = 2x ， 与 y = log 1 x 的交点的横坐标，结合函数图象的
2
对称性及函数的单调性检验各选项即可判断． 解：因为 ，
所以 a ， b 可分别看成 y = 2x ， 与 的交点的横坐标，
因为 的图象关于 y 轴对称 与 y = log 1 x 的图象关于y = x 对称，
2
且 与 交于一点， 即 ，
结合函数图象可知， a < b ， A 错误；
令 g(x) = 2x + log2 x ，则 g(x) 在 (0, +∞) 上单调递增，且 g （a） = 0 ， 因为 一 2 < 0 ，
所以 错误；
令 f(x) = x + log2 x ，则 f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增，且 f （b） = 0 ， 因为 一
所以 错误；
因为 ，
所以 一 一 b < 0 ，即 | a 一 一 正确．
故选： D ．

6

【点评】本题主要考查了函数的单调性及指数及对数函数的性质在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
3 ．（2024•深圳模拟） 已知 a > 0 ，且 a ≠ 1 ，则函数 的图象一定经过 ( )
A ．一、二象限 B ．一、三象限 C ．二、四象限 D ．三、四象限 【答案】 D
【考点】对数函数的图象
【专题】函数的性质及应用；数学运算；定义法；对应思想
【分析】分 a > 1 和 0 < a < 1 两种情况讨论，结合函数图象平移知识即可．
【解答】解：①当 a > 1 时， 则函数 的图象可由y = log a x 的图象向左平移 个单 位，则函数 的图象经过一，三，四象限，
②当 0 < a < 1 时， 则函数 的图象可由 y = log a x 的图象向左平移 个单位，则函数 的图象经过二，三，四象限，
综上所述，函数 的图象一定经过三、四象限．
故选： D ．
【点评】本题考查对数函数图象相关知识，属于中档题．
4 ．（2024•浙江模拟）函数 的图象不可能是 ( )

7

A．

C．




B．

D．


8
【答案】 D
【考点】对数函数及对数型复合函数的图象
【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】 根据题意，分两种情况讨论， 当 a =0 时， 由反比例函数的性质分析，当 a ≠ 0 时，分析可得
与x 轴一定有交点，由此分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，函数
当 a =0 时 是反比例函数，其图象与 A 符合；
当 a ≠ 0 时，设 g(x) = ln | x | ，其图象大致如图：

,
-1
函数 ，是反比例函数，其图象与 y = g(x) 的图象一定存在交点， 即方程 一定有解，
则当 a ≠ 0 时，函数与 x 轴一定有交点，
选项 D 中图象不关于原点对称，则有 a ≠ 0 ，与 x 轴没有交点，故不会是函数 的图象． 故选： D ．

【点评】本题考查函数的图象，涉及函数的单调性以及函数值符号的分析，属于中档题．
5 ．（2024•东莞市校级模拟）高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一， 和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作[x] ，是指不超过实数x 的最大整数，例如 [6.8] = 6 ， [—4. 1] = —5 ，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．若函数 f(x) = log2 (—x2 + x + 2) ，则当x ∈[0 ， 1] 时， [f(x)] 的值域为 ( )
A ． B ． C ． {1} D ． {2}
【答案】 C
【考点】求对数型复合函数的值域
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】 由 —x2 + x + 2 > 0 ，得 —1 < x < 2 ，当x ∈[0 ， 1] 时，令t = —x2 + x + 2 ，函数 y = —x2 + x + 2 在
上单调递增，在 上单调递减，可得结果．
【解答】解：由题意得 —x2 + x + 2 > 0 ，解得 —1 < x < 2 ，则 f(x) 的定义域为{x | —1 < x < 2} ，当x ∈[0 ，1] 时， 令 t = —x2 + x + 2 ，函数 y = —x2 + x + 2 在 上单调递增，在 ，1] 上单调递减，又u = log2 t 在 (0, +∞) 上单调递增，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 f(x) 的值域为 ，所以[f(x)] 的值域为{1} ． 故选： C ．
【点评】本题主要考查函数的值域，属于中档题．
6 ．（2024 • 江苏模拟 ） 已知 实数 x ， y 满足 (x +1)2 ·x+1 + 2x = 2 ， 则 xy + x + y = ( )
A ．4 B ．3 C ．2 D ． 1
【答案】 B
【考点】对数的运算性质
【专题】方程思想；数学运算
【分析】通过构造，把 x 的方程代换成 y 的式子，之后取对数整理． 【解答】解： xy + x + y + 1 = (x + 1)(y + 1) ，令 ，

