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2025 年高考数学解密之复数
一．多选题（共 15 小题）
1 ．（2024•南通模拟） 已知复数 z1 ， z2 ，满足 | z1 | . | z2 |≠ 0 ，下列说法正确的是 ( )

A ．若 | z1 |=| z2 | ，则 z12 = z22 B ． | z1 + z2 | .| z1 | + | z2 |
C ．若 z1z2 ∈ R ，则 D ． | z1z2 |=| z1 || z2 |
2 ．（2024•南通模拟） 已知 z1 ， z2 都是复数，下列正确的是 ( )

A ．若 z1 = z2 ，则 z1z2 ∈ R B ．若 z1z2 ∈ R ，则 z1 = z2
C ．若 | z1 |=| z2 | ，则 D ．若 z1(2) + z2(2) = 0 ，则 | z1 |=| z2 |

3 ．（2024•贵港模拟） 已知复数 z1 ， z2 ， z3 ，则下列说法中正确的有 ( )

A ．若 z1z2 = z1z3 ，则 z1 = 0 或 z2 = z3
则
C ．若 z1(2) + z2(2) = 0 ，则 z1 = z2 = 0

D ．若 z1 z1 = z2 z2 ，则 | z1 |=| z2 |
4 ．（2024•阳江模拟）设复数 z 在复平面内对应的点为 Z ，则下列说法正确的有 ( )
A ．若 | z |= 1 ，则 z = ±1 或 z = ±i
B ．若| z — (2 + i) |= 1 ，则| z | 的最小值为
则| z |= 7
则点 Z 的集合所构成图形的面积为 兀
5．（2024•潍坊二模）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，f(z) = z2 就是一个多项式复变函数．给 定多项式复变函数 f(z) 之后，对任意一个复数 z0 ，通过计算公式 zn+1 = f(zn ) ， n∈ N 可以得到一列值 z0 ， z1 ， z2 ， … , zn ， … . 如果存在一个正数M ，使得 | zn |< M 对任意 n∈ N 都成立，则称 z0 为 f(z) 的收敛 点；否则，称为 f(z) 的发散点．则下列选项中是 f(z) = z2 的收敛点的是 ( )
A ． B ． —i C ． 1 — i D ．
6 ．（2024•辽宁模拟） 已知 z 满足 则

1
A ． z = —4 + i
B ．复平面内z 对应的点在第一象限
C ． zz = 17
D ． z 的实部与虚部之积为 —4
7 ．（2024•安徽模拟） 已知 i 为虚数单位，复数 ，下列说法正确的是 ( )
A ．
B ．复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限
C ．
D ． 为纯虚数
8 ．（2024•重庆模拟） 已知复数 z ， w 均不为 0 ，则 ( )
A ． z2 =| z |2 B ． C ． z — w = z — w D ．
9 ．（2024•延边州模拟） 已知 z1 、 z2 都是复数，下列正确的是 ( )

A ．若 | z1 |=| z2 | ，则 z1 = ±z2 B ． | z1z2 |=| z1 || z2 |

C ．若 | z1 + z2 |=| z1 — z2 | ，则 z1z2 = 0 D ． z1 . z2 = z1 . z2
10 ．（2024•湖南模拟） 已知 i 为虚数单位，下列说法正确的是 ( )
A ．若复数 则 z30 = —1
B ．若 | z1 |>| z2 | ，则 z1(2) > z2(2)
C ．若 z2 ≠ 0 ，则
D ．复数 z 在复平面内对应的点为 Z ，若 | z + i | + | z — i |= 2 ，则点 Z 的轨迹是一个椭圆
11 ．（2024•琼海模拟）设 z1 ， z2 为复数，则下列结论中正确的是 ( )
为虚数，则 z1 也为虚数
B ．若 | z1 + i |= 1 ，则 | z1 | 的最大值为

C ． z z = z z
| 1 2 | | 1 2 |

D ． | z1 — z2 | .| z1 | + | z2 |

12 ．（2024•安徽模拟）若复数 z1 ， z2 是方程 x2 — 6x + 12 = 0 的两根，则 ( )

