2025年高考数学压轴训练一十四.docx

2025 年高考数学压轴训练 14
一．选择题（共 16 小题）
1．（2023•东城区校级模拟）在空间直角坐标系 O — xyz 中．正四面体 P — ABC 的顶点 A ，B 分别在 x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是 2 ，则 | OP | 的取值范围是 ( )
A ． ，
2 ．（2024•南湖区校级一模）正四面体的棱长为 3 ，点M ， N 是它内切球球面上的两点， P 为正四面体表
→ →
面上的动点，当线段MN最长时， P--M-- . P--N- 的最大值为 ( )
A ．2 B ． C ．3 D ．
3 ．（2024•金安区校级模拟）正四面体 ABCD 棱长为 且 x + y + z = 1 ，以 A 为
球心且半径为 1 的球面上有两点M ， N ，M-- = A(-)- ，则 P--M-2 + P--2 的最小值为 ( )

A ．24 B ．25 C ．48 D ．50
4 ．（2024•浦东新区校级模拟）设 A1 ， A2 ， … , An 是空间中给定的 n 个不同的点，则使 成立 的点M 的个数为 ( )
A ． 1 B ． n
C ．无穷多个 D ．前面的说法都有可能
5 ．（2024•皇姑区校级模拟）三棱锥 P — ABC 所有棱长都等于 2 ，动点M 在三棱锥 P — ABC 的外接球上，

----→ --- ---
且 AM . BM = 0, | PM | 的最大值为 s ，最小值为 t ，则 s : t = ( )

A ．2 B ． C ． D ．3
6 ．（2024•赣州模拟）已知球 O 内切于正四棱锥P — ABCD ，PA = AB = 2 ，EF 是球 O 的一条直径，点 Q 为

---→ ---→
正四棱锥表面上的点，则 QE . QF 的取值范围为 ( )

C ． D ．
7 ．（2024•重庆模拟） 已知空间三点 A(0 ，2 ， 3) ， B(—2 ，1 ， 6) ， C(1 ， —1 ， 5) ，则以 AB 、 AC 为邻边 的平行四边形的面积为 ( )
A ．7 B ． C ． D ．
---→ ---→ --
8 ．（2024•南充模拟） 已知正方形 ABCD 的边长为 1 ，则 | AB + BC — CA |= ( )

A ．0 B ． C ．2 D ．

1
9 ．（2023•江西模拟） 已知点 P 在棱长为 2 的正方体表面上运动， AB 是该正方体外接球的一条直径，则
-- --
PA . PB 的最小值为 ( )
A ． —2 B ． —3 C ． —1 D ．0
10 ．（2023•德阳模拟） 已知 ， j(→) ， k(→) 表示共面的三个单位向量， 丄 j(→) ，那么 ( + k(→)) . (j(→) + k(→)) 的取值范围
是 ( )
A ． [—3 ， 3] B ． [—2 ， 2] C ． ， D ． ，
11 ．（2024•朝阳区一模）在棱长为 1 的正方体 ABCD — A1B1C1D1 中，E ，F ， G 分别为棱 AA1 ，BC ， CC1
的中点，动点 H 在平面EFG 内，且DH = 1 ．则下列说法正确的是 ( )

A ．存在点H ，使得直线DH 与直线FG 相交
B ．存在点H ，使得直线DH 丄 平面 EFG
C ．直线B1H 与平面 EFG 所成角的大小为3(兀)
D ．平面 EFG 被正方体所截得的截面面积为
12 ．（2024•安庆二模）如图，在长方体 ABCD — A1B1C1D1 中， AB = 2AD = 2AA1 ，点E 是棱 AB 上任意一点 （端点除外），则 ( )

A ．不存在点 E ，使得 EC 丄 D1E

B ．空间中与三条直线A1D1 ， EC ， BB1 都相交的直线有且只有 1 条

C ．过点E 与平面D1AE 和平面DAEC 所成角都等于8(兀) 的直线有且只有 1 条
D ．过点 E 与三条棱 AB ， AD ， AA1 所成的角都相等的直线有且只有 4 条

2
13 ．（2024•金东区校级模拟）已知矩形 ABCD ， AB = 1 ，BC = ·、 ，沿对角线 AC 将△ ABC 折起，若二面
角 B — AC — D 的余弦值为 ，则 B 与D 之间距离为 ( )
A ．1 B ． C ． D ．
14 ．（2024•东西湖区校级模拟）如图所示是一个以 AB 为直径，点 S 为圆心的半圆，其半径为 4 ， F 为线 段 AS 的中点，其中 C ， D ， E 是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该 半圆围成一个以 S 为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是 ( )

