2025年高考数学解密之圆锥曲线综合.docx

2025 年高考数学解密之圆锥曲线综合
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•辽阳二模）由动点 P 向圆M : (x + 2)2 + (y + 3)2 = 1引两条切线PA ，PB ，切点分别为 A ，B ，若 四边形 APBM为正方形，则动点 P 的轨迹方程为 ( )
A ． (x + 2)2 + (y + 3)2 = 4 B ． (x + 2)2 + (y + 3)2 = 2

C ． (x — 2)2 + (y — 3)2 = 4 D ． (x — 2)2 + (y — 3)2 = 2

2 2 ---→ -- ---→
2 ．（2024•安徽模拟）已知 A(2, 0) ， P 为圆 C : x + y = 1 上的动点，且动点 Q 满足： OP = OA + OQ ，记 Q
点的轨迹为 E ，则 ( )
A ． E 为一条直线 B ． E 为椭圆
C ． E 为与圆 C 相交的圆 D ． E 为与圆 C 相切的圆
3 ．（2024•皇姑区四模）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD — A1B1C1D1 中，已知M ，N ，P 分别是棱 C1D1 ， AA1 ，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线 QB1 与直线DB1 的夹角为 30O ，则点 Q 的轨迹长度为 ( )

A ． 2(兀) B ． 兀 C ． 2兀 D ． 3兀
4．（2024•重庆模拟）长为 2 的线段 AB 的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，则点 A 关于点B 的对 称点M 的轨迹方程为 ( )
A ． B ． C ． D ．
5．（2024•河北模拟）已知M 是圆 O : x2 + y2 = a2 (a > 0) 上的动点，点 N 满足M-- = (a , λa)(λ> 0) ，记点N 的 轨迹为 C ，若圆 O 与轨迹 C 的公共弦方程为 2x + y — 5 = 0 ，则 ( )
A ． a = 4 ， λ = 1 B ． a = 2 ， λ = 1 C ． D ．
6 ．（2024•闵行区三模）设 P 为曲线 C : y2 = 4x 上的任意一点，记 P 到 C 的准线的距离为 d ．若关于点集 A = {M || MP |= d} 和B = {(x ， y) | (x —1)2 + (y —1)2 = r2 } ，给出如下结论：

1
①任意 r ∈(0, +∞) ， A∩ B 中总有 2 个元素；
②存在 r ∈(0, +∞) ，使得 A∩ B = ⑦ . 其中正确的是 ( )
A ．①成立，②成立 B ．①不成立，②成立
C ．①成立，②不成立 D ．①不成立，②不成立
7 ．（2024•回忆版） 已知曲线C : x2 + y2 = 16(y > 0) ，从 C 上任意一点P 向x 轴作垂线 PP9 ， P9 为垂足，则 线段 PP9 的中点M 的轨迹方程为 ( )
A ． B ． 0)
C ． D ． 0)
8 ．（2024•淄博模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(2, 0) ，B(0, 6) ，动点 P 满足O(-)- = λO(-)-A + μO(-)- ，且
| λ | + | μ |= 1 ，则下列说法正确的是 ( )
A ．点 P 的轨迹为圆
B ．点 P 到原点最短距离为 2
C ．点 P 的轨迹是一个正方形
D ．点 P 的轨迹所围成的图形面积为 24
2 2 ---→
9．（2024•德州模拟）已知点 Q 为圆 C : x + y = 4 上一动点，点 P 满足 QP = (1, —2) ，记点P 的轨迹为 E ．直
线 l : x —y + 3 = 0 上有一动点M ，直线MP 与E 相切于点P ，则 | PM | 的最小值为 ( )
A ．2 B ． C ． D ．

10 ．（2024•石景山区一模）对于曲线 C : x—2 + y—2 = 1 ，给出下列三个命题：
①关于坐标原点对称；
②曲线 C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2；
③曲线 C 与曲线| x | + | y |= 3 有四个交点． 其中正确的命题个数是 ( )
A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•遵义二模） 已知平面内曲线 C : 2(x2 + y2 ) =| x | + | y |+1 ，下列结论正确的是 ( )
A ．曲线 C 关于原点对称