2
A ． z1 ， z2 实部不同

B ． z1 ， z2 虚部不同

C ．
D ． 在复平面内所对应的点位于第三象限
13 ．（2024•遵义二模）关于复数 z ，下列结论正确的是 ( )
A ．
B ．若| z |= 2 ，则
C ．若 z = (1+ i)10 = a + bi(a, b ∈ R) ，则b = C1(1)0 × 19 = 10
D ．若 z + z = 1 ，则 z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线
14 ．（2024•河池模拟）已知 i 为虚数单位，复数 z1 ， z2 为方程 x2 — 2x + 5 = 0 的两个根，则下列选项中正确 的有 ( )
A ． | z1 |=| z2 |

1 1 | 1 |
B ． z z = z 2

C ．复数 z1 在复平面上对应的点在第二象限

D ．
15 ．（2024•莆田三模）若 z 是非零复数，则下列说法正确的是 ( )
A ．若 z + z = 0 ，则 B ．若 z . z = 2 | z | ，则 | z |= 2

C ．若 z1 = z ，则 z1 = z D ．若 | z + z1 |= 0 ，则 z1 . z + | z |2 = 0
二．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•红桥区一模） i 是虚数单位，复数．
17 ．（2024•普陀区校级模拟）设复数 z 满足 z + 6 = 3z + 16i ，则 | z |= ．
18 ．（2024•松江区二模）在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 (1, 2) ，则 i . z = ．
19 ．（2024•金溪县校级模拟）复数 的实部为 ．
20 ．（2024•天津） 已知 i 是虚数单位，复数 ．
三．解答题（共 5 小题）

3
21 ．（2024•贵阳模拟）在复数集中有这样一类复数： z = a + bi 与 z = a —bi(a ,b ∈ R) ，我们把它们互称为共 轭复数， b ≠ 0 时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质：
（1） z + z = 2a ∈ R
（2） z — z = 2bi （当 b ≠ 0 时，为纯虚数）
（3） z = z z ∈ R
（4） (z ) = z
（5） z . z = a2 + b2 =| z |2 =| z |2 ．
（6）两个复数和、差、积、商（分母非零） 的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和、差、积、 商．
请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：
（1）设 z ≠ i ， | z |= 1 ．求证： 是实数；
（2） 已知| z1 |= 3 ， | z2 |= 5 ， | z1 — z2 |= 7 ，求 的值；
（3）设 z = x + yi ，其中 x ， y 是实数，当| z |= 1 时，求| z2 — z +1| 的最大值和最小值．

22 ．（2024•西山区模拟）我们把 a0 + a1x + a2x2 + … + an xn = 0 （其中 an ≠ 0 ，n∈ N* ) 称为一元 n 次多项式方 程．
代数基本定理：任何复系数一元 n(n∈ N* ) 次多项式方程（即 a0 ， a1 ， a2 ， … , an 为实数）在复数集内至 少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元 n(n∈ N* ) 次多项式方程在复数集内有且仅有 n 个复数根（重 根按重数计算）．
那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元 n(n∈ N* ) 次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为 n 个一元一次多项式的积．
即 a0 + a1x + a2x2 + … + an xn = an (x — α1 )k1 (x — α2 )k2 …(x — αm )km ，其中 k ，m ∈ N* ，k1 + k2 + … + km = n ， α1 ， α2 ， … , αm 为方程 a0 + a1x + a2x2 + … + an xn = 0 的根．
进一步可以推出：在实系数范围内（即 a0 ，a1 ，a2 ， … , an 为实数），方程 a0 + a1x + a2x2 + … + an xn = 0 的 有实数根，则多项式 a0 + a1x + a2x2 + … + an xn 必可分解因式．例如：观察可知， x = 1 是方程 x3 —1 = 0 的一 个根 ，则 (x —1) 一定是多项式 x3 —1 的一个因式 ， 即 x3 —1 = (x —1)(ax2 + bx + c) ， 由待定系数法可知 ， a = b = c = 1．