A ． ΔCEF 为正三角形 B ． SA 丄 平面 CEF
C ． SD / / 平面 CEF D ．点D 到平面 CEF 的距离为 2
15 ．（2024•衡阳县校级模拟） 已知在平行四边形 AVBC 中， VA = VB = 2 且 上AVB = 60O ，把三角形VAB 沿 对角线 AB 折叠，使得VC = 1 ，得到三棱锥 V — ABC ，如图所示，则下列说法中正确是 ( )

A ．点 V 到平面 ABC 的距离为
B ．直线 AB 与直线VC 不垂直
C ．直线VC 与平面 ABC 所成角的正弦值等于
D ．三棱锥 V — ABC 外接球的表面积为 兀
16．（2024•建邺区校级模拟）在长方体 ABCD — A1B1C1D1 中，AA1 = 3 ，AB = AD = 4 ，则异面直线 AB 与 A1C 的距离为 ( )
A ． B ． C ． D ．
二．多选题（共 3 小题）
17 ．（ 2024 • 朝 阳 区 校 级 模 拟 ） 已 知 正 方 体 ABCD — A1B1C1D1 边 长 为 2 ， 动 点 M 满 足

3
则下列说法正确的是 ( )
时，则直线 AM 丄 平面 A1BD
时， B1M + MD 的最小值为
C ．当 x + y = 1 ， z ∈ [0 ， 1] 时， AM 的取值范围为
D ．当 x + y + z = 1 ，且 时，则点M 的轨迹长度为 兀
18 ．（2024•民乐县校级一模）下列命题错误的是 ( )

---→ -- ---→ ---→
A ．对空间任意一点 O 与不共线的三点 A ， B ， C ，若 OP = xOA + yOB + zOC ，其中x ， y ， z ∈ R 且
x + y + z = 1 ，则 P ， A ， B ， C 四点共面
B ．已知 = (1, —1) ， b(→) = (d , 1) ， 与 b(→) 的夹角为钝角，则 d 的取值范围是 d < 1
C ．若 ， b(→) 共线，则| | — | b(→) |=| + b(→) |
D ．若 ， b(→) 共线，则一定存在实数 λ 使得b(→) =
-- -- -- → -- ---→ -- → -- →
19．（2023•蕉城区校级模拟）已知空间单位向量 PA ，PB ，PC 两两夹角均为 60O ，PA = 2PE ，BC = 2BF ，
则下列说法中正确的是 ( )
A ． P 、 A 、 B 、 C 四点可以共面
C ． D ．
三．填空题（共 4 小题）
20 ．（2024•海珠区校级模拟）在空间直角坐标系中，定义点 A(x1 ， y1 ， z1 ) 和点 B(x2 ， y2 ， z2 ) 两点之间 的“直角距离 ” d( A,B ) =| x1 — x2 | + | y1 — y2 | + | z1 — z2 | ．若 A 和 B 两点之间的距离是 则 A 和 B 两点之 间的“直角距离 ”的取值范围是 ．
→ →
21 ．（2024•广州模拟） 已知 A ， M ， N 是棱长为 1 的正方体表面上不同的三点，则 A(-)-M-- . A(-)-N- 的取值范围
是 ．
22 ．（2024•中山市校级模拟） 已知正四面体 A — BCD 的棱长为 2 ，若球 O 与正四面体的每一条棱都相切，
-- --
点 P 为球面上的动点，且点 P 在正四面体面 ACD 的外部（含正四面体面 ACD 表面）运动，则 PA . PB 的
取值范围为 ．
23 ．（2024•拉萨一模） 已知 x ， y ∈ R ，空间向量 = (2, 1, x), b(→) = (4, y,—1) ．若 / /b(→) ，则 2x + y = ．
四．解答题（共 2 小题）