9
令M = 4 时，则 即 两边取对数，

所以xy + x + y = 3 ．
故选： B ．
【点评】本题考查了构造，对数的运算，难度比较大．
7 ．（2024•广汉市校级模拟）某次“最强大脑 ”节目中，主持人出题：一个 35 位整数的 31 次方根仍是一 个整数，下面我报出这个 35 位数，请说出它的 31 次方根 …… 未等主持人报出数字，台下已经有人报出答 案 ： 13 ． 淮 安 市 某 中 学 举 办 “ 数 学节 ” 活 动 ， 其 中 也有 一 个 类似 问 题： 下 列 选 项 中 ， 最接 近
的是（其中lg2 ≈ 0.30 ， lg3 ≈ 0.48 ， lg7 ≈ 0.85)( )
A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
【答案】 B
【考点】对数运算求值
【专题】数学运算；函数的性质及应用；综合法；整体思想
令 可得1016 < x23 < 1017 ，两边取对数，利用对数运算及对数函数单调 性求解即得．
解：令 则 x23 = 12345678987654321 ，显然1016 < x23 < 1017 ， 取常用对数得： 16 < 23lgx < 17 ，则 即 0.696 < lgx < 0.739 ，
而 lg4 = 2lg2 ≈ 0.60 ， lg6 = lg2 + lg3 ≈ 0.78 ，因此 lg4 < lgx < lg6 ，解得 4 < x < 6 ，
所以最接近 的整数是 5．
故选： B ．
【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于中档题．
8 ．（2024•东湖区校级四模） 已知 ， ， 则
A ． a < b < c B ． b < c < a C ． b < a < c D ． a < c < b 【答案】 A
【考点】对数的运算性质；对数值大小的比较
【专题】函数的性质及应用；综合法；数学运算；计算题；转化思想

10
1 1
【 分析 】 由条件得到 a = 64 ， b = 43 ， 从而得到 a12 = 216 ， b12 = 256 ， 即可得 出 b > a ， 构造 函数
, 利用函数的单调性，即可判断出c > b ，从而得出结果．
解： 由 得到 a = 6 ，又 所以 ， 所以 又 256 > 216 ，所以b12 > a12 ， 又 a > 0 ， b > 0 ，得到b > a ，
令 则 所以

1

令 h(x) = x — (1 + x)ln(1 + x) ，则 h(x) = 1 —ln(1 + x) —1= —ln(1 + x) < 0 在区间 (1, +∞) 上恒成立， 所以 h(x) = x — (1 + x)ln(1 + x) 在区间 (1, +∞) 上单调递减，
所以 h(x) = x — (1 + x)ln(1 + x) 在区间 (1, +∞) 上单调递减， 又 h （1） = 1 — (1 + 1)ln(1 + 1) = 1 — 2ln2 = 1 — ln4 < 0 ，
当 x ∈(1, +∞) 时 得到 在区间 (1, +∞) 上恒成立， 所以 在区间 (1, +∞) 上单调递减，
又 e < 3 ，所以 得到 a < b < c ．
故选： A ．
【点评】本题的关键在于判断b ，c 的大小，通过构造函数 利用导数与函数的单调性间
的关系，得函数 的单调性，即可求出结果，是中档题．
9．（2024•威宁县校级模拟）已知直线 y = —x + 2 分别与函数 y = ex 和 y = lnx 的图象交于点 A(x1 ，y1 ) ，B(x2 ， y2 ) ，则下列结论错误的是 ( )
A ． x1 + x2 = 2 B ． ex1 + ex2 > 2e
C ． x1lnx2 + x2 lnx1 > 0 D ． 【答案】 C
【考点】对数函数图象特征与底数的关系；指数函数图象特征与底数的关系
【专题】函数的性质及应用；逻辑推理；转化思想；数学运算；数形结合；构造法