2
B ．曲线 C 所围成图形的面积为 兀
C ．曲线 C 上任意两点同距离的最大值为
D ．若直线 y = kx 一 与曲线 C 交于不同的四点，则
12．（2024•苏州模拟）从地球观察，太阳在公转时会围绕着北极星旋转．某苏州地区（经纬度约120OE ，31ON) 的地理兴趣小组探究此现象时，在平坦的地面上垂直竖起一根标杆，光在宇宙中的弯曲效应可忽略不计， 则杆影可能的轨迹是 ( )
A ．半圆形 B ．双曲线 C ．直线 D ．椭圆
13 ．（2024•太原模拟） 已知两定点 A(一2, 0) ， B(1, 0) ，动点M 满足条件 | MA |= 2 | MB | ，其轨迹是曲线 C ， 过 B 作直线l 交曲线 C 于P ， Q 两点，则下列结论正确的是 ( )
A ． | PQ | 取值范围是
B ．当点 A ， B ， P ， Q 不共线时， ΔAPQ 面积的最大值为 6
C ．当直线l 斜率 k ≠ 0 时， AB 平分 上PAQ
D ． tan 上PAQ 最大值为
14 ．（2024•河南模拟）在平面直角坐标系 xOy 中， P(x0 ， y0 ) 为曲线 E : (x2 + y2 )3 = 8x2y2 (xy开0) 上任意一 点，则 ( )
A ． E 与曲线 xy = 1 有 4 个公共点 B ． P 点不可能在圆 O : x2 + y2 = 2 外
C ．满足x0 ∈ Z 且 y0 ∈ Z 的点 P 有 5 个 D ． P 到 x 轴的最大距离为
15 ．（2024•锦州模拟） 已知曲线 C : (x2 + y2 )3 = 4x2y2 ，则 ( )
A ． C 过原点
B ． C 关于原点对称
C ． C 只有两条对称轴
D ． {(x ， y) | (x ， y) ∈C} 二 {(x ， y) | x2 + y2 .1}
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•长春模拟） 已知菱形 ABCD 的各边长为 2 ， 上D = 60O ．如图所示，将 ΔACD 沿 AC 折起，使得
点D 到达点S 的位置，连接 SB ，得到三棱锥 S 一 ABC ，此时 SB = 3 ．若 E 是线段 SA 的中点，点 F 在三棱 锥 S 一 ABC 的外接球上运动，且始终保持EF 丄 AC 则点F 的轨迹的面积为 ．

3

17．（2024•南昌二模）如图，有一张较大的矩形纸片 ABCD ，O ，O1 分别为 AB ，CD 的中点，点P 在 OO1 上，| OP |= 2 ．将矩形按图示方式折叠，使直线 AB （被折起的部分）经过 P 点，记 AB 上与 P 点重合的点 为M ，折痕为l ．过点M 再折一条与 BC 平行的折痕 m ，并与折痕l 交于点 Q ，按上述方法多次折叠， Q 点的轨迹形成曲线 E ．曲线 E 在 Q 点处的切线与 AB 交于点N ，则 ΔPQN 的面积的最小值为 ．

18．（2024•阳江模拟）已知曲线 C 是平面内到定点F(0, —2) 与到定直线 l : y = 2 的距离之和等于 6 的点的轨
迹，若点 P 在 C 上，对给定的点 T(—2, t) ，用 m(t) 表示 | PF | + | PT | 的最小值，则 m(t) 的最小值为 ．
19 ．（2024•梅州模拟）在平面直角坐标系 xOy 中， O 为坐标原点，定义 P(x1 ， y1 ) 、 Q(x2 ， y2 ) 两点之间 的“直角距离 ”为 d (P, Q) =| x1 — x2 | + | y1 — y2 | ．已知两定点 A(—1, 0) ， B(1, 0) ，则满足 d(M ， A) + d (M ， B) = 4 的点M 的轨迹所围成的图形面积为 ．
20 ．（2024•昌平区模拟） 已知曲线 G : x | x |+y | y |= 4 ， O 为坐标原点．给出下列四个结论：
①曲线 G 关于直线 y= x 成轴对称图形；
②经过坐标原点 O 的直线l 与曲线 G 有且仅有一个公共点；
③直线 l : x + y = 2 与曲线 G 所围成的图形的面积为 兀 — 2 ；
④设直线 l : y = kx + 2 ，当 k ∈ (—1, 0) 时，直线l 与曲线 G 恰有三个公共点． 其中所有正确结论的序号是 ．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•江西模拟）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它 们互为“姊妹 ”圆锥曲线．已知椭圆 双曲线 C2 是椭圆 C1 的“姊妹 ”圆锥曲线， e1 ， e2 分别为 C1 ， C2 的离心率，且 ，点M ， N 分别为椭圆 C1 的左、右顶点．
（1）求双曲线 C2 的方程；