4
24．（2024•安徽模拟）一般地，n 元有序实数对 (a1 ，a2 ，… , an ) 称为 n 维向量．对于两个 n 维向量 = (a1 ，
a2 … ， an ) ， b(→) = (b1 ， b2 ， …bn ) ，定义两向量的数量积为 ，向量 的模 ，
且| — tb(→) | 取最小值时， tb(→) 称为 在 b(→) 上的投影向量．
（1）求证： 在 b(→) 上的投影向量为
（2）某公司招聘时对应聘者的语言表达能力 (β1 ) 、逻辑推理能力 (β2 ) 、动手操作能力 (β3 ) 进行测评，每 门总分均为 10 分，测评结果记为一个三维向量 = (β1 ， β2 ， β3 ) 而不同岗位对于各个能力需求的比重各 不相同，对于每个岗位均有一个事先确定的“能力需求向量 ” = (a1 ，a2 ，a3 )(a1开0 ，a ≠ 0) 将 在 上 的投影向量的模称为该应聘者在该岗位的“适合度 ”．其中四个岗位的“能力需求向量 ”如下：
岗位
能力需求向量
会计
-
α1 = (1 ，2 ， 2)
技工
--→
α2 = (1 ，2 ， 3)
推销员
--→
α3 = (4 ，2 ， 0)
售后维修员
--→
α4 = (2 ，1 ， 3)
( Ⅰ ) 应聘者小明的测评结果为 = (6 ，7 ， 8) ，试分析小明最适合哪个岗位．

( Ⅱ ) 已知小红在会计、技工和某岗位 A 的适合度分别为 m1 ， m2 ， m3 (mi > 0 ， i = 1 ，2 ， 3) ．若能根据 这三个适合度求出小红的测评结果，求证：会计、技工和岗位 A 的“能力需求向量 ”能作为空间中的一组 基底．
25．（2022•湖北模拟）如图所示，在四棱锥 P — ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA 丄 底面 ABCD ，PA = AB ， E ， F 分别为线段PB ， BC 上的动点．
（1）若 E 为线段 PB 的中点，证明：平面 AEF 丄 平面 PBC ；
若 且平面 AEF 与平面 PBC 所成角的余弦值为 试确定点F 的位置．

5
2025 年高考数学压轴训练 14
参考答案与试题解析
一．选择题（共 16 小题）
1．（2023•东城区校级模拟）在空间直角坐标系 O - xyz 中．正四面体 P - ABC 的顶点 A ，B 分别在 x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是 2 ，则 | OP | 的取值范围是 ( )
A ． ， 【答案】 A
【考点】空间中的点的坐标
【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离
【分析】根据题意画出图形，结合图形，固定正四面体 P - ABC 的位置，则原点 O 在以 AB 为直径的球面 上运动，
原点 O 到点P 的最近距离等于 PM 减去球的半径，最大距离是 PM 加上球的半径． 【解答】解：
如图所示，若固定正四面体 P - ABC 的位置，则原点 O 在以 AB 为直径的球面上运动， 设 AB 的中点为
所以原点 O 到点P 的最近距离等于 PM 减去球M 的半径， 最大距离是 PM 加上球M 的半径；
所以 ，

即 | OP | 的取值范围是 ， ·、 +1] ．
故选： A ．

【点评】本题主要考查了点到直线以及点到平面的距离与应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题， 是综合题．
2 ．（2024•南湖区校级一模）正四面体的棱长为 3 ，点M ， N 是它内切球球面上的两点， P 为正四面体表

6
--- ---→
面上的动点，当线段MN最长时， PM . PN 的最大值为 ( )
A ．2 B ． C ．3 D ．
【答案】 C
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；球
【分析】设四面体 ABCD 的内切球球心为 O ，G 为 ΔBCD 的中心，E 为 CD 的中点，连接 AG ，BE ，则 O
在 AG 上 ，连接 BO ，根据题意求出内切球的半径 ， 当 MN 为内切球的直径时 ， MN 最长 ，再化简
PM . PN = (PO + OM ). (PO + ON) 可求得其最大值．
--- ---→ ---→ ----→ ---→ ---→

【解答】解：设正四面体 ABCD 的内切球球心为 O ，G 为 ΔBCD 的中心，E 为 CD 的中点，连接 AG ，BE ， 则 O 在 AG 上，连接 BO ，则 AO = BO ．
因为正四面体的棱长为 3 ，所以 所以 设内切球的半径为 r ， 则 解得 ，
当MN 为内切球的直径时MN 最长，此时 --- ---→ ---→ ----→ ---→ ---→
PM . PN = (PO + OM ). (PO + ON)

---→ ---→
因为 P 为 正 四面体表面 上 的动 点 ， 所 以 当 P 为 正 四体 的顶 点 时 ， | PO | 最长 ， | PO | 的最 大值 为
所以 的最大值为 ．

故选： C ．
【点评】本题考查的知识要点：锥体和球体的关系，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中 档题．

7
---→ ---→ ---→ ---→
3 ．（2024•金安区校级模拟）正四面体 ABCD 棱长为 6 ， AP = x AB + y AC + z AD ，且 x + y + z = 1 ，以 A 为

