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2025 年高考数学解密之相等关系与不等关系
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•白山一模）设集合 则 A∩ B =
A ． (2, 4) B ． [2 ， 4) C ． (2 ， 4] D ． ⑦
2 ．（2024•张家口三模） 已知正数 m ， n 满足 则 m + n 的最大值为 ( )
A ．5 B ．6 C ．7 D ． 8
3 ．（2024•上海） a ， b ， c ∈ R ， b > c ，下列不等式恒成立的是 ( )
A ． a + b2 > a + c2 B ． a2 + b > a2 + c C ． ab2 > ac2 D ． a2b > a2 c
4 ．（2024•南开区一模）若 a > 1 ，则 的最小值是 ( )
A ．2 B ． a C ．3 D ．
5 ．（2024•浙江模拟） 已知实数 x ， y 满足 x > 3 ，且 xy + 2x 一 3y = 12 ，则 x + y 的最小值为 ( )
A ． B ．8 C ． D ．
6 ．（2024•高州市模拟） 已知 a > 0 ， b > 0 ，则下面结论正确的是 ( )
A ．若 ab = 4 ，则 a + b .4
B ．若 a > b ，则 ac2 > bc2
C ．若 a + 2b = 2 ，则 2a + 4b 有最小值 4
D ．若 a > b > m > 0 ，则
7 ．（2024•崇明区二模）若 a > b ， c < 0 ，则下列不等式成立的是 ( )
A ． ac2 > bc2 B ． C ． a + c < b + c D ． a > b 一 c
c c
8 ．（2024•嘉兴二模）若正数 x ， y 满足 x2 一 2xy + 2 = 0 ，则 x + y 的最小值是 ( )
A ． B ． C ． D ．2
9 ．（2024•定西模拟 的最小值为 ( )
A ． B ． C ． D ．
10 ．（2024•九龙坡区校级模拟） 已知 x > 0 ， y > 0 且 x + y = 1 ，则 的最小值为 ( )
A ． B ． C ．1 D ．
二．多选题（共 5 小题）

1
11 ．（2024•河池二模）若 a > 0 > b > c ，则下列结论正确的是 ( )
A ． B ． b2a > c2a
C ． D ．
a — c c
12 ．（2024•随州模拟）设正实数 a ， b 满足 a +b = 1 ，则下列结论正确的是 ( )
A ． 有最小值 4 B ． 有最小值
C ． 有最大值 D ． a2 + b2 有最小值
13 ．（2024•广东模拟）若 a > 0 ， b > 0 ， a + b = 8 ，则下列不等式恒成立的是 ( )
A ． B ． C ． a2 + b2 开32 D ． 开
14 ．（2024•甘肃模拟） 已知 a > 0 ， b > 0 ，若 a + 2b = 1 ，则 ( )
A ． ab 的最大值为 B ． a2 + b2 的最小值为 1
C ． 的最小值为 8 D ． 2a + 4b 的最小值为
15 ．（2024•北京模拟） 已知正实数 m ， n 满足 m + n = 1 ，则下列说法正确的是 ( )
A ． 的最小值是 4 B ． m2 + n2 的最大值是
C ． 的最大值是 D ． 的最大值是
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•运城二模）已知集合 若1∈ A∩ B ，则 AU B 的子集的个数为 ．
17 ．（2024•静安区二模）在下列关于实数 a 、 b 的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的
序号）
开

.
18 ．（2024•濮阳模拟）设 a > 0 ， b > 0 ，记M 为 , b, a + 三个数中最大的数，则M 的最小值
19 ．（2024•拉萨一模） 已知正数 a ， b 满足 a + b = 2 ，则 的最小值为 ．
20 ．（2024•上海） 已知ab = 1 ， 4a2 + 9b2 的最小值为 ．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•雅安模拟） 已知 a + b = 3(a > 0,b > 0) ．
（1）若 | b—1|< 3 — a ，求b 的取值范围；

