2025年高考数学压轴训练一十二.docx

2025 年高考数学压轴训练 12
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•九龙坡区校级模拟） 已知 ，则 z 在复平面上对应的点所在象限为 ( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2 ．（2024•下陆区校级三模） 已知复数 z = a + bi(a,b ∈ R) ，且
A ． B ． C ． D ．
3 ．（2024•新郑市校级一模）复数 z 满足 | z 一1| + | z +1|= 4 ，则 | z | 的取值范围是 ( )
A ． ， 2] B ． [1 ， 2] C ． [2 ， 3] D ．
4 ．（2024•安庆模拟）复数 z 满足 (4 + 3i + z)i = 2 一 i ，则 | z |= ( )
A ． B ． C ． D ．
5 ．（2024•泰州模拟）若复数 z 满足 | z 一1|=| z + i | ，则 | z 一 1 | 的最小值为 ( )
A ． B ． C ．1 D ．
6 ．（2024•张家口模拟） 已知复数 z1 ， z2 ，下列说法正确的有 ( )

A ．若 z1(2) + z2(2) = 0 ，则 z1 = z2 = 0

B ．若 z = 1 + 2i 是关于 x 的方程x2 + px + q = 0(p, q∈ R) 的一个根，则 p + q = 7

C ．若 z1 z1 = z2 z2 ，则 | z1 |=| z2 |
D ．若 | z1 一 z2 |=| z1 | ，则 z2 = 0 或 z2 = 2z1
7 ．（2024•西充县模拟） 已知复数 z 满足 iz = 1 + 4i ，则复数 z 在复平面内对应的点位于 ( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
8 ．（2024•宁波二模） 已知复数 z 的实部大于等于 1 ，则 的最小值为 ( )
A ． B ． C ． 一1 D ． 一3
9 ．（2024•辽宁模拟） 已知复数 z 满足 | z |= 1 且有 z5 + z + 1 = 0 ，则 z = ( )
A ． 一 B ． C ． D ．
10 ．（2023•镇安县校级模拟） 已知 i 为虚数单位，则 )
A ． B ． C ． D ．

1
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•南通模拟） 已知 z1 ， z2 都是复数，下列正确的是 ( )

A ．若 z1 = z2 ，则 z1z2 ∈ R B ．若 z1z2 ∈ R ，则 z1 = z2
C ．若 | z1 |=| z2 | ，则 D ．若 z1(2) + z2(2) = 0 ，则 | z1 |=| z2 |

12 ．（2024•船营区校级模拟） 已知复数 z1 ， z2 满足： z1 为纯虚数， | z2 —1|= 2 | z2 — 4 | ，则下列结论正确的 是 ( )
A ． z1(2) = — | z1 |2 B ． 3.| z2 | .7

C ． | z1 — z2 | 的最小值为 3 D ． | z1 — z2 + 3i | 的最小值为 3
13 ．（2024•重庆模拟） 已知复数 z ， w 均不为 0 ，则 ( )
A ． z2 =| z |2 B ． C ． z — w = z — w D ．
14 ．（2024•庐阳区校级模拟） 已知复数 z ， z1 ， z2 ，下列结论正确的有 ( )
A ．若复数 z 满足 则 z ∈ R
B ．若 z1 ≠ z2 ， z 满足 zz1 = zz2 ，则 z = 0

C ．若 | z1 + z2 |=| z1 — z2 | ，则 z1 . z2 = 0
D ．若复数 z 满足 | z + 2 | + | z — 2 |= 8 ，则 z 在复平面内所对应点的轨迹是椭圆
15 ．（2024•琼海模拟）设 z1 ， z2 为复数，则下列结论中正确的是 ( )
为虚数，则 z1 也为虚数
B ．若 | z1 + i |= 1 ，则 | z1 | 的最大值为