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（1）解方程： x3 — 2x + 1 = 0 ；
（2）设 f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 ，其中 a0 ， a1 ， a2 ， a3 ∈ R+ ，且 a0 + a1 + a2 + a3 = 1 ．
(i) 分解因式： x — (a0 + a1x + a2x2 + a3x3 ) ；
(ii) 记 点 P(x0 ， y0 ) 是 y = f(x) 的 图 象 与 直 线 y = x 在 第 一 象 限 内 离 原 点 最 近 的 交 点 ． 求 证 ： 当 a1 + 2a2 + 3a3 .1 时， x0 = 1 ．
23 ．（2022•上海模拟）设复数 z1 = 1 — i ， z2 = cosθ + i sinθ , 其中θ ∈ [0 ， 兀 ] ．

（1）若复数 z = z1 . z2 为实数，求 θ 的值；
（2）求 |3z1 + z2 | 的取值范围．

24 ．（2021•株洲模拟）已知复数 Zn = an + bni ，满足 其中 i 为

虚数单位， Zn 表示 Zn 的共轭复数

( Ⅰ ) 求 | Z2 | 的值；

( Ⅱ ) 求 Z100 ．
25．（2024•大祥区校级模拟）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数 z = a +bi 对应复平面内的点 Z ， 设 上XOZ = θ , | OZ |= r ，则任何一个复数 z = a +bi 都可以表示成： z = r (cosθ+ i sinθ) 的形式，这种形式 叫做复数三角形式，其中 r 是复数 z 的模， θ 称为复数 z 的辐角，若 0 .θ< 2兀 ，则θ 称为复数 z 的辐角主 值 ，记为 arg z ． 复数有以下三角形式的运算法则 ：若 zi = ri (cosθi + i sinθi ) ， i = 1 ，2 ， … n ， 则：
z1 . z2 . … . zn = r1r2 …rn [cos(θ1 + θ2 + … + θn ) + i sin(θ1 + θ2 + … + θn )] ， 特 别 地 ， 如 果 z1 = z2 = …zn = r(cosθ+ i sinθ) ，那么[r(cosθ+ isinθ)]n = rn (cosnθ+ isin nθ) ，这个结论叫做棣莫弗定理．请 运用上述知识和结论解答下面的问题：
（1）求复数 z = 1 + cosθ+ i sinθ , θ ∈ (兀 , 2兀) 的模| z | 和辐角主值 arg z （用θ 表示）；
（2）设 n .2024 ， n ∈ N ，若存在θ ∈ R 满足 (sinθ+ i cosθ)n = sin nθ+ icosnθ , 那么这样的 n 有多少个？
（3）求和： S = cos 20o + 2 cos 40o + 3cos 60o + … + 2034 cos 2034 × 20o ．

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2025 年高考数学解密之复数
参考答案与试题解析
一．多选题（共 15 小题）
1 ．（2024•南通模拟） 已知复数 z1 ， z2 ，满足 | z1 | . | z2 |≠ 0 ，下列说法正确的是 ( )

A ．若 | z1 |=| z2 | ，则 z12 = z22 B ． | z1 + z2 | .| z1 | + | z2 |
C ．若 z1z2 ∈ R ，则 D ． | z1z2 |=| z1 || z2 | 【答案】 BD
【考点】复数的运算；复数的模
【专题】数学运算；计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数
【分析】对选项 A ，C ，利用特殊值法即可判断 A ，C 错误，对选项B ，根据复数模长的性质即可判断 B 正确，对选项 D ，根据复数模长公式即可判断D 正确．
【解答】解：对选项 ，

则 不满足 Z12 = Z22 ，故 A 错误；

-→ - -→ - →
对选项B ，设 z1 ， z2 在复平面内表示的向量分别为 z1 , z2 ，且 z1 , z2 ≠ 0 ，
当 z1 , z2 方向相同时， | z1 + z2 |=| z1 | + | z2 | ，
-→ - -→ - -→ -

当 z1 , z2 方向不相同时， | z1 + z2 |<| z1 | + | z2 | ，
-→ - -→ - -→ -

综上 | z1 + z2 | .| z1 | + | z2 | ，故 B 正确；

对选项 C ，设 z1 = 1 + i ， z2 = 1 — i ， z1z2 = (1 + i)(1 — i) = 2 ∈ R ，
故 C 错误；
对选项D ，设 z1 = a + bi ， z2 = c + di ， a ， b ， c ， d ≠ 0 ， z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i ，