2
求 的最大值．
22 ．（2023•绵阳模拟） 已知函数 f(x) = m一 | x 一 2 | ， m ∈ R ，且 f(x + 2)开0 的解集为[一1 ， 1] ．
（1）求 m 的值；
若 a ， b ， c ∈ (0, +∞) ，且 证明
23 ．（2023•陕西模拟） 已知 a ， b ， c 为正实数且 a + 2b + 3c = 5 ．
（1）求 a2 + b2 + c2 的最小值；
当 时，求 a + b + c 的值．
24．（2022•上海模拟）已知函数 y = f(x) 的定义域为D ，值域为 A ．若D 二 A ，则称 f(x) 为“ M 型函数 ”； 若 A 二 D ，则称 f(x) 为“ N 型函数 ”．
设 ， D = [1 ， 4] ，试判断 f(x) 是“ M 型函数 ”还是“ N 型函数 ”；
设 ， g(x) = af(2 + x) + bf(2 一 x) ，若 g(x) 既是“ M 型函数 ”又是“ N 型函数 ”，求实数 a ， b 的值；
（3）设 f(x) = x2 一 2ax +b ， D = [1 ， 3] ，若 f(x) 为“ N 型函数 ”，求 f （2）的取值范围．
25 ．（2022•全国四模） 已知不等式 ax2 一 (a + 2)x +b > 0 的解集为 A ， a ， b ∈ R ．
（1）若 A = {x | x < 1 ，或 x > 2} ，求 | x 一 a | + | x + b | 的最小值；
（2）若b = 2 ，且 2 ∈ A ，求 的最小值．

3
2025 年高考数学解密之相等关系与不等关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•白山一模）设集合 则 A∩ B =
A ． (2, 4) B ． [2 ， 4) C ． (2 ， 4] D ． ⑦ 【答案】 B
【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算；其他不等式的解法 【专题】函数的性质及应用；综合法；整体思想；集合；数学抽象
【分析】根据函数式有意义列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定义即得．
解：在 中， 由 得 又由可得 解得 0 .x < 4 ，即 B = 故 A∩ B = [2 ， 4) ．
故选： B ．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2 ．（2024•张家口三模） 已知正数 m ， n 满足 则 m + n 的最大值为 ( )
A ．5 B ．6 C ．7 D ． 8
【答案】 D
【考点】基本不等式及其应用
【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解
【分析】在等式两边同时乘以 m + n ，利用基本不等式可得出关于m + n 的不等式，进而 n m
可解得m + n 的最大值．
【解答】解：因为 m ，n 为正数，则 当且仅当 n = 3m 时， 等号成立，
因为
mn n m
所 以 ， 在 等 式 两 边 同 时 乘 以 m + n ， 可 得 ：
n m

即 (m + n)2 —10(m + n)+16 .0 ，解得 2 .m + n .8 ，

4
当且仅当 时，即当 时， m + n 取得最大值 8．
故选： D ．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，是中档题．
3 ．（2024•上海） a ， b ， c ∈ R ， b > c ，下列不等式恒成立的是 ( )
A ． a + b2 > a + c2 B ． a2 + b > a2 + c C ． ab2 > ac2 D ． a2b > a2 c 【答案】 B
【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质， 以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于 A ，若| b |<| c | ，则 b2 < c2 ，选项不成立，故 A 错误； 对于 B ， a2 = a2 ， b > c ，
由不等式的可加性可知， a2 + b > a2 + c ，故 B 正确．
对于 C 、 D ，若 a = 0 ，则选项不成立，故 C 、 D 错误．
故选： B ．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
4 ．（2024•南开区一模）若 a > 1 ，则 的最小值是 ( )
A ．2 B ． a C ．3 D ．
【答案】 C
【考点】 7F ：基本不等式及其应用 【专题】11：计算题
将 变形，然后利用基本不等式求出函数的最值，检验等号能否取得．
【解答】解：因为 a > 1 ， 所以 a —1 > 0 ，
所以
当且仅当即 a =2 时取“ = ”
故选： C ．
【点评】利用基本不等式求函数的最值，一定注意使用的条件：一正、二定、三相等．
5 ．（2024•浙江模拟） 已知实数 x ， y 满足 x > 3 ，且 xy + 2x — 3y = 12 ，则 x + y 的最小值为 ( )