C ． | z1z2 |=| z1 z2 |
D ． | z1 — z2 | .| z1 | + | z2 |
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•荆州区校级模拟）棣莫弗定理：若 n 为正整数，则[r(cosθ+ isinθ)]n = rn [cos(nθ)+ isin(nθ)] ，其
中 i 为虚数单位，已知复数 则 | z2024 |= ， (z2024 ) 的实部为 ．
17 ．（2024•贵州模拟）如果复数 z = x + yi(x∈ R, y ∈ R) ， z1 = —2 ， ， z3 = i 在复平面内对应的点分

2
别为 Z ，Z1 ，Z2 ，Z3 ，复数 z 满足 | z — z1 |= 2 | z — z2 | ，且 则3λ + 2μ 的 最大值为 ．
18 ．（2023•福建学业考试） 已知 i 是虚数单位，则 (1 + i)(1 — i) = ．
19 ．（2022 •苏州三模） 任何一个复数 z = a + bi （其中 a 、 b ∈ R ， i 为虚数单位） 都可以表示成： z = r(cosθ+ i sinθ) 的 形 式 ， 通 常 称 之 为 复 数 z 的 三 角 形 式 ． 法 国 数 学 家 棣 莫 弗 发 现 ： zn = [r(cosθ+ isinθ)]n = rn (cosnθ+ isin nθ)(n ∈ N* ) ，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若 r = 1， 时，则 z2022 = 对于
20．（2022•重庆模拟）任何一个复数 z = a +bi(i 为虚数单位，a ，b ∈ R) 都可以表示为 z = r(cosθ+ i sinθ)(r开0 ， θ ∈ R) 的形式，通常称之为复数 z 的三角形式．瑞士著名数学家欧拉首先发现 cosθ+ isinθ = eiθ (e 为自然对 数的底数），此结论被称为“欧拉公式 ”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函 数的关系．因此可得 (cosθ+ isinθ)n = einθ = cosnθ+ isin nθ . 由复数相等可知对 : n ∈ N* ，存在一个关于 t

的 n 次多项式 Pn (t) = ant n + an—1tn—1 + … + a1t + a0 (a0 ，a1 ， … , an ∈ R) 使得 cos nx = Pn (cos x) ，这样的多项式 被称为“切比雪夫多项式 ”，由 cos 2x = 2 cos2 x —1 知P2 (t) = 2t2 —1 ，则 P3 (t) = ；运用探求切比雪夫多 项式的方法可得 cos 36。= ．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•贵阳模拟）在复数集中有这样一类复数： z = a + bi 与 z = a —bi(a ,b ∈ R) ，我们把它们互称为共 轭复数， b ≠ 0 时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质：
（1） z + z = 2a ∈ R
（2） z — z = 2bi （当 b ≠ 0 时，为纯虚数）
（3） z = z z ∈ R
（4） (z ) = z
（5） z . z = a2 + b2 =| z |2 =| z |2 ．
（6）两个复数和、差、积、商（分母非零） 的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和、差、积、 商．
请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：
（1）设 z ≠ i ， | z |= 1 ．求证： 是实数；
（2） 已知| z1 |= 3 ， | z2 |= 5 ， | z1 — z2 |= 7 ，求 的值；