故D 正确．
故选： BD ．
【点评】本题考查了复数的运算，属于中档题．

6
2 ．（2024•南通模拟） 已知 z1 ， z2 都是复数，下列正确的是 ( )

A ．若 z1 = z2 ，则 z1z2 ∈ R B ．若 z1z2 ∈ R ，则 z1 = z2
C ．若 | z1 |=| z2 | ，则 D ．若 z1(2) + z2(2) = 0 ，则 | z1 |=| z2 |
【答案】 AD
【考点】复数的运算；复数的模；共轭复数
【专题】数学运算；综合法；数系的扩充和复数；整体思想
【分析】结合复数的基本概念及复数的四则运算及复数的运算性质检验各选项即可判断．

【解答】解：若 z1 = z2 ，则 z1z2 = z2 . z2 ∈ R ， A 正确；
当 z1 = 2i ， z2 = i 满足 z1z2 ∈ R ， B 显然错误；

当 z1 = 1 ， z2 = i 时，满足 | z1 |=| z2 | ，但 z12 = 1 ， z22 = —1 ， C 显然错误； 设 z1 = a + bi ， z2 = c + di(a ， b ， c ， d 都为实数），
若 z1(2) + z2(2) = 0 ，则 z12 = —Z22 ，

所以 | z12 |=| —z22 |=| z22 | ，

所以 | z1 |2 =| z2 |2 ，即 | z1 |=| z2 | ， D 正确．
故选： AD ．
【点评】本题主要考查了复数的基本概念，复数的运算性质的综合应用，考查了分析问题的能力，属于中 档题．
3 ．（2024•贵港模拟） 已知复数 z1 ， z2 ， z3 ，则下列说法中正确的有 ( )

A ．若 z1z2 = z1z3 ，则 z1 = 0 或 z2 = z3
则
C ．若 z1(2) + z2(2) = 0 ，则 z1 = z2 = 0

D ．若 z1 z1 = z2 z2 ，则 | z1 |=| z2 |
【答案】 ABD
【考点】复数的运算；复数的模
【专题】数系的扩充和复数；转化思想；数学运算；计算题；综合法 【分析】对于 A ，由题意可得 z1 (z2 — z3 ) = 0 进而即可得解；

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对于 B ，由题意可求 z1(n) 以 3 为周期，进而可得 一 一 即可得解；
对于 C ，取 z1 = 1 ， z2 = i ，即可判断得解；
对于 D ，利用复数的模的定义即可求解．
【解答】解：对于 A ， z1z2 = z1z3 z1 (z2 一 z3 ) = 0 z1 = 0 或 z2 = z3 ，故 A 正确； 对于 一 一 一 所以 以 3 为周期，
所以 一 一 故 B 正确；
对于 C ，取 z1 = 1 ， z2 = i ，

则 z1(2) + z2(2) = 0 ，此时 z1 ≠ z2 ，故 C 错误；

对于 D ， z1 z1 =| z1 |2 ， z2 z2 =| z2 |2 ，

所以 z1 z1 = z2 z2 | z1 |=| z2 | ，故D 正确．
故选： ABD ．
【点评】本题考查了复数的运算，考查了转化思想，属于中档题．
4 ．（2024•阳江模拟）设复数 z 在复平面内对应的点为 Z ，则下列说法正确的有 ( )
A ．若 | z |= 1 ，则 z = ±1 或 z = ±i
B ．若| z 一 (2 + i) |= 1 ，则| z | 的最小值为 一1
一 2i ，则| z |= 7
则点 Z 的集合所构成图形的面积为 π
【答案】 BD
【考点】复数对应复平面中的点
【专题】数学运算；转化思想；转化法；数系的扩充和复数
【分析】对于 A ，结合特殊值法，即可求解；对于 B ，结合复数的几何意义，即可求解；对于 C ，结合复 数模公式，即可求解；对于 D ，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．
解：对于 A ，令 满足 | z |= 1 ，但 z = ±1 或 z = ±i 不成立，故 A 错误；
对于 B ， | z 一 (2 + i) |= 1 ，
则点 Z 的轨迹为以 (2, 1) 为圆心，1 为半径的圆， | z | 表示圆上的点到原点 (0, 0) 的距离，