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【分析】画出直线 y = —x + 2 与函数 y = ex 和 y = lnx 的图象，根据 y = ex 与 y = lnx 互为反函数，图象关于 y = x 对称；直线 y = —x + 2 的图象也关于 y = x 对称，得出交点 A ，B 关于 y = x 对称，由此判断选项中的 命题是否正确即可．
【解答】解：画出直线 y = —x + 2 与函数 y = ex 和 y = lnx 的图象，如图所示：
因为 y = ex 与 y = lnx 互为反函数，图象关于 y = x 对称；
直线 y = —x + 2 的图象也关于 y = x 对称，所以交点 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) 关于 y = x 对称； 所以 x1 = y2 ， x2 = y1 ，
又 A(x1 ， y1 ) 在直线 y = —x + 2 上，所以 x1 + y1 = 2 ，即 x1 + x2 = 2 ，选项 A 正确；

因为 所以选项 B 正确；
由 ，得 ex + x — 2 = 0 ，设 f(x) = ex + x — 2 ，则 f(x) 单调递增，
因为 所以f 的零点在 上，即 ，
由 x1 + x2 = 2 得 选项 C 错误； 设 = 2 — x —lnx ，则 所以 ，
又因为 x1x2 = x2 lnx2 ，函数y = xlnx 在 (1, e) 上单调递增，
所以 选项D 正确．
故选： C ．

12

【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题．
10 ．（ 2024 • 东 兴 区 校 级 模 拟 ） 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) ， 对 x1 ， x2 ∈ R 都 有
x1f(x1 ) + x2 f(x2 ) > x1f(x2 ) + x2 f(x1 ) ，若 f(xa ) > f(loga x)(a > 0 且 a ≠ 1) ，则下列式子一定成立的是 ( )
A ． B ． C ． D ． 【答案】 C
【考点】对数值大小的比较
【专题】导数的综合应用；转化思想；综合法；数学运算
【分析】变形得 (x1 — x2 )[f(x1 ) —f(x2 )] > 0 ，得函数 f(x) 在R 上单调递增，由f(xa ) > f(loga x)(a > 0 且 a ≠ 1) ， 得 xa > loga x ，令x = at > 0 ，则log a x = t ，即 a at > t ，两边同时取对数得 (at)lna > lnt ，令 利用 导数求出单调性求解．
【解答】解： : 定义在R 上的函数 f(x) ，对 x1 ， x2 ∈ R 都有 x1f(x1 ) + x2 f(x2 ) > x1f(x2 ) + x2 f(x1 ) ，
: x1f(x1 ) — x1f(x2 ) + x2 f(x2 ) — x2 f(x1 ) > 0 ，
: x1 [f(x1 ) — f(x2 )] + x2 [f(x2 ) — f(x1 )] > 0 ，
: (x1 — x2 )[f(x1 ) — f(x2 )] > 0 ，
: 函数 f(x) 在R 上单调递增，
:f(xa ) > f(loga x)(a > 0 且 a ≠ 1) ， :xa > loga x ，令

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x = at > 0 ，则 log a x = t ，即 a at > t ， 当 t.0 时，成立；
当 t > 0 时，两边同时取对数得 lnat > lnt ， : (at)lna > lnt ， 令 得 ，
由 g/(t) > 0 ，得 0 < t < e ，由 g/(t) < 0 ，得 t > e ，
: 函数 g(t) 在 (0, e) 上单调递增，在 (e, +∞) 上单调递减， 当 t = e 时，函数 g(t) 取得最大值为 g ，
.
故选： C ．
【点评】本题考查函数的单调性、对数性质、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•山东模拟） 已知 a > 0 ， b > 0 ， ab = 2 ，则 ( )
A ． log2 a . log2 b 的最大值为 B ． 2a + 4b 的最小值为 8
C ． a3 + b3 的最小值为 D ． 的最小值为 【答案】 BCD
【考点】基本不等式及其应用；对数的运算性质
【专题】转化思想；不等式的解法及应用；数学运算；综合法
【分析】利用基本不等式判断 A 、B 、C ，由 令 利用导数说明函 数的单调性，即可求出函数的最小值，从而判断D ．
【解答】解：因为 a > 0 ， b > 0 ， ab = 2 ，
对于 当且仅当 时等号成立，故 A 错误；
对于 当且仅当 a = 2 ，b = 1 时等号成立，故 B 正确；
对于 C : a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2 ) = (a + b)(a2 — 2 + b2 ) ， 又
所以 当且仅当 时等号成立，故 C 正确；
对于