3
（3）设 z = x + yi ，其中 x ， y 是实数，当| z |= 1 时，求| z2 — z +1| 的最大值和最小值．
22．（2024•大祥区校级模拟）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数 z = a +bi 对应复平面内的点 Z ， 设 上XOZ = θ , | OZ |= r ，则任何一个复数 z = a +bi 都可以表示成： z = r(cosθ+ isinθ) 的形式，这种形式 叫做复数三角形式，其中 r 是复数 z 的模， θ 称为复数 z 的辐角，若 0 .θ< 2兀 ，则θ 称为复数 z 的辐角主 值 ，记为 arg z ． 复数有以下三角形式的运算法则 ：若 zi = ri (cosθi + isinθi ) ， i = 1 ，2 ， … n ， 则：
z1 . z2 . … . zn = r1r2 …rn [cos(θ1 + θ2 + … + θn ) + isin(θ1 + θ2 + … + θn )] ， 特 别 地 ， 如 果 z1 = z2 = …zn = r(cosθ+ isinθ) ，那么[r(cosθ+ isinθ)]n = rn (cosnθ+ isin nθ) ，这个结论叫做棣莫弗定理．请 运用上述知识和结论解答下面的问题：
（1）求复数 z = 1 + cosθ+ isinθ , θ ∈ (兀 , 2兀) 的模| z | 和辐角主值 arg z （用θ 表示）；
（2）设 n .2024 ， n ∈ N ，若存在θ ∈ R 满足 (sinθ+ i cosθ)n = sin nθ+ icosnθ , 那么这样的 n 有多少个？
（3）求和： S = cos 20o + 2 cos 40o + 3cos 60o + … + 2034 cos 2034 × 20o ．
23 ．（2024•西山区模拟）我们把 a0 + a1x + a2x2 + … + an xn = 0 （其中 an ≠ 0 ，n∈ N* ) 称为一元 n 次多项式方 程．
代数基本定理：任何复系数一元 n(n∈ N* ) 次多项式方程（即 a0 ， a1 ， a2 ， … , an 为实数）在复数集内至 少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元 n(n∈ N* ) 次多项式方程在复数集内有且仅有 n 个复数根（重 根按重数计算）．
那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元 n(n∈ N* ) 次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为 n 个一元一次多项式的积．
即 a0 + a1x + a2x2 + … + an xn = an (x — α1 )k1 (x — α2 )k2 …(x — αm )km ，其中 k ，m ∈ N* ，k1 + k2 + … + km = n ， α1 ， α2 ， … , αm 为方程 a0 + a1x + a2x2 + … + an xn = 0 的根．
进一步可以推出：在实系数范围内（即 a0 ，a1 ，a2 ， … , an 为实数），方程 a0 + a1x + a2x2 + … + an xn = 0 的 有实数根，则多项式 a0 + a1x + a2x2 + … + an xn 必可分解因式．例如：观察可知， x = 1 是方程 x3 —1 = 0 的一 个根 ，则 (x —1) 一定是多项式 x3 —1 的一个因式 ， 即 x3 —1 = (x —1)(ax2 + bx + c) ， 由待定系数法可知 ， a = b = c = 1．
（1）解方程： x3 — 2x + 1 = 0 ；
（2）设 f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 ，其中 a0 ， a1 ， a2 ， a3 ∈ R+ ，且 a0 + a1 + a2 + a3 = 1 ．

4
(i) 分解因式： x — (a0 + a1x + a2x2 + a3x3 ) ；
(ii) 记 点 P(x0 ， y0 ) 是 y = f(x) 的 图 象 与 直 线 y = x 在 第 一 象 限 内 离 原 点 最 近 的 交 点 ． 求 证 ： 当 a1 + 2a2 + 3a3 .1 时， x0 = 1 ．
24 ．（2022•上海模拟）设复数 z1 = 1 — i ， z2 = cosθ + i sinθ , 其中θ ∈ [0 ， 兀 ] ．

（1）若复数 z = z1 . z2 为实数，求 θ 的值；
（2）求 |3z1 + z2 | 的取值范围．
25 ．（2022•宝山区校级二模） 已知虚数 z = a + i cosθ , 其中 a ， θ ∈ R ， i 为虚数单位．
①若对任意θ ∈ R ，均有 | z + 2 — i | .3 ，求实数 a 的取值范围；
②若 z ， z2 恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求 a ， θ 的值．

5
2025 年高考数学压轴训练 12
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•九龙坡区校级模拟） 已知 ，则 z 在复平面上对应的点所在象限为 ( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】 D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】根据题意，利用复数的四则运算求出 z ，结合复数的几何意义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，因为 所以它在复平面上对应的点为 (5, —3) ，该点位于第四象限．
故选： D ．
【点评】本题考查复数的计算，涉及复数的几何意义，属于基础题．
2 ．（2024•下陆区校级三模） 已知复数 z = a + bi(a,b ∈ R) ，且
A ． B ． C ． D ．
【答案】 C
【考点】复数的运算；共轭复数
【分析】 由已知结合复数的四则运算及复数相等的条件即可求解．
【解答】解：因为 z = a + bi(a,b ∈ R) ， | z |= 1 ， 所以 a2 + b2 = 1，