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则| z | 的最小值为 故 B 正确；

对于 ，
则 故 C 错误；

对于 D ，设 z = a + bi ，则 因为 ，
所以 ，

所以点 Z 的集合所构成的图形的面积为 兀 兀 .12 = 兀 ，所以D 正确．
故选： BD ．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，复数模公式，属于基础题．
5．（2024•潍坊二模）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，f(z) = z2 就是一个多项式复变函数．给 定多项式复变函数 f(z) 之后，对任意一个复数 z0 ，通过计算公式 zn+1 = f(zn ) ， n∈ N 可以得到一列值 z0 ， z1 ， z2 ， … , zn ， … . 如果存在一个正数M ，使得 | zn |< M 对任意 n∈ N 都成立，则称 z0 为 f(z) 的收敛 点；否则，称为 f(z) 的发散点．则下列选项中是 f(z) = z2 的收敛点的是 ( )
A ． B ． —i C ． 1 — i D ． 【答案】 BD
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的乘法及乘方运算；复数的模 【专题】综合法；转化思想；数学运算；数系的扩充和复数
【分析】根据计算公式 zn+1 = f(zn ) = zn(2) 结合收敛点的定义判断即可．

【解答】解：对 A ，由 zn+1 = zn(2)可得数列 ·、 ，2 ，4 ， 16 … 不合题意，故 A 错误；

对 B ，由 zn+1 = zn(2) 可得数列 —i ， —1 ，1 ， 1…

则存在一个正数M = 2 ，使得 | zn |< M 对任意 n∈ N 都成立，满足题意，故 B 正确；

对 C ，由 zn+1 = zn(2)可得数列1 — i ， —2i ， —4 ， 16 … 不满足题意，故 C 错误；
对D ，由 zn+1 = zn(2) 可得数列
存在一个正数M = 2 ，使得 | zn |< M 对任意 n∈ N 都成立，满足题意，故D 正确．

9
故选： BD ．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
6 ．（2024•辽宁模拟） 已知 z 满足 则
A ． z = -4 + i
B ．复平面内z 对应的点在第一象限
C ． zz = 17
D ． z 的实部与虚部之积为 -4 【答案】 ACD
【考点】共轭复数；复数的运算
【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】利用复数代数形式的运算法则进行运算，求出复数 z ，逐一判断各选项是否正确． 【解答】解：设 z = x + yi(x,y ∈ R) ，
则由已知得 即 x - y - i = x - 1+ 所以 解得
所以 z = -4 + i ，则 z = -4 - i ，其对应点为 (-4, -1) ，在第三象限，故 A 项正确， B 项错误；
zz = (-4 + i)(-4 - i) = 17 ， z 的实部为 -4 ，虚部为 1， 所以 z 的实部与虚部之积为 -4 ，故 C ， D 项正确．
故选： ACD ．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
7 ．（2024•安徽模拟） 已知 i 为虚数单位，复数 ，下列说法正确的是 ( )
A ．
B ．复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限
C ．
D ． 为纯虚数 【答案】 ABC
【考点】复数的运算
【专题】数学运算；方程思想；数系的扩充和复数；定义法 【分析】化简复数 z ，逐一核对选项检验即可．

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解
选项 A ， | z | 正确；
选项 B ，复数 z 在复平面内对应的点为 ，位于第四象限，正确；
选项 正确；
选项 不是纯虚数，错误．
故选： ABC ．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
8 ．（2024•重庆模拟） 已知复数 z ， w 均不为 0 ，则 ( )
A ． z2 =| z |2 B ． C ． z — w = z — w D ． 【答案】 BCD
【考点】共轭复数；复数的模；复数的运算
【专题】数系的扩充和复数；数学运算；转化思想；综合法 【分析】利用复数的运算性质对四个选项逐一判断可得答案． 【解答】解： : 复数 z ， w 均不为 0，
对于 A ，不妨令 z = i ，则 z2 = —1 ， | z |2 = 1 ， z2 ≠| z |2 ， A 错误；
2