5
A ． 1 + 2 B ．8 【答案】 A
【考点】基本不等式及其应用
【专题】数学运算；转化法；转化思想；不等式的解法及应用 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 【解答】解： xy + 2x — 3y — 6 = (x — 3)(y + 2) ，
则 (x — 3)(y + 2) = 6 ， 故 x > 3 ， y > —2 ，
故 当且仅当 时，等号成立． 故选： A ．
【点评】本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．
6 ．（2024•高州市模拟） 已知 a > 0 ， b > 0 ，则下面结论正确的是 ( )
A ．若 ab = 4 ，则 a + b .4
B ．若 a > b ，则 ac2 > bc2
C ．若 a + 2b = 2 ，则 2a + 4b 有最小值 4
D ．若 a > b > m > 0 ，则 【答案】 C
【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质；基本不等式及其应用 【专题】综合法；数学运算；整体思想；不等式
【分析】 由已知结合基本不等式及不等式性质检验各选项即可判断． 【解答】解：因为 a > 0 ， b > 0 ，
若 ab = 4 ，则 当且仅当 a = b = 2 时取等号， A 错误；
当 c =0 时， B 显然错误；
若 a + 2b = 2 ，则 当且仅当 a = 2b 时取等号， C 正确；
因为 a > b > m > 0 ，所以 故 D 错误．
故选： C ．
【点评】本题主要考查了基本不等式及不等式性质的应用，属于基础题．
7 ．（2024•崇明区二模）若 a > b ， c < 0 ，则下列不等式成立的是 ( )

6
A ． ac2 > bc2 B ． C ． a + c < b + c D ． a > b 一 c
c c
【答案】 A
【考点】不等式的基本性质
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算 【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．
【解答】解： : a > b ， c < 0 ，
: ac2 > bc2 ， 与 大小关系不确定， a + c > b + c ， a 与b 一 c 的大小关系不确定．
则下列不等式成立的是 A ．
故选： A ．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8 ．（2024•嘉兴二模）若正数 x ， y 满足 x2 一 2xy + 2 = 0 ，则 x + y 的最小值是 ( )
A ． B ． C ． D ．2
【答案】 A
【考点】基本不等式及其应用
【专题】综合法；数学运算；不等式；转化思想
【分析】根据条件得出 从而得出 ，然后根据基本不等式即可求出 x + y 的最小值．
【解答】解：正数 x ， y 满足 x2 一 2xy + 2 = 0 ， ,
当且仅当 即 时取等号，
: x + y 的最小值为 ．
故选： A ．
【点评】本题考查了基本不等式求最值的方法，是基础题．
9 ．（2024•定西模拟 的最小值为 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 B
【考点】基本不等式及其应用；函数的最值
【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算

7
【分析】根据基本不等式可得结果．
【解答】解：由题意得 x2 > 0 ，则 当且仅当 时等号成立，所以最小
值为 ．
故选： B ．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．
10 ．（2024•九龙坡区校级模拟） 已知 x > 0 ， y > 0 且 x + y = 1 ，则 的最小值为 ( )
A ． B ． C ．1 D ．
【答案】 A
【考点】基本不等式及其应用
【专题】不等式；数学运算；综合法；转化思想；计算题
【分析】根据题意，以x + 1与y + 2 为基本量，化简得 然后根据基本不等式， 结合“ 1 的代换 ”算出所求最小值．
【解答】解：根据题意，可得

因为 x + y = 1 ，所以 由 (x +1) + (y + 2) = 4 ，且 x + 1与 y + 2 都是正数，

当且仅当 时，即 时，等号成立．
因此， 的最小值为 ．
故选： A ．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，利用基本不等式求最值等知识，考查计算能力，属于中档题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•河池二模）若 a > 0 > b > c ，则下列结论正确的是 ( )
A ． B ． b2a > c2a
C ． D ．
a - c c
【答案】 ACD
【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式

8
【专题】转化思想；数学运算；转化法；不等式的解法及应用
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质， 以及特殊值法，即可求解． 【解答】解： : a > 0 > b > c ，
:b — c > 0 ， bc > 0 ，
即 故 A 正确；
不妨取 a = 1 ， b = —2 ， c = —3 ， b2a = (—2)2 = 4 ， c2a = (—3)2 = 9 ，显然 4 < 9 ，故 B 错误； : a > 0 > b > c ，
: c — b < 0 ， a — c > 0 ，
即 故 C 正确； : a > 0 > b > c ，
: a — c > 0 ， a — b > 0 ， b — c > 0 ，
正确．
故选： ACD ．
【点评】本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题．
12 ．（2024•随州模拟）设正实数 a ， b 满足 a +b = 1 ，则下列结论正确的是 ( )
A ． 有最小值 4 B ． 有最小值
C ． 有最大值 D ． a2 + b2 有最小值 【答案】 ACD
【考点】基本不等式及其应用
【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算
由 a + b = 1 ，根据 逐一判断各选项即可．
【解答】解：正实数 a ， b 满足 a +b = 1，
对于 A ，即有 可得 ，
即有 即有 a =b 时， 取得最小值 4 ，故 A 正确；
对于 可得有最大值 ，故 B 错误；