则 ， ，
当 ， 时， ，
当当 时 ．
故选： C ．

6
【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数相等条件的应用，属于中档题．
3 ．（2024•新郑市校级一模）复数 z 满足 | z -1| + | z +1|= 4 ，则 | z | 的取值范围是 ( )
A ． B ． [1 ， 2] C ． [2 ， 3] D ． [1 ， ]
【答案】 A
【考点】复数的模
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】根据已知条件可得，复数 z 对应的点的轨迹是以F1 (-1, 0) ，F2 (1, 0) 为焦点，两条坐标轴为对称轴， 长轴长为 4 的椭圆，再结合椭圆的性质，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解： : 复数 z 满足 | z -1| + | z +1|= 4 ，
: 复数 z 对应的点的轨迹是以F1 (-1, 0) ，F2 (1, 0) 为焦点，两条坐标轴为对称轴，长轴长为4 的椭圆，即 2a = 4 ， 解得 a = 2 ，
: 该椭圆的短轴长 ， | z | 表示椭圆上的点到原点的距离，
则 | z |的最大值为椭圆的长半轴 a ，最小值为短半轴b ，
故 | z | 的取值范围为 ．
故选： A ．
【点评】本题主要考查复数模公式，考查转化能力，属于中档题．
4 ．（2024•安庆模拟）复数 z 满足 (4 + 3i + z)i = 2 - i ，则 | z |= ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 D
【考点】复数的模；复数的运算
【专题】综合法；转化思想；数学运算；数系的扩充和复数 【分析】利用复数的运算性质以及模的求解公式即可求解．
【解答】解： 由已知可得 所以
故选： D ．
【点评】本题考查了复数的运算性质以及模的求解，属于基础题．
5 ．（2024•泰州模拟）若复数 z 满足 | z -1|=| z + i | ，则 | z - 1 | 的最小值为 ( )

7
A ． B ． C ．1 D ． 【答案】 B
【考点】复数的模
【专题】数学运算；方程思想；数系的扩充和复数；定义法
【分析】根据已知条件得出 z 所对应的点的轨迹方程，进而可求 | z — 1 |的最小值．
解：设 z = x + yi(x,y ∈ R) ，则 整理得x + y = 0 ，即 z 所对应的点在 直线 x + y = 0 上，
则 | z — 1 | 的最小值为点 (1, 0) 到 x + y = 0 的距离： ．
故选： B ．
【点评】本题考查复数的几何意义，属于中档题．
6 ．（2024•张家口模拟） 已知复数 z1 ， z2 ，下列说法正确的有 ( )

A ．若 z1(2) + z2(2) = 0 ，则 z1 = z2 = 0

B ．若 z = 1 + 2i 是关于 x 的方程x2 + px + q = 0(p, q ∈ R) 的一个根，则 p + q = 7

C ．若 z1 z1 = z2 z2 ，则 | z1 |=| z2 |
D ．若 | z1 — z2 |=| z1 | ，则 z2 = 0 或 z2 = 2z1
【答案】 C
【考点】复数的运算；复数的模
【专题】综合法；转化思想；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】对于 A ，令 z1 = 1 ， z2 = i 即可判断；对于D ，令 即可判断；对于 B ， 由韦 达定理即可验算；对于 C ，由共轭复数以及模的运算公式即可判断．
【解答】解：对于 A ，令 z1 = 1 ， z2 = i ，显然 z1(2) + z2(2) = 1 + i2 = 0 ，但 z1 ， z2 都不等于 0 ，故 A 错误；
对于 B ，由于一元二次方程的虚根是以共轭复数的形式成对出现的，
所以若 z = 1 + 2i 是关于x 的方程 x2 + px + q = 0(p, q ∈ R) 的一个根，