→ → → 2 → 2
球心且半径为 1 的球面上有两点M ， N ，M--A(-) = A(-)-N- ，则 P--M-- + P--N- 的最小值为 ( )

A ．24 B ．25 C ．48 D ．50
【答案】 D
【考点】空间向量及其线性运算；点、线、面间的距离计算
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算
---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ----→ ---→ --- -- ----→
【分析】先由 AB . AC = AB . AD = AC . AD = 36 ，再由MA = AN ，推出 | AM |=| AN |= 1 ， PM = PA + AM ，
PN = PA + AN ，再由向量的数量积的计算公式得到 PM + PN = 74 — 72(xy + yz + xz) ，结合基本不等式，
---→ -- ---→ ---2 ---→2

即可求解结果．
【解答】解：法一：因为正四面体 ABCD 的棱长为 6，
所以 AB . AC =| AB || AC | cos 60O = 36 ，
---→ ---→ ---→ ---→

---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→ ---→
同理可得 AB . AD =| AB || AD | cos 60O = 36 ， AC . AD =| AC || AD | cos 60O = 36 ，

---→ ---→
又因为以 A 为球心且半径为 1 的球面上有两点M ， N ， MA = AN ，
所以 | AM |=| AN |= 1 ，
----→ ---→

由 AP = x AB + y AC + z AD ，
---→ ---→ ---→ ---→

--2 -- ----→ ----→ 2 --2 -- ---→ ---→ 2
= PA + 2PA . AM + AM + PA + 2PA . AN + AN ，
---→ ---→ ---→ 2
= 2(x AB + y AC + z AD) + 2 ，
= 2(x2 A(-)-2 + y2 A(-)-2 + z2 A(-)-2 + 2xyA(-)- . A(-)- + 2yzA(-)- . A(-)- + 2xzA(-)- . A(-)-) + 2 ，

= 2(36x2 + 36y2 + 36z2 + 36xy + 36yz + 36xz) + 2 ，

= 74 — 72(xy + yz + xz) ，
因为 x + y + z = 1 ，所以1 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz开3(xy + yz + xz) ， 当且仅当取等号，
此时
所以

8
故 P--M-2 + P--2 的最小值为 50．
法二： 由于 x + y + z = 1 ，所以点 P 在平面BCD 内，

---2 ---→2 -- ----→ -- ---→ --2 -- ----→ ---→ ----→2 ---→2
所以PM + PN = (PA + AM)2 + (PA + AN)2 = 2PA + 2PA. (AM + AN)+ AM + AN ，
由于M-- = A(-)- ，所以A(-)-M--→ + A(-)- = ，

----→ ---→
由于 R = 1 ，所以| AM |=| AN |= 1 ，

--
当点 P 为点 A 在平面 BCD 内的射影时， | PA | 最小，
由于棱长为 6，
所以 AP2 = AB2 — BP2 = 36 — 12 = 24 ，
所以 P--M-2 + P--2 开2× 24 + 2 = 50 ．
故选： D ．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算能 力，属于中档题．
4 ．（2024•浦东新区校级模拟）设 A1 ， A2 ， … , An 是空间中给定的 n 个不同的点，则使 成立 的点M 的个数为 ( )
A ． 1 B ． n
C ．无穷多个 D ．前面的说法都有可能 【答案】 A
【考点】空间向量及其线性运算
【专题】综合法；平面向量及应用；对应思想；数学运算
【分析】设出点的坐标，利用向量坐标运算得到方程，表达出点M 的坐标，得到答案．
【解答】解：设 Ai (xi ， yi ， zi ) ，M (x ， y ， z) ，

所以 ，
所以 所以满足条件的点M 的个数为 1 个．

9
故选： A ．
【点评】本题考查了向量的坐标运算，属于中档题．
5 ．（2024•皇姑区校级模拟）三棱锥 P — ABC 所有棱长都等于 2 ，动点M 在三棱锥 P — ABC 的外接球上，
----→ --- ---
且 AM . BM = 0, | PM | 的最大值为 s ，最小值为 t ，则 s : t = ( )

A ．2 B ． C ． D ．3
【答案】 C
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】空间向量及应用；转化思想；计算题；数学运算；综合法
---
【分析】根据题意确定M 点的轨迹，结合余弦定理求 | PM | 的取值范围．
【解答】解：如图：