14

所以当b > 1 时， f’（b） > 0 ，则 f （b）单调递增， 当 0 < b < 1 时， f’（b） < 0 ，则 f （b）单调递减， 所以 f （b） 开f （1） = 3 ，
所以 的最小值为 ，当且仅当b = 1 、 a = 2 时取等号，故D 正确．
故选： BCD ．
【点评】本题主要考查不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．
12 ．（2024•孝南区校级模拟）已知函数 f(x) =| lgx | ， 0 < a < b ，且 f （a） = f （b），则下列说法正确的是
( )
A ． ab = 1 B ． ab = 10
C ． a + 2b 的最小值为 D ． (a +1)2 + (b +1)2 > 8 【答案】 AD
【考点】对数函数的图象
【专题】整体思想；数学运算；函数的性质及应用；综合法
【分析】 由已知结合对数函数的性质及函数图象的变化可得 ab = 1 ，即可判断 A ， B ，然后结合基本不等 式检验选项 C ， D 即可．
【解答】解：因为函数 f(x) =| lgx | ， 0 < a < b ，且 f （a） = f （b）， 所以 —lga = lgb ，且 0 < a < 1 < b ，
所以 lga + lgb = lgab = 0 ，即 ab = 1 ， A 正确， B 错误；
当且仅当 a = 2b ，即 ， 时取等号，但显然与已知矛盾， C 错误； (a +1)2 + (b+1)2 = a2 + b2 + 2(a +b)+ 2开 ，当且仅当 a = b 时取等号，但显然等号无法取得， 故 (a +1)2 + (b +1)2 > 8 ， D 正确．
故选： AD ．
【点评】本题主要考查了对数函数的性质及基本不等式的应用，属于中档题．
13 ．（2024•金安区校级模拟）设 a > 1 ， b > 0 ，且 lna = 2 —b ，则下列关系式可能成立的是 ( )
A ． a = b B ． b — a = e C ． a = 2024b D ． ab > e 【答案】 AC
【考点】对数的运算性质；对数值大小的比较
【专题】转化思想；数学运算；函数的性质及应用；综合法；逻辑推理

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【分析】先求出1 < a < e2 ，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性逐一分析能求出结果． 【解答】解： : lna = 2 — b ， : b = 2 — lna ，
: a > 1 ， b > 0 ， :b = 2 — lna > 0 ，解得1 < a < e2 ， 对于 AB ， b— a = 2 —lna — a ，
设函数
: f （a）在 (1, e2 ) 上单调递减，则 —e2 = f(e2 ) < f （a） < f （1） = 1， : —e2 < b— a < 1 ，故 A 对 B 错；
对于 ，
a a
设 g
:g （a）在 (1, e2 ) 上单调递减， 0 = g(e2 ) < g （a） < g （1） = 2 ， ,
若 对 C 正确；
对于 D ， ab = a(2 —lna) ，
设 h （a） = a(2 — lna) ， a ∈ (e, e2 ) ， h’（a） < 0 ，
则 h （a）在 (1, e) 上单调递增，在 (e, e2 ) 上单调递减，

hmax （a） = e ， h （1） = 2 ， h(e2 ) = 0 ，
: h （a） ∈ (0 ， e] ， :0 < ab .e ，故D 错误． 故选： AC ．
【点评】本题考查构造函数、导数性质、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
14 ．（2024•盐城一模） 已知 x ， y ∈ R ，且12x = 3 ， 12y = 4 ，则 ( )
A ． y > x B ． x + y > 1 C ． D ． 【答案】 ACD
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式；指数式与对数式的互化 【专题】函数的性质及应用；综合法；数学运算；不等式；整体思想
【分析】 由已知结合指数及对数的转化及对数函数的性质检验选项 A ；结合对数的运算性质检验选项 B ； 结合基本不等式检验选项 C ， D 即可．
【解答】解：因为12x = 3 ，所以 x = log12 3 ，

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因为12y = 4 ，