则 z = 1 — 2i 也是关于 x 的方程 x2 + px + q = 0(p, q ∈ R) 的一个根，
从而由韦达定理有 p + q = —(z + z ) + z . z = —(1+ 2i + 1— 2i) + (1+ 2i)(1— 2i) = —2 + 5 = 3 ，故 B 错误； 对于 C ，设 zk = xk + yki(k = 1, 2) ，

8

而 z1 z1 = (x1 + y1i)(x1 — y1i) = x12 + y12 =| z1 |2 = z2 z2 = (x2 + y2 i)(x2 — y2 i) = x22 + y22 =| z2 |2 ，所以 | z1 |=| z2 | ，故 C 正
确；
对于 显然有 | z1 — z2 |= 1 =| z1 | ，但不满足 z2 = 0 且 z2 = 2z1 ，故D 错误． 故选： C ．
【点评】本题考查了复数的乘法运算，共轭复数的定义，是基础题．
7 ．（2024•西充县模拟） 已知复数 z 满足 iz = 1 + 4i ，则复数 z 在复平面内对应的点位于 ( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】 D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算
【专题】定义法；数学运算；方程思想；数系的扩充和复数
【分析】设 z = a +bi(a, b ∈ R) ，代入 iz = 1 + 4i ，整理后利用复数相等的条件列式求解 a 与b 的值，则答案 可求．
【解答】解：设 z = a + bi(a, b ∈ R) ，
代入 iz = 1 + 4i ，得 i(a + bi) = —b + ai = 1 + 4i ， 则 z = 4 — i ，
则复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 (4, —1) ，位于第四象限．
故选： D ．
【点评】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养，是基础题．
8 ．（2024•宁波二模） 已知复数 z 的实部大于等于 1 ，则 的最小值为 ( )
A ． B ． C ． D ． 【答案】 C
【考点】复数的运算；复数的模
【专题】数据分析；数形结合法；数系的扩充和复数；转化思想
【分析】根据实部大于等于 1 ，得出 a ， b 的取值范围，从而转化为距离的最小值． 【解答】解： 由题意，设
则 且 即

9

: 最小值为 一2 一 故选： C ．
【点评】本题考查了复数的运算法则与复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9 ．（2024•辽宁模拟） 已知复数 z 满足 | z |= 1 且有 z5 + z + 1 = 0 ，则 z = ( )
A ． 一 B ． C ． D ． 【答案】 A
【考点】复数的模；复数的运算
【专题】定义法；方程思想；数学运算；数系的扩充和复数
【分析】设 z = cosθ+ i sinθ(i 为虚数单位），由棣莫佛公式可知 z5 = cos 5θ + i sin 5θ , 根据平方关系求出cosθ , 从而求出sin θ , 即可得解．
【解答】解：设 z = cosθ+ i sinθ(i 为虚数单位），由棣莫佛公式可知 z5 = cos 5θ + i sin 5θ ,
因为 z5 + z + 1 = 0 ，所以 cos 5θ + i sin 5θ + cosθ + i sinθ + 1 = 0 ，即 (cos 5θ + cosθ +1) + (sin 5θ + sinθ) i = 0 ， 所以 即
因为 (cos5θ)2 + (sin 5θ)2 = 1 ，
所以 (cos5θ)2 + (sin 5θ)2 = (一cosθ 一1)2 + (一sinθ)2 = 1 ，
即 cos2 θ + 2 cosθ +1 + sin2 θ = 1 ，所以 cosθ = 一 所以 一
所以 ．
故选： A ．
【点评】本题考查复数的运算，属于中档题．
10 ．（2023•镇安县校级模拟） 已知 i 为虚数单位，则 )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 D
【考点】复数的运算
【专题】数系的扩充和复数；转化思想；数学运算；综合法 【分析】 由复数的四则运算法则计算可得．

10
解 故选： D ．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•南通模拟） 已知 z1 ， z2 都是复数，下列正确的是 ( )