9
对于
可得 a =b 时取得最大值 故 C 正确；
对于 D ，由 a2 + b2 开2ab 可得 2(a2 + b2 )开(a +b)2 = 1 ，
则 a2 + b2 开 当 时， a2 + b2 取得最小值 ，故D 正确．
综上可得 A ， C ， D 均正确．
故选： ACD ．
【点评】本题考查了基本不等式及其应用，考查了转化思想，属于基础题．
13 ．（2024•广东模拟）若 a > 0 ， b > 0 ， a + b = 8 ，则下列不等式恒成立的是 ( )
A ． B ． C ． a2 + b2 开32 D ． 开 【答案】 ACD
【考点】基本不等式及其应用
【专题】不等式的解法及应用；数学运算；转化思想；转化法 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，依次求解． 【解答】解： a + b = 8 ，
对于 当且仅当 a =b = 4 时，等号成立，故 A 正确；
对于 当且仅当 a = b = 4 时，等号成立，

故 故 B 错误；
对于 当且仅当 a = b = 4 时，等号成立，故 C 正 确；
对于 D ， a > 0 ， b > 0 ， a + b = 8 ，
则 开 当且仅当 即 ， 时， 等号成立，故 D 正确．
故选： ACD ．
【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查转化能力，属于中档题．
14 ．（2024•甘肃模拟） 已知 a > 0 ， b > 0 ，若 a + 2b = 1 ，则 ( )
A ． ab 的最大值为 B ． a2 + b2 的最小值为 1

10
C ． 的最小值为 8 D ． 2a + 4b 的最小值为 【答案】 ACD
【考点】基本不等式及其应用
【专题】数学运算；转化思想；不等式的解法及应用；转化法；逻辑推理
【分析】对于 A ， D 选项，直接由基本不等式即可求出最值；对于 B 选项，化为 ， 即可求出最小值；对于 C 选项，利用基本不等式“ 1 ”的妙用求出最小值即可．
【解答】解：对于选项 即 ，
当且仅当 a = 2b ，且 a + 2b = 1 ，即 时，取等号，所以 A 正确；
对于选项 B ，因为
当且仅当时， a2 + b2 取到最小值 ，所以B 错误；
对于选项 C ，因为 a > 0 ， b > 0 ，所以 ，
当且仅当 且 a + 2b = 1 ，即 ， 时，取等号，所以 C 正确；
对于选项 当且仅当 a = 2b ，且 a + 2b = 1 ，
即 时，取等号，所以D 正确．
故选： ACD ．
【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
15 ．（2024•北京模拟） 已知正实数 m ， n 满足 m + n = 1 ，则下列说法正确的是 ( )
A ． 的最小值是 4 B ． m2 + n2 的最大值是
C ． 的最大值是 D ． 的最大值是 【答案】 ACD
【考点】基本不等式及其应用
【专题】转化思想；综合法；数学运算；不等式的解法及应用
【分析】根据正实数 m ， n 满足 m + n = 1 ，结合基本不等式分别判断各选项即可．
解 当且仅当 m = n = 1等号成立，
所以 的最小值为 4 ，故 A 正确；
m n
当且仅当 m = n = 1时等号成立，

11
所以 m2 + n2 的最小值为 ，故 B 错误；
由基本不等式，可得 当且仅当 m = n = 1等号成立，

所以 的最大值为 故 C 正确；
由基本不等式，可得 当且仅当 m = n = 1等号成立，
所以 的最大值为 ，故D 正确．
故选： ACD ．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•运城二模）已知集合 ，若1∈ A∩ B ，则 AU B 的子集的个数为 8 ．
【答案】8．
【考点】并集及其运算；指、对数不等式的解法；交集及其运算 【专题】数学运算；综合法；整体思想；集合
【分析】先求出集合 A ，然后结合集合的交集运算及元素与集合关系先求出 m ，进而可求 B ，结合集合的 并集及集合子集的个数规律即可求解．
解：因为 若1∈ A∩ B ，则1 ∈ B ，
所以 1 一 3 + m = 0 ，即 m = 2 ， B = {1 ， 2} ， AU B = {0 ，1 ， 2} ，子集个数为 23 = 8 ． 故答案为：8．
【点评】本题主要考查了集合的交集及并集运算，还考查了集合子集个数的判断，属于基础题．
17 ．（2024•静安区二模）在下列关于实数 a 、 b 的四个不等式中，恒成立的是 ②③④ . （请填入全部 正确的序号）
开ab ；③ | a | 一 | b | .| a 一 【答案】②③④.
【考点】基本不等式及其应用
【专题】综合法；数学运算；转化思想；不等式
【分析】根据基本不等式可判断①不成立；作差比较法可判断②④是否成立；根据绝对值不等式的性质可