4
（2）设过点 G(4, 0) 的动直线l 交双曲线 C2 右支于 A ，B 两点，若直线 AM ，BN 的斜率分别为 kAM ，kBN ．
(i) 试探究 kAM 与 kBN 的比值是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
求 的取值范围．
22 ．（2024•赤峰模拟） 已知点 P 为圆 C : (x — 2)2 + y2 = 4 上任意一点， A(—2, 0) ，线段 PA 的垂直平分线交 直线 PC 于点M ，设点M 的轨迹为曲线H ．
（1）求曲线H 的方程；
（2）若过点M 的直线l 与曲线H 的两条渐近线交于 S ， T 两点，且M 为线段 ST 的中点．
(i) 证明：直线 l 与曲线H 有且仅有一个交点；
求 的取值范围．
23．（2024•广东模拟）已知动圆过点M (2, 0) ，且被 y 轴截得的线段长为 4，记动圆圆心的轨迹为曲线 C ．过 点 F(1, 0) 的直线 l 交 C 于 A ， B 两点，过 F 与l 垂直的直线交 C 于D ， E 两点，其中B ， D 在x 轴上方， M ， N 分别为 AB ， DE 的中点．
( Ⅰ ) 求曲线 C 的方程；
( Ⅱ ) 证明：直线MN 过定点；
24．（2024•天津）已知椭圆 的离心率 ，左顶点为 A ，下顶点为 B ，C 是线段 OB 的中点，其中 S△ .
（1）求椭圆方程．
过点 的动直线与椭圆有两个交点 P ， Q ，在 y 轴上是否存在点T 使得 T- . T- ≤ 0 恒成立．若 存在，求出这个T 点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
25 ．（2024•吉林三模） 已知点 F (2, 0) ，直线 l : x = 1 ，动圆 P 与直线 l 相切 ，交线段 PF 于点 M ，且
( Ⅰ ) 求圆心 P 的轨迹方程，并说明是什么曲线；
( Ⅱ ) 过点 F 且倾斜角大于 的直线l/ 与 y 轴交于点 M ， 与 P 的轨迹相交于两点 M1 ， M2 ，且
求 λ+ μ 的值及 的取值范围．

5
2025 年高考数学解密之圆锥曲线综合
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•辽阳二模）由动点 P 向圆M : (x + 2)2 + (y + 3)2 = 1引两条切线PA ，PB ，切点分别为 A ，B ，若 四边形 APBM为正方形，则动点 P 的轨迹方程为 ( )
A ． (x + 2)2 + (y + 3)2 = 4 B ． (x + 2)2 + (y + 3)2 = 2

C ． (x — 2)2 + (y — 3)2 = 4 D ． (x — 2)2 + (y — 3)2 = 2

【答案】 B
【考点】轨迹方程
【专题】整体思想；直线与圆；数学运算；综合法
【分析】 由题意可得 ，再结合圆的定义求解即可．

【解答】解：圆M : (x + 2)2 + (y + 3)2 = 1 ，圆心M (—2, —3) ，半径 r = 1， 因为四边形 APBM为正方形，
所以 ，

所以动点 P 的轨迹是以点M (—2, —3) 为圆心， 、 为半径的圆，

即动点 P 的轨迹方程为 (x + 2)2 + (y + 3)2 = 2 ． 故选： B ．
【点评】本题主要考查了求动点的轨迹方程，属于基础题．
→ → →
2 ．（2024•安徽模拟）已知 A(2, 0) ， P 为圆 C : x2 + y2 = 1 上的动点，且动点 Q 满足： O(-)-P- = O(-)-A- + O(-)-Q(-) ，记 Q
点的轨迹为 E ，则 ( )
A ． E 为一条直线 B ． E 为椭圆
C ． E 为与圆 C 相交的圆 D ． E 为与圆 C 相切的圆 【答案】 D
【考点】轨迹方程
【专题】定义法；直线与圆；函数思想；逻辑推理
---→ -- ---→
【分析】设P(x0 ， y0 ) ，由 OP = OA + OQ ，得到 Q 点坐标，设 Q 点坐标为 (x, y) ，用 Q 点坐标表示 P 点坐
标，并代入圆 C ，得到 Q 点的轨迹方程 E ，再利用圆心距与半径的关系判 Q 点的轨迹 E 与圆 C 的位置关