过 P 作PH 丄 平面 ABC 于H ，则正四面体的外接球球心（也是内切球球心）在线段 PH 上，设为 O ， 设内切球半径为 r ，外接球半径为 ，

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所以 ，
. 因为M 在 P — ABC 的外接球上，且 A(-)-M--→ . B--M- = 0 ，
所以M 在以 AB 为直径的球面上，
取 AB 中点为 E ，则M 在圆 E 上，圆E 所在的平面与 OE 垂直． 在 ΔPOE 中 ，

过 O 作 OG 丄 PE 于 G ，则 G 为正 ΔPAB 的中心，且 OG = OH = r ，
所以在 RtΔOEG 中， 上OGE = 90O ，所以sin 上
设 上PEM = α , 则当点P ， O ， E ， M 共面时， α 取得最值，即 上POE .α .兀 — 上POE ， 所以 ，
在 ΔPEM 中， 由余弦定理 ．
所以 2 .PM 2 .6 ，

所以 ， ，

故选： C ．
【点评】本题主要考查空间直线与平面位置关系的判断及其应用等知识，属于中档题．
6 ．（2024•赣州模拟）已知球 O 内切于正四棱锥P — ABCD ，PA = AB = 2 ，EF 是球 O 的一条直径，点 Q 为
正四棱锥表面上的点，则 的取值范围为 ( )

C ． D ． 【答案】 A
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】数学运算；综合法；空间位置关系与距离；转化思想；计算题；逻辑推理；平面向量及应用 【分析】根据给定条件，利用体积法求出球 O 半径，再利用向量数量积的运算律计算即得．

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【解答】解：令H 是正四棱锥 P — ABCD 底面正方形中心，则 PH 丄 平面 ABCD ，而 ，
则 正四棱锥P — ABCD 的体积 正四棱锥 P — ABCD 的表面积 ，
显然球 O 的球心 O 在线段 PH 上，设球半径为 r ，则 即 ， 在 ΔPOA 中， 上PAO < 45O = 上APO ，于是 OA > OP ，又 EF 是球 O 的一条直径，
因此
所以 QE . QF 的取值范围为[0 ， 2] ．
显然 OH .QO .AO ，则 ---→ ---→

故选： A ．

【点评】本题考查的知识点：正四棱锥的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
7 ．（2024•重庆模拟） 已知空间三点 A(0 ，2 ， 3) ， B(—2 ，1 ， 6) ， C(1 ， —1 ， 5) ，则以 AB 、 AC 为邻边 的平行四边形的面积为 ( )
A ．7 B ． C ． D ．
【答案】 B
【考点】空间向量的共线与共面
【专题】转化思想；逻辑推理；计算题；数学运算；解三角形；三角函数的求值；综合法
【分析】利用向量求出两向量夹角的余弦值，确定夹角的度数，利用正弦定理求出SΔABC ，即可求出平行四 边形面积为 2SΔABC ．
【解答】解：因为 A(0 ，2 ， 3) ， B(—2 ，1 ， 6) ， C(1 ， —1 ， 5) ，
---→ ---→
所以 AB = (—2, —1, 3) ， AC = (1, —3, 2) ， 所以 ， ，

12
所以 上BAC = 60O ，
平行四边形面积为 2SΔABC ，在 ΔABC 中由正弦定理有上BAC ，设平行四边形的 面积为 S ，
所以 故选： B ．
【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的夹角运算，三角形的面积公式，主要考查学生的 理解能力和计算能力，属于中档题．
---→ ---→ --
8 ．（2024•南充模拟） 已知正方形 ABCD 的边长为 1 ，则 | AB + BC — CA |= ( )

A ．0 B ． C ．2 D ．
【答案】 D
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】综合法；平面向量及应用；计算题；转化思想；逻辑推理；数学运算 【分析】直接利用向量的线性运算和向量的模求出结果．
【解答】解：正方形 ABCD 的边长为 1 ，所以正方形的对角线长为 · ,
---→ ---→ -- ---→ -- ---→
AB + BC — CA = AC — CA = 2AC ，

故选： D ．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于 中档题．
9 ．（2023•江西模拟） 已知点 P 在棱长为 2 的正方体表面上运动， AB 是该正方体外接球的一条直径，则
-- --
PA . PB 的最小值为 ( )
A ． —2 B ． —3 C ． —1 D ．0
【答案】 A
【考点】空间向量的数量积运算
【专题】综合法；逻辑推理；数学运算；计算题；转化思想；空间向量及应用；球
【分析】首先利用球和正方体的关系求出正方体的外接球的直径，进一步利用向量的线性运算和数量积运 算求出结果．
【解答】解： 由题意知：正方体的外接球的球心为 O ，