对于 B ， z z . z z ， B 正确；

对于 C ，由复数的运算性质，可得 z — w = z — w ， C 正确； 对于
故 正确．
故选： BCD ．
【点评】本题考查复数的运算，属于中档题．
9 ．（2024•延边州模拟） 已知 z1 、 z2 都是复数，下列正确的是 ( )

A ．若 | z1 |=| z2 | ，则 z1 = ±z2 B ． | z1z2 |=| z1 || z2 |

C ．若 | z1 + z2 |=| z1 — z2 | ，则 z1z2 = 0 D ． z1 . z2 = z1 . z2 【答案】 BD
【考点】复数的模；共轭复数；复数的运算

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【专题】转化法；转化思想；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】根据已知条件，结合特殊值法，复数模的性质，复数的概念，即可求解．
【解答】解：令 z1 = 1 ， z2 = i ，满足 | z1 |=| z2 | ，但 z1 = ±z2 不成立，故 A 错误； 由复数模的性质可知， | z1z2 |=| z1 || z2 | ，故 B 正确；
令 z1 = 1 ， z2 = i ，满足 | z1 + z2 |=| z1 — z2 | ，但 z1z2 = 0 不成立，故 C 错误；
设 z1 = a + bi(a, b ∈ R) ， z2 = c + di(c, d ∈ R) ，
z1 . z2 = (a + bi)(c + di) = ac — bd + (ad + bc)i ，

z1 . z2 = (a —bi)(c — di) = ac —bd + (ad + bc)i ，故 D 正确． 故选： BD ．
【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．
10 ．（2024•湖南模拟） 已知 i 为虚数单位，下列说法正确的是 ( )
A ．若复数 则 z30 = —1
B ．若 | z1 |>| z2 | ，则 z1(2) > z2(2)
C ．若 z2 ≠ 0 ，则
D ．复数 z 在复平面内对应的点为 Z ，若 | z + i | + | z — i |= 2 ，则点 Z 的轨迹是一个椭圆 【答案】 AC
【考点】复数的运算；复数的模
【专题】数系的扩充和复数；综合法；转化思想；数学运算 【分析】根据复数的运算性质逐项判断即可．
解：对于 A ，因为 所以 z30 = i30 = i2 = —1 ，故 A 正确；
对于 B ，取 z1 = 2i ， z2 = 1 满足 | z1 |>| z2 | ，但 z12 = —4, z2(2) = 1 ，所以 z1(2) > z2(2) 不成立，故 B 错误；
对于 C ，若 z2 ≠ 0 ，根据模的性质 故 C 正确；
对于 D ，复数 z 在复平面内对应的点为 Z ，若 | z + i | + | z — i |= 2 ，则点Z 的轨迹是线段，故D 错误． 故选： AC ．
【点评】本题考查复数的运算性质，属于中档题．
11 ．（2024•琼海模拟）设 z1 ， z2 为复数，则下列结论中正确的是 ( )

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为虚数，则 z1 也为虚数
B ．若 | z1 + i |= 1 ，则 | z1 | 的最大值为

C ． z z = z z
| 1 2 | | 1 2 |

D ． | z1 — z2 | .| z1 | + | z2 | 【答案】 ACD
【考点】复数的模；复数的运算
【专题】数学运算；定义法；数系的扩充和复数；对应思想
对于 A ，由 为虚数，得 z1 为虚数，从而可判断 A ，对于 B ，由 z1 = —2i 进行判断，对于 z1 z1 . z1
C ，设 z1 = a + bi ， z2 = c + di(a ， b ， c ， d ∈ R) ，然后分别求解 | z1z2 |, | z1 z2 | 进行判断，对于D ，根据复 数的向量表示及向量的不等式分析判断．
【解答】解：对于 A ，因为为虚数，z1 . z1 为实数，所以 z1 为虚数，所以 z1 也为虚数，所以 A 正 z1 z1 . z1
确，
对于 B ，当 z1 = —2i 时，满足 | z1 + i |= 1 ，此时 所以B 错误， 对于 C ，设 z1 = a + bi ， z2 = c + di(a ， b ， c ， d ∈ R) ，则
z1 . z2 = (a + bi) . (c + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i ，