6
系．
---→ -- ---→ ---→ ---→ --
【解答】解：设 P(x0 ， y0 ) ，由 OP = OA + OQ ，可得 OQ = OP - OA ， 所以 Q 点坐标为 (x0 - 2 ， y0 ) ，
设 Q 点坐标为 (x, y) ，则 即 ，

把 P(x + 2, y) 代入圆 C ，则 Q 点的轨迹 E 的方程为： (x + 2)2 + y2 = 1 ，
即 E 是圆心为 (-2, 0) ，半径为 1 的圆，由于两圆的圆心距和两圆的半径和相等，因此两圆外切， 即 E 为与圆 C 相切的圆．
故选： D ．
【点评】本题考查圆的轨迹方程，属于中档题．
3 ．（2024•皇姑区四模）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，已知M ，N ，P 分别是棱 C1D1 ， AA1 ，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线 QB1 与直线DB1 的夹角为 30。，则点 Q 的轨迹长度为 ( )

A ． B ． π C ． 2π D ． 3π 【答案】 C
【考点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；轨迹方程 【专题】空间位置关系与距离；转化思想；数学运算；综合法
【分析】可得 DB1 丄 平面 PMN ，可得点 Q 的轨迹为圆， 由此即可得．

【解答】解： 以D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴， 建立空间直角坐标系， P(1 ，2 ， 0) ， M (0 ，1 ， 2) ，
N(2 ，0 ， 1) ， D(0 ，0 ， 0) ， B1 (2 ，2 ， 2) ，
故DB1 = (2, 2, 2) ， PM = (-1, -1, 2) ，
--- ---

P-- = (1, -2, 1) ，设平面 PMN 的法向量为 = (x, y, z) ，

7

令 z = 1 得， x = y = 1 ，故 = (1, 1, 1) ， 因为D--B- = 2 ，故 DB1 丄 平面 PMN ，
Q 为平面 PMN 上的动点，直线QB1 与直线DB1 的夹角为 30。，
DB1 丄 平面 PMN ，设垂足为 S ，以 S 为圆心， 为半径作圆，
即 为 点 Q 的 轨 迹 ， 其 中 由 对 称 性 可 知 故 半 径
故点 Q 的轨迹长度为 2兀 ．
故选： C ．

【点评】本题考查立体中的轨迹问题，属于中档题．
4．（2024•重庆模拟）长为 2 的线段 AB 的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，则点 A 关于点B 的对 称点M 的轨迹方程为 ( )
A ． B ． C ． D ． 【答案】 D
【考点】轨迹方程
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；方程思想；数学运算；综合法
【分析】设点M (x, y) 、A(x0 ，0) 、B(0, y0 ) ，由已知条件可得出 x0(2) + y0(2) = 4 ，分析可知，B 为 AM 的中点，

8
可得出 ，代入等式x0(2) + y0(2) = 4 化简可得出点M 的轨迹方程．
【解答】解：设点M (x, y) 、 A(x0 ， 0) 、 B(0, y0 ) ， 则 可得
因为点 A 关于点B 的对称点为M ，则 B 为 AM 的中点， 所以 可得 ，
将 代入 可得 ， 即 ，
因此，点M 的轨迹方程为 ．
故选： D ．
【点评】本题考查了求点的轨迹方程，考查了方程思想，属于基础题．
→
5．（2024•河北模拟）已知M 是圆 O : x2 + y2 = a2 (a > 0) 上的动点，点 N 满足M--- = (a , λa)(λ> 0) ，记点N 的
轨迹为 C ，若圆 O 与轨迹 C 的公共弦方程为 2x + y — 5 = 0 ，则 ( )
A ． a = 4 ， λ = 1 B ． a = 2 ， λ = 1 C ． D ． 【答案】 C
【考点】轨迹方程
【专题】数学运算；综合法；计算题；整体思想；直线与圆
【分析】利用相关点法求得圆N 的轨迹方程，进而得到两圆的公共弦的方程，利用待定系数法得到关于 a ， λ 的方程组，解之即可得解．
【解答】解：因为点M 是圆 O : x2 + y2 = a2 上的动点，点 N 满足M-- = (a, λa) ，