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正方体的外接球的直径 则 O 为 AB 的中点，
所以 O(-)-A = — O(-)- ，

--- ---→
且 | OA |=| OB |= ·、 ，

-- -- -- ---→ ---→ ---→ -- ---→ -- ---→ ---→ ---→2 ---→2
故 PA. PB = (OA — OP) . (OB — OP) = OA. OB — (OA + OB) . OP + OP = OP — 3 ，
所以PA . PB 的最小值1 — 3 = —2 ．
由于 开 ， -- --

故选： A ．
【点评】本题考查的知识要点：正方体和球的关系，向量的线性运算，向量的数量积，主要考查学生的理 解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
10 ．（2023•德阳模拟） 已知 ， j(→) ， k(→) 表示共面的三个单位向量， 丄 j(→) ，那么 ( + k(→)) . (j(→) + k(→)) 的取值范围
是 ( )
A ． [—3 ， 3] B ． [—2 ， 2] C ． [·、 —1 ， D ． ， 1 + ·、]
【答案】 D
【考点】空间向量单位正交基底及其表示空间向量 【专题】计算题；平面向量及应用
【分析】运用向量垂直的条件：数量积为 0 ，及向量模的公式，和向量数量积的定义，结合余弦函数的值 域，即可计算得到．
→ → → →
【解答】解： 由 i 丄 j ，则 i . j = 0 ，
又 ， j(→) 为单位向量，则 则 ( + k(→)) . (j(→) + k(→)) = . j(→) + ( + j(→)) . k(→) + k(→)2

由 —1 .cos < + j(→), k(→) > .1 ，
则 ( + k(→)) . (j(→) + k(→)) 的取值范围是 ， ．
故选： D ．
【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件，考查余弦函数的值域，考查运

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算能力，属于中档题．
11 ．（2024•朝阳区一模）在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E ，F ， G 分别为棱 AA1 ，BC ， CC1 的中点，动点 H 在平面EFG 内，且DH = 1 ．则下列说法正确的是 ( )

A ．存在点H ，使得直线DH 与直线FG 相交
B ．存在点H ，使得直线DH 丄 平面 EFG
C ．直线B1H 与平面 EFG 所成角的大小为3(兀)
D ．平面 EFG 被正方体所截得的截面面积为
【答案】 C
【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角
【专题】立体几何；综合法；数学运算；整体思想
【分析】取FG 的中点M ，连接DM ，可求得 ，可知不存在点H ，使得直线DH 与直线FG 相交，进而可判断 A ， 以D 为坐标原点，分别以DA ， DC ， DD1 所在直线为x 轴， y 轴， z 轴建立空间 直角坐标系，利用空间向量知识可判断 CD ，根据正方体的结构特征可判断D ．
解：连接 DF ， DG ，所以 的中点M ，连接DM ，
所以 ，点D 到线段 FG 的最短距离大于 1 ，所以不存在点H ，使得直线DH 与直线 FG 相 交，
故 A 不正确；
以D 为坐标原点，分别以DA ， DC ， DD1 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， 所以 ， 设平面 EFG 的法向量为 = (x ， y ， z) ，

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所以 即 ， 令 x = 1 ，则 y = 1 ， z = 1 ，所以 = (1 ，1 ， 1) ，
所以点D 到平面 EFG 的距离为 而DH = 1 ，所以不存在点H ，使得直线DH 丄 平 面 EFG ，故 B 不正确；
因为D--B- = (1, 1, 1) ，所以DB1 丄 平面 EFG ，连接DB1 交 EG 于点 O ，所以 O 为DB1 的中点， ， 所以 上B1HO 为直线 B1H 与平面 EFG 所成角，
因为 DH = 1 ，在 RtΔODH 中， sin 上
所以 上 ，因为 Rt △ OB1H 与 RtΔODH 全等，所以上B1HO = 上 故 C 正确；
延长 GF 交B1B 的延长线于 N ，连接 EN 交 AB 于 P ，连接 PF ，取D1C1 的中点K ，D1A1 的中点J ，连接KG ，

EJ ， KJ ，

则 KG / /EP ， EJ / /GF ， KJ / /PF ，平面 EFG 被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为 ，
所以截面面积为 故D 不正确．
故选： C ．

【点评】本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直，以及求直线与平面所成的角，考查了正方体的结构 特征，属于中档题．

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12 ．（2024•安庆二模）如图，在长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中， AB = 2AD = 2AA1 ，点E 是棱