z1 . z2 = (a + bi) . (c — di) = (ac + bd) + (bc — ad)i ，

所以 | z1z2 |=| z1 z2 | ，所以 C 正确，
对于 D ，设 z1 ， z2 确定的向量分别为O(-)-Z- , O(-)-Z- ，则由向量不等式得

所以 | z1 — z2 | .| z1 | + | z2 | 恒成立，所以D 正确， 故选： ACD ．
【点评】本题考查复数的运算，属于中档题．
12 ．（2024•安徽模拟）若复数 z1 ， z2 是方程 x2 — 6x + 12 = 0 的两根，则 ( )

13
A ． z1 ， z2 实部不同

B ． z1 ， z2 虚部不同

C ．
D ． 在复平面内所对应的点位于第三象限 【答案】 BC
【考点】复数的除法运算；复数对应复平面中的点；复数的模 【专题】定义法；数系的扩充和复数；方程思想；数学运算
【分析】在复数集内解方程 x2 — 6x + 12 = 0 ，求出 ，再根据复数的模及其几何意义、共轭复数、 复数的代数表示及其几何意义、复数的除法运算，逐项判定，即可求出结果．
【解答】解：因为方程 x2 — 6x + 12 = 0 可化为 (x — 3)2 = —3 ，所以 ， 则 z1 ， z2 是共轭复数，实部相同，虚部互为相反数，所以 A 错误， B 正确；
因为 所以 C 正确；
因为 ，
所以在复平面内所对应的点为 ， 位于第一象限，所以D 错误．
故选： BC ．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
13 ．（2024•遵义二模）关于复数 z ，下列结论正确的是 ( )
A ．
B ．若| z |= 2 ，则
C ．若 z = (1+ i)10 = a + bi(a, b ∈ R) ，则b = C1(1)0 × 19 = 10
D ．若 z + z = 1 ，则 z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线 【答案】 AD
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的模；复数的运算
【专题】计算题；整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算 【分析】 由复数的运算和几何意义运算可得结果．
【解答】解：对于 A ，设 z = a + bi(a,b ∈ R) ，则 | z |2 = a2 + b2 ，

14
所以 z = a —bi ，所以| z |2 = z . z = a2 + b2 ，故 A 正确；
对于 B ，若| z |= 2 ，则 a2 + b2 = 4 ，所以 z 不一定是 故 B 错误；
对于 C ，因为 z = (1 + i)10 = [(1 + i)2 ]5 = (2i)5 = 32i ，所以b = 32 ，故 C 错误；
对于 D ，设 z = a +bi(a, b ∈ R) ，则 z = a —bi ，所以 z + z = 2a = 1 ，所以 ，所以 z 在复平面内对应的点 的轨迹为一条直线，故 D 正确．
故选： AD ．
【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．
14 ．（2024•河池模拟）已知 i 为虚数单位，复数 z1 ， z2 为方程 x2 — 2x + 5 = 0 的两个根，则下列选项中正确 的有 ( )
A ． | z1 |=| z2 |

B ． z1 z1 =| z1 |2

C ．复数 z1 在复平面上对应的点在第二象限

D ． 【答案】 ABD
【考点】复数的模；复数的运算
【专题】数学运算；综合法；计算题；转化思想；数系的扩充和复数

【分析】 由题意可知： z2 = z1 ，进而可判断 A ；结合 z . z =| z |2 可判断 BD ；根据复数的几何意义判断 C ．

【解答】解：对于选项 A ：由方程 x2 — 2x + 5 = 0 解得 x = 1 ± 2i ，可知： z2 = z1 ，所以 | z1 |=| z1 |=| z2 | ，故 A
正确；
对于选项 B ：对于任意复数 z = a + bi ，则 z = a — bi ，可得 z . z = (a + bi)(a —bi) = a