---
设M (x1 ， y1 ) ， N(x, y) ，则MN = (x — x1, y — y1 ) ， 所以 即 ，
代入圆 O 的方程，可得 (x — a)2 + (y — λa)2 = a2 ，即 x2 + y2 — 2ax — 2λay + λ2 a2 = 0 ， 可得两圆的公共弦的方程为 2ax + 2λay — a2 — λ2 a2 = 0 ，即 2x + 2λy — a — λ2 a = 0 ，

9
又因为两圆的公共弦的方程为 2x + y - 5 = 0 ，可得 解得 ．
故选： C ．
【点评】本题考查了圆的轨迹方程，属于中档题．
6 ．（2024•闵行区三模）设 P 为曲线 C : y2 = 4x 上的任意一点，记 P 到 C 的准线的距离为 d ．若关于点集 A = {M || MP |= d} 和B = {(x ， y) | (x -1)2 + (y -1)2 = r2 } ，给出如下结论：
①任意 r ∈(0, +∞) ， A∩ B 中总有 2 个元素；
②存在 r ∈(0, +∞) ，使得 A∩ B = ⑦ . 其中正确的是 ( )
A ．①成立，②成立 B ．①不成立，②成立
C ．①成立，②不成立 D ．①不成立，②不成立 【答案】 B
【考点】 曲线与方程；命题的真假判断与应用
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；数学运算；综合法
【分析】根据题意可得点M 的轨迹是以 P 为圆心， d 为半径的圆，当点 P 在原点时，点 N(1, 1) 在点M 的 轨迹圆外，即可得出结论．
【解答】解： 曲线 C : y2 = 4x 的焦点F(1, 0) ，则 | PF |= d ， 由 | MP |= d 得，点M 的轨迹是以 P 为圆心， d 为半径的圆， (x -1)2 + (y -1)2 = r2 的圆心 N(1, 1) ，
当点 P 在原点处时， P(0, 0) ，此时 d = 1 ， 此时点M 的轨迹方程为 x2 + y2 = 1，
因为1 + 1 = 2 > 1 ，所以点 N(1, 1) 在圆 x2 + y2 = 1外， 则存在 r ∈(0, +∞) ，使得两圆相离，即 A∩ B = ⑦ ,
故①错误，②正确， 故选： B ．
【点评】本题考查抛物线与圆的位置关系，属于中档题．
7 ．（2024•回忆版） 已知曲线C : x2 + y2 = 16(y > 0) ，从 C 上任意一点P 向x 轴作垂线 PP9 ， P9 为垂足，则 线段 PP9 的中点M 的轨迹方程为 ( )

10
A ． 0) B ． 0)
C ． D ． 0)
【答案】 A
【考点】轨迹方程；圆锥曲线的轨迹问题
【专题】逻辑推理；数学运算；方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】设M (x ，y)(y > 0) ，由题意及中点坐标公式可得点P 的坐标，利用代入法，即可求得线段PP’ 的 中点M 的轨迹方程．
【解答】解：设M (x ， y)(y > 0) ，则 P’(x, 0) ， 由中点坐标公式得 P(x, 2y) ，
因为点 P 在曲线 C : x2 + y2 = 16(y > 0) 上，

所以 x2 + 4y2 = 16(y > 0) ，
故线段 PP’ 的中点M 的轨迹方程为 ．
故选： A ．
【点评】本题考查代入法求轨迹方程，属于基础题．
8 ．（2024•淄博模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(2, 0) ，B(0, 6) ，动点 P 满足 且 | λ | + | μ |= 1 ，则下列说法正确的是 ( )
A ．点 P 的轨迹为圆
B ．点 P 到原点最短距离为 2
C ．点 P 的轨迹是一个正方形
D ．点 P 的轨迹所围成的图形面积为 24 【答案】 D
【考点】轨迹方程
【专题】数形结合；直线与圆；平面向量及应用；计算题；转化思想；综合法；数学运算
【分析】设 P 点坐标为 (x, y) ，由已知条件 ，结合向量的坐标表示可用x ，y 表示 λ , μ , 结合 | λ | + | μ |= 1 可得 x ， y 的关系，进而可求点P 的轨迹方程，再由平行四边形面积公式检验选项D ．
【解答】解：设 P 点坐标为 (x, y) ，由已知条件O(-)- = λO(-)-A + μO(-)- ，可得 ，
又因为 | λ | + | μ |= 1 ，所以 P 点坐标对应轨迹方程为 ，