A ．若 z1 = z2 ，则 z1z2 ∈ R B ．若 z1z2 ∈ R ，则 z1 = z2
C ．若 | z1 |=| z2 | ，则 D ．若 z1(2) + z2(2) = 0 ，则 | z1 |=| z2 |
【答案】 AD
【考点】复数的运算；复数的模；共轭复数
【专题】数学运算；综合法；数系的扩充和复数；整体思想
【分析】结合复数的基本概念及复数的四则运算及复数的运算性质检验各选项即可判断．

【解答】解：若 z1 = z2 ，则 z1z2 = z2 . z2 ∈ R ， A 正确；
当 z1 = 2i ， z2 = i 满足 z1z2 ∈ R ， B 显然错误；

当 z1 = 1 ， z2 = i 时，满足 | z1 |=| z2 | ，但 z12 = 1 ， z22 = —1 ， C 显然错误； 设 z1 = a + bi ， z2 = c + di(a ， b ， c ， d 都为实数），
若 z1(2) + z2(2) = 0 ，则 z12 = —Z22 ，

所以 | z12 |=| —z22 |=| z22 | ，

所以 | z1 |2 =| z2 |2 ，即 | z1 |=| z2 | ， D 正确．
故选： AD ．
【点评】本题主要考查了复数的基本概念，复数的运算性质的综合应用，考查了分析问题的能力，属于中 档题．
12 ．（2024•船营区校级模拟） 已知复数 z1 ， z2 满足： z1 为纯虚数， | z2 —1|= 2 | z2 — 4 | ，则下列结论正确的 是 ( )
A ． z1(2) = — | z1 |2 B ． 3.| z2 | .7

C ． | z1 — z2 | 的最小值为 3 D ． | z1 — z2 + 3i | 的最小值为 3
【答案】 ABD

11
【考点】复数的模；纯虚数；复数的运算
【专题】数系的扩充和复数；整体思想；数学运算；综合法
【分析】借助复数的基本概念与模长运算可得 A ；借助复数的几何意义计算可得 B ；借助圆与直线的距离 可得 C 、 D ．
【解答】解： : z1 为纯虚数， : 可设 z1 = bi(b ≠ 0) ， : z1(2) = —b2 = — | z1 |2 ， : 选项 A 正确；

对 B ：设 z2 = m + ni(m, n ∈ R) ， :| z2 —1|= 2 | z2 — 4 | ，

则 (m —1)2 + n2 = 4(m — 4)2 + 4n2 ，即 (m — 5)2 + n2 = 4 ，

则 z2 所对应点的轨迹是以 (5, 0) 为圆心， 以 2 为半径的圆，

:3.| z2 | .7 ， :选项 B 正确；

对 C :: z1 为纯虚数， :z1 对应点在 y 轴上（除去原点），

z2 所对应点的轨迹是以 (5, 0) 为圆心， 以 2 为半径的圆，

:| z1 — z2 | 的取值范围为 (3, +∞) ， :| z1 — z2 | 无最小值，选项 C 错误； 对D ::| z1 — z2 + 3i |=| (b + 3)i — z2 | ，
表示点 (0, b + 3) 到以 (5, 0) 为圆心， 以 2 为半径的圆上的点的距离， : (b + 3)i(b ≠ 0) 为纯虚数或 0 ， (0, b + 3) 在y 轴上（除去点 (0, 3)) ，
: 当b = —3 时 | z1 — z2 + 3i | 取得最小值 3 ， :选项D 正确． 故选： ABD ．
【点评】本题主要考查了复数的基本概念，复数的模长公式，复数的几何意义的应用，属于中档题．
13 ．（2024•重庆模拟） 已知复数 z ， w 均不为 0 ，则 ( )
A ． z2 =| z |2 B ． C ． z — w = z — w D ． 【答案】 BCD
【考点】共轭复数；复数的模；复数的运算
【专题】数系的扩充和复数；数学运算；转化思想；综合法 【分析】利用复数的运算性质对四个选项逐一判断可得答案． 【解答】解： : 复数 z ， w 均不为 0，
对于 A ，不妨令 z = i ，则 z2 = —1 ， | z |2 = 1 ， z2 ≠| z |2 ， A 错误；
2