12
判断③成立．
解： a ， b < 0 时 不成立，①不成立；
开ab ，②成立；
| a | — | b | .| a — b | .| a | + | b | ，③成立；
a2 + b2 — 2b +1 = a2 + (b—1)2 开0 ， : a2 + b2 开2b —1 ，④成立． 故答案为：②③④.
【点评】本题考查了基本不等式的条件，绝对值不等式的性质，作差比较法的运用，是基础题．
18 ．（2024•濮阳模拟）设 a > 0 ， b > 0 ，记M 为 三个数中最大的数，则M 的最小值 2 ． 【答案】2．
【考点】不等式比较大小
【专题】转化思想；转化法；数学运算；不等式的解法及应用
【分析】分类讨论 的大小关系，转化为利用均值不等式求两个正数和的最小值，可分析最大值不小于 和的一半，即可得出结论．
【解答】解： 由 a > 0 ， b > 0 ，
①当 时
而 可得 至少有一个不小于 2， 则M 的最小值为2；
②当 时，

而 可得 至少有一个不小于 2， M 的最小值不小于 2．
综上， M 的最小值为 2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查不等式比较大小，属于基础题．
19 ．（2024•拉萨一模） 已知正数 a ， b 满足 a + b = 2 ，则 的最小值为 2 ．
【答案】2．
【考点】基本不等式及其应用

13
【专题】转化思想；不等式的解法及应用；转化法；数学运算 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 【解答】解：正数 a ， b 满足 a + b = 2 ，
则 开 当且仅当 a = b = 1 时取等号，
故 的最小值为 2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
20 ．（2024•上海） 已知ab = 1 ， 4a2 + 9b2 的最小值为 12 ． 【答案】12．
【考点】基本不等式及其应用
【专题】综合法；数学运算；不等式；整体思想 【分析】 由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：由 ab = 1 ，4a2 + 9b2 开2 . 2a . 3b = 12 ，当且仅当 2a = 3b ，即 或 时取最小值 12，
所以 4a2 + 9b2 的最小值为 12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•雅安模拟） 已知 a + b = 3(a > 0,b > 0) ．
（1）若 | b—1|< 3 — a ，求b 的取值范围；
求 的最大值． 【答案】（1） ．
（2）8．
【考点】运用基本不等式求最值
【专题】综合法；计算题；数学运算；不等式的解法及应用；整体思想 【分析】（1） 由 a + b = 3 得 | b—1|< b ，则 —b < b—1 < b ，可得结果．
（2）利用基本不等式先求出 的最值，再求出 (a + 1)b 的最值，可得结果．
【解答】解：（1）因为 a +b = 3(a > 0,b > 0) ，所以 a = 3 —b 且 0 < b < 3 ， 所以 | b —1|< b ，则 —b < b —1 < b ，

14
解得 ，
又 0 < b < 3 ，所以b 的取值范围为 ．
（2） 当且仅当 a + 1 = b ，即 a = 1 ， b = 2 时，等号成立，
即 当且仅当 a = 1 ， b = 2 时，等号成立，
所以 的最大值为 4 + 4 = 8 ．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
22 ．（2023•绵阳模拟） 已知函数 f(x) = m— | x — 2 | ， m ∈ R ，且 f(x + 2)开0 的解集为[—1 ， 1] ．
（1）求 m 的值；
若 a ， b ， c ∈ (0, +∞) ，且 证明 【考点】 7F ：基本不等式及其应用
【专题】34：方程思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用 【分析】（1）运用绝对值的解法，即可得到所求值；
（2）运用乘 1 法和基本不等式，即可得到证明．
【解答】解：（1）函数 f(x) = m— | x — 2 | ， m ∈ R ，且 f(x + 2)开0 的解集为[—1 ， 1] ， 可得 m— | x | 开0 的解集为[—1 ， 1] ，即有[—m ， m} = {—1 ， 1] ，
可得 m = 1；
证明： a ， b ， c ∈ (0, +∞) ，且 ，