11
x开0 ，且 y开0 时，方程为3x + y = 6 ；
x开0 ，且 y < 0 时，方程为y = 3x 一 6 ；
x < 0 ，且 y开0 时，方程为 y = 3x + 6 ；
x < 0 ，且 y < 0 时，方程为 3x + y = 一6 ．
P 点对应的轨迹如图所示： kAB = kCD = 一3 ， 所以 P 点的轨迹为菱形， A ， C 错误；
原点到直线的距离为 所以B 不正确．
轨迹图形是平行四边形，面积为 正确． 故选： D ．

【点评】本题主要考查了点的轨迹的求解，考查了综合解决问题的能力，属于难题
2 2 ---→
9．（2024•德州模拟）已知点 Q 为圆 C : x + y = 4 上一动点，点 P 满足 QP = (1, 一2) ，记点P 的轨迹为 E ．直
线 l : x 一y + 3 = 0 上有一动点M ，直线MP 与E 相切于点P ，则 | PM | 的最小值为 ( )
A ．2 B ． C ． D ．
【答案】 C
【考点】轨迹方程
【专题】综合法；数学运算；直线与圆；方程思想
【分析】设 Q(m, n) ， P(x, y) ， 由 Q 在圆 C 上，结合向量数量积的坐标表示，可得 P 的轨迹方程，再由圆 的切线的性质和勾股定理，结合点到直线的距离公式，可得所求值．

12
【解答】解：设 Q(m, n) ， P(x, y) ，

---→
由点 P 满足 QP = (1, -2) ，可得 x - m = 1 ， y - n = -2 ，
即有 m = x -1 ， n = y + 2 ，

由 Q 在圆 C : x2 + y2 = 4 上，可得 m2 + n2 = 4 ，

即 (x -1)2 + (y + 2)2 = 4 ，圆心 T(1, -2) ，半径 r = 2 ，

由直角三角形的勾股定理，可得 | MT |2 =| TP |2 + | MP |2 ，

即| MT |2 = 4+ | MP |2 ，
要求 | PM | 的最小值，只需求 |MT | 的最小值．
由点到直线的距离公式，可得
则| PM | 的最小值为 ．
故选： C ．
【点评】本题考查圆的方程和性质， 以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
10 ．（2024•石景山区一模）对于曲线 C : x-2 + y-2 = 1 ，给出下列三个命题：

①关于坐标原点对称；
②曲线 C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2；
③曲线 C 与曲线| x | + | y |= 3 有四个交点． 其中正确的命题个数是 ( )
A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3
【答案】 C
【考点】 曲线与方程
【专题】数学运算；方程思想；综合法；直线与圆
【分析】将x 换为 -x ， y 换为 -y ，方程 x-2 + y-2 = 1不变，可判断①；方程变为 x2 + y2 = x2y2 ，由基本不 等式可判断②；由对称性可考虑第一象限的交点个数，结合函数零点存在定理和函数的单调性，可判断③ . 【解答】解：将 x 换为 -x ， y 换为 -y ，方程 x-2 + y-2 = 1不变，则曲线 C 关于原点对称，故①正确；
由 x-2 + y-2 = 1 ，可得 解得 即有 故②正确；
由曲线 C 和曲线| x | + | y |= 3 都关于原点对称，都关于 x ， y 轴对称，可考虑第一象限的交点个数． 由 y = 3 - x 和 可得 x4 - 6x3 + 7x2 + 6x - 9 = 0 ，

13
设 f(x) = x4 - 6x3 + 7x2 + 6x - 9 ，由 f （1） = -1 < 0 ， f(1.5) = 0.5625 > 0 ， f （2） = -1 < 0 ， 可得 f(x) 在 (1, 1.5) 和 (1.5, 2) 各有一个零点，又 y = 3 - x 和 在 (1, 3) 递减，
则第一象限的交点个数为 2，
可得曲线 C 与曲线 | x | + | y |= 3 有 8 个交点，故③错误．
故选： C ．
【点评】本题考查曲线的方程和性质，以及直线和曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力， 属于中档题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•遵义二模） 已知平面内曲线 C : 2(x2 + y2 ) =| x | + | y |+1 ，下列结论正确的是 ( )