对于 B ， z z . z z ， B 正确；

12

对于 C ，由复数的运算性质，可得 z — w = z — w ， C 正确； 对于
故 正确．
故选： BCD ．
【点评】本题考查复数的运算，属于中档题．
14 ．（2024•庐阳区校级模拟） 已知复数 z ， z1 ， z2 ，下列结论正确的有 ( )
A ．若复数 z 满足 则 z ∈ R
B ．若 z1 ≠ z2 ， z 满足 zz1 = zz2 ，则 z = 0

C ．若 | z1 + z2 |=| z1 — z2 | ，则 z1 . z2 = 0
D ．若复数 z 满足 | z + 2 | + | z — 2 |= 8 ，则 z 在复平面内所对应点的轨迹是椭圆 【答案】 ABD
【考点】复数的模；复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义
【专题】数学运算；逻辑推理；转化思想；方程思想；定义法；数系的扩充和复数
【分析】设 z = a +bi(a, b ∈ R) ，由 ，得出 z ∈ R ，判断选项 A 即可；
设 z1 = a1 + b1i(a1 ，b1 ∈ R) ，z2 = a2 + b2 i(a2 ，b2 ∈ R) ，计算 zz1 ，zz2 ，由 zz1 = zz2 ，得出 z = 0 ，判断选项 B 即可；
由 | z1 + z2 |=| z1 — z2 | ，利用模长公式，计算即可得出 z1z2 不一定为 0 ，判断选项 C 即可；
设复数 z 在复平面内对应点 Z ，由 | z + 2 | + | z — 2 |= 8 ，结合椭圆的定义，即可判断选项D ．
解：设 z = a + bi(a, b ∈ R) ，由 得 b = 0 ，所以 z ∈ R ，选项 A 正确；
设 z1 = a1 + b1i(a1 ， b1 ∈ R) ， z2 = a2 + b2 i(a2 ， b2 ∈ R) ，
则 zz1 = (a1 + b1i)(a + bi) = (a1a — b1b) + (a1b + ab1 )i ， zz2 = (a2 + b2 i)(a + bi) = (a2 a — b2b) + (a2b + ab2 )i ， 所以 (a1a — b1b) + (a1b + ab1 )i = (a2 a — b2b) + (a2b + ab2 )i ，即
因为 z1 ≠ z2 ，即 a1 + b1i ≠ a2 + b2 i ，所以 a1 — a2 ， b1 —b2 至少有一个不为零， 不妨设 a1 — a2 ≠ 0 ，由 可得

13
所以 a2 (a1 — a2 ) + b2 (a1 — a2 ) = 0 ，所以 a2 + b2 = 0 ，即 a = b = 0 ， z = 0 ，选项B 正确；
由 | z1 + z2 |=| z1 — z2 | ， 可 得 | z1 + z2 |2 = (a1 + a2 )2 + (b1 + b2 )2 =| z1 — z2 |2 = (a1 — a2 )2 + (b1 — b2 )2 ， 所 以 a1a2 + b1b2 = 0 ，
而 z1z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2 i) = a1a2 — b1b2 + (a1b2 + b1a2 )i = 2a1a2 + (a1b2 + b1a2 )i ，不一定为 0 ，选项 C 错误； 设复数 z 在复平面内对应点 Z (x, y) ，记F1 (—2, 0) ， F2 (2, 0) ，
由 | z + 2 | + | z — 2 |= 8 ，得 | ZF1 | + | ZF2 |= 8 ，这符合椭圆定义，选项D 正确． 故选： ABD ．
【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
15 ．（2024•琼海模拟）设 z1 ， z2 为复数，则下列结论中正确的是 ( )
为虚数，则 z1 也为虚数
B ．若 | z1 + i |= 1 ，则 | z1 | 的最大值为 、

C ． | z1z2 |=| z1 z2 |
D ． | z1 — z2 | .| z1 | + | z2 |
【答案】 ACD
【考点