\ a 2b \ 3c a 3c 2b
开3 + 2 · + 2 · + 2 ·
= 3 + 2 + 2 + 2 = 9 ，
当且仅当 a = 2b = 3c = 3 ，取得等号．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用绝对值的含义，考查不等式的证明，注意运用基本不等 式， 以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．
23 ．（2023•陕西模拟） 已知 a ， b ， c 为正实数且 a + 2b + 3c = 5 ．
（1）求 a2 + b2 + c2 的最小值；

15
当 时，求 a + b + c 的值．
【答案】（1） a2 + b2 + c2 的最小值为 ；（2） ．
【考点】基本不等式及其应用
【专题】计算题；整体思想；对应思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算
【分析】（1） 由已知条件，应用三元柯西不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件；
（2）由基本不等式可得 结合条件得 从而求 a 、b 、c 的 值，即可得 a +b + c 的值．
【解答】解：（1） 由柯西不等式得，
(a2 + b2 + c2 )(12 + 22 + 32 )开(a + 2b + 3c)2 = 25 ， 故 a2 + b2 + c2 开
当且仅当 即 ， ， 时，等号成立；
故 a2 + b2 + c2 的最小值为 ；
（2） 由基本不等式可得，

当且仅当 a = 2b = 3c ，且 a + 2b + 3c = 5 ， 即 ， ， 时，等号成立， 又

即 ， ， ，
【点评】本题考查了三元柯西不等式及基本不等式的应用，属于中档题．

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24．（2022•上海模拟）已知函数 y = f(x) 的定义域为D ，值域为 A ．若D 二 A ，则称 f(x) 为“ M 型函数 ”； 若 A 二 D ，则称 f(x) 为“ N 型函数 ”．
设 ， D = [1 ， 4] ，试判断 f(x) 是“ M 型函数 ”还是“ N 型函数 ”；
设 ， g(x) = af(2 + x) + bf(2 x) ，若 g (x) 既是“ M 型函数 ”又是“ N 型函数 ”，求实数 a ， b 的值；
（3）设 f(x) = x2 2ax +b ， D = [1 ， 3] ，若 f(x) 为“ N 型函数 ”，求 f （2）的取值范围． 【答案】（1） f(x) 是“ M 型函数 ”；
（2） a = 1 ， b = 1 ；
（3） [1 ， 2] ．
【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；基本不等式及其应用
【专题】数学运算；整体思想；不等式的解法及应用；数形结合；函数的性质及应用；综合法 【分析】（1）利用基本不等式以及双勾函数的性质求出函数的值域可求解；
（2）分 a > 0 ， b < 0 和 a < 0 ， b > 0 结合函数的单调性分类讨论求解；
（3）分 a 不同的取值结合“ N 型函数 ”的定义即可求范围．
解： 时 当且仅当时取等号，
由于 f （1） = 4 ， f （4） = 1，
所以函数 f(x) 的值域为 5, 4] ，

因为 4·、 5 < 1 ，所以D 二 A ， 所以 f(x) 是“ M 型函数 ”；
（2） 定义域为[2 ， 2] ， 由题意得函数 g (x) 的值域也为[2 ， 2] ，
显然 ab < 0 ，否则值域不可能由负到正，
当 a > 0 ， b < 0 时， g (x) 在[2 ， 2] 上单调递增，
则 2 ，得 a = 1 ， b = 1 ；
当 a < 0 ， b > 0 时， g (x) 在[2 ， 2] 上单调递减，
则 得 a = 1 ， b = 1 ；

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（3） f(x) = x2 一 2ax + b = (x 一 a)2 + b 一 a2 ， D = [1 ， 3] ， 由题意得函数 f(x) 的值域 A 二 [1 ， 3] ，
当 a.1 时， f(x) 的最小值 f （1） = 1 一 2a +b开1 ， 当1 < a.3 时， f(x) 的最小值 f （a） = b 一 a2 开1 ， 当 a开3 时， f(x) 的最小值 f （3） = 9 一 6a +b开1， 当 a.2 时， f(x) 的最大值 f （3） = 9 一 6a +b .3 ，
当 a > 2 时， f(x) 的最大值 f （1） = 1 一 2a +b .