A ．曲线 C 关于原点对称
B ．曲线 C 所围成图形的面积为 兀
C ．曲线 C 上任意两点同距离的最大值为
D ．若直线与曲线 C 交于不同的四点，则 【答案】 AC
【考点】 曲线与方程
【专题】转化思想；数学运算；数形结合法；直线与圆；逻辑推理
【分析】选项 A 中，将 x 换成 -x ， y 换成 -y ，即可判断曲线 C 是否关于原点对称；
选项 B 中，讨论 x开0 ，y开0 时，方程表示的曲线 C 是圆在第一象限的部分，由对称性可得曲线 C 所围成图 形的面积；
选项 C 中，根据圆的性质，利用数形结合法求出曲线 C 上任意两点间距离的最大值；
选项 D 中，利用数形结合法可判断直线与曲线 C 交于不同的四点时 k 的取值范围．
【解答】解：对于 A ，将 x 换成 -x ， y 换成-y ，方程 2(x2 + y2 ) =| x | + | y |+1 不变，所以曲线 C 关于原点 对称，选项 A 正确；
对于 B ，当 x开0 ， y开0 时，方程可化为 2x2 + 2y2 = x + y +1 ，即 此时曲线 C 所围成的图形是圆在第一象限的部分，面积不是 兀 ，
由对称性可得曲线 C 所围成图形的面积不是 选项 B 错误；
对于 C ，由 B 知曲线 C 在第一象限的图形是圆 的一部分，

14
圆上的点到原点的最大距离为 ，
所以曲线 C 上任意两点间距离的最大值为 选项 C 正确；
对于 D ，直线是过定点 的直线，
由图形知 时，直线 不过点 时，直线 也不过点 (1, 0) ，
由此判断直线与曲线 C 交于不同的四点时 k 的取值范围不是 选项D 错误． 故选： AC ．

【点评】本题考查了曲线与方程的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
12．（2024•苏州模拟）从地球观察，太阳在公转时会围绕着北极星旋转．某苏州地区（经纬度约120。E ，31。N) 的地理兴趣小组探究此现象时，在平坦的地面上垂直竖起一根标杆，光在宇宙中的弯曲效应可忽略不计， 则杆影可能的轨迹是 ( )
A ．半圆形 B ．双曲线 C ．直线 D ．椭圆
【答案】 AD
【考点】轨迹方程；双曲线的几何特征
【专题】逻辑推理；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运动思想 【分析】根据太阳视运动轨迹判断．
【解答】解：根据题意可知，杆影的轨迹是太阳的视运动轨迹， 即太阳视运动轨迹．
根据题意可知，该地位于北半球，且纬度为 31。N ，太阳直射点在南北回归线之间来回移动，
因此该地正午太阳高度角在 23。26’N - 66。34’N 之间， 因此杆影的轨迹为椭圆，故 D 正确；
那除了椭圆轨迹，可能的轨迹还有半圆形．
在较短的时间段内，比如一天中的某些时刻，杆影可能会呈现出近似半圆形的轨迹．
但从长时间的观测和综合考虑地球公转、 自转以及太阳直射点的移动等因素，椭圆轨迹更为准确和常见．

15
所以这道题选择 A 和D 选项．
故选： AD ．
【点评】本题考查太阳轨迹方程以及椭圆的几何特征．
13 ．（2024•太原模拟） 已知两定点 A(-2, 0) ， B(1, 0) ，动点M 满足条件 | MA |= 2 | MB | ，其轨迹是曲线 C ， 过 B 作直线l 交曲线 C 于P ， Q 两点，则下列结论正确的是 ( )
A ． | PQ | 取值范围是[2 , 4]
B ．当点 A ， B ， P ， Q 不共线时， ΔAPQ 面积的最大值为 6
C ．当直线l 斜率 k ≠ 0 时， AB 平分 上PAQ
D ． tan 上PAQ 最大值为
【答案】 ACD
【考点】轨迹方程
【专题】导数的概念及应用；逻辑推理；定义法；函数思想
【分析】对于 A ，先设出M 点，根据已知 | MA |= 2 | MB | 求解圆的方程，再求出 PQ 的最大值和最小值； 对于 B ，先设出直线方程，联立直线和圆方程，根据韦达定理和三角形面积公式求解；
对于 C ，根据正弦定理推导角之间的关系；
对于D ，先根据余弦定理求出 cos 上PAQ 的值，再求出 上PAQ 的取值范围，再根据正切函数单调递增区间 求解即可．