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2025 年高考数学解密之计数原理
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•香河县校级模拟 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常 数项为 ( )
A ． -160 B ． -20 C ．20 D ．160
2 ．（2024•李沧区校级二模）2024 年 1 月 1 日，第五次全国经济普查正式启动． 甲、乙、丙、丁、戊 5 名 普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城 东，则不同的安排方法共有 ( )
A ．36 种 B ．60 种 C ．96 种 D ．180 种
3 ．（2024•市中区校级模拟）若 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则 n = ( )
A ．11 B ．10 C ．9 D ．8
4 ．（2024•日照一模）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生 2》引爆了电影市场，小明和他 的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同 - 部影片的选择共有 ( )
A ．9 种 B ．36 种 C ．38 种 D ．45 种
5 ．（2024•四川模拟）2023 世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由、扩散、无界的未来建筑形象诠释 科学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云 ”屋顶造型，建筑首层围绕 共享中庭设置了剧场、主题展区及博物馆三大主题空间．现将 4 名志愿者安排到这三个主题空间进行志愿 服务，则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有 ( )
A ．6 种 B ．18 种 C ．24 种 D ．36 种
6 ．（2024•浑南区校级模拟）将 5 名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少 1 名，则不同的 分配方法数是 ( )
A ．300 B ．240 C ．150 D ．50
7 ．（2024•德阳模拟）在 (2 + x)(1+ x)6 的展开式中，含 x3 项的系数为 ( )

A ．70 B ．60 C ．55 D ．50
8 ．（2024•广东模拟） (2x -y)5 的展开式中 x2y3 的系数为 ( )

A ．80 B ． -80 C ．40 D ． -40
9 ．（2024•红谷滩区校级模拟） 由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“ 同上一堂科学课 ”——科学 点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于 2023 年 9 月 8 日在全国各地以线上线下结合的方式举 行．现有某市组织 5 名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名获奖

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者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有 ( )
A ．60 种 B ．120 种 C ．150 种 D ．240 种
10．（2024•船营区校级一模）甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行演讲比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次．已 知甲和乙都不是第 1 名，且丙和丁的名次相邻，则 5 人的名次排列可能有 ( ) 种不同的情况．
A ．18 B ．24 C ．36 D ．48
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•城区校级模拟）若 x8 = a0 + a1 (x -1) + a2 (x -1)2 +…+ a8 (x -1)8 ，其中 a0 ，a1 ， a2 ， … , a8 为实 数，则 ( )
A ． a0 = 1 B ． a6 = 56

C ． a1 + a3 + a5 + a7 = 128 D ． a2 + a4 + a6 + a8 = 127
12 ．（2024 • 长 沙 三 模 ） 瑞 士 数 学 家 Jakob Bernoulli 于 17 世 纪 提 出 如 下 不 等 式 ： x > -1 ， 有 请运用以上知识解决如下问题：若 0 < a < 1 ，0 < b < 1 ，a ≠ b ，则以下不等式正 确的是 ( )
A ． aa + bb > 1 B ． ab + ba > 1 C ． aa + bb > ab + ba D ． aa + bb < ab + ba
13 ．（2024•怀仁市校级四模）下列等式中正确的是 ( )
A ． B ．
C ． D ．
14 ．（2024•江苏模拟）在二项式 的展开式中，下列说法正确的是 ( )
A ．常数项是 B ．各项的系数和是 64
C ．第 4 项二项式系数最大 D ．奇数项二项式系数和为 -32
15 ．（2024•越秀区校级一模）带有编号 1 、2 、3 、4 、5 的五个球，则 ( )
A ．全部投入 4 个不同的盒子里，共有 45 种放法
B ．放进不同的 4 个盒子里，每盒至少一个，共有 4 种放法
C ．将其中的 4 个球投入 4 个盒子里的一个（另一个球不投入），共有 20 种放法
D ．全部投入 3 个不同的盒子里，没有空盒，共有 140 种不同的放法
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•锦州模拟）已知 a1 ， a2 ， a3 ， a4 ∈ {1 ，2 ，3 ， 4} ， N(a1 ， a2 ， a3 ， a4 ) 为 a1 ， a2 ， a3 ， a4 中

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不同数字的种类，如 N(1 ，1 ，4 ， 3) = 3 ， N(2 ，4 ，4 ， 2) = 2 ， (1 ，2 ，2 ， 1) 与 (1 ，2 ，1 ， 2) 视为不同 的排列，则 (a1 ，a2 ，a3 ，a4 ) 的不同排列有 个（用数字作答）；所有的排列所得 N(a1 ，a2 ，a3 ，a4 ) 的平均值为 ．
17 ．（2024•黄浦区校级三模）用1 ~ 9 这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数 的奇数共有 个．
18 ．（2024•射洪市校级模拟）从 5 名男生和 6 名女生中，选出 3 名代表，要求 3 名代表中既有男生又有女 生的选法有 种．
19 ．（2024•濮阳模拟）第一届全国学生（青年）运动会开幕式于 2023 年 11 月 5 日在广西举行，举办本届 学青会是推动新时代青少年和学校体育改革发展，增强青少年和学生体质、促进竞技体育后备人才培养的 重要措施．为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等 6 人中选派 4 人到 A ，B ，C ，D 四个不同的区域 参加宣传活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去 A 区域的选派方法共有 种（用 数字作答）．
20 ．（2024•闵行区校级二模）如图，设点 P 为正四面体 A - BCD 表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由 点 P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合 M 中有且只有 2 个元素，那么符合条件的点 P 有 个．

四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•浙江模拟）最近的一次数学竞赛共 6 道试题，每题答对得 7 分，答错（或不答）得 0 分．赛后 某参赛代表队获团体总分 161 分，且统计分数时发现：该队任两名选手至多答对两道相同的题目，没有三 名选手都答对两道相同的题目．试问该队选手至少有多少人？
22 ．（2024•黔南州二模）1799 年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元 n 次多项式方程在复数域上至少有一根 (n开1) ．此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基 础作用．由此定理还可以推出以下重要结论： n 次复系数多项式方程在复数域内有且只有 n 个根（重根按 重数计算）．对于 n 次复系数多项式f(x) = xn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 ，其中 an-1 ， an-2 ， … , a0 ∈ C ，若方 程 f(x) = 0 有 n 个复根x1 ， x2 ， … , xn ，则有如下的高阶韦达定理：

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（1）在复数域内解方程x2 + 4 = 0 ；
（2）若三次方程x3 + ax2 + bx + c = 0 的三个根分别是 x1 = 1 — i ，x2 = 1 + i ，x3 = 2(i 为虚数单位），求 a ，b ， c 的值；
（3）在 n开4 的多项式 f(x) = xn + an—1xn—1 + … + a1x + a0 中，已知 an —1 = —1 ，a1 = —n2 a ，a0 = a ，a 为非零实 数，且方程 f(x) = 0 的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含 n 的式子表示）．
23．（2022•兰州一模）（1）学校开设了 7 门选修课，要求每个学生从中选学 4 门，共有多少种不同的选法？
（2）从参加羽毛球团体比赛的 6 名运动员中选出 3 名，并按排定的顺序出场比赛，有多少种不同的选法？
24 ．（2020•宿城区校级模拟） 已知 n 为给定的正整数，设 ．
（1）若 n = 4 ，求 a0 ， a1 的值：
若 的值．
25 ．（2022•兰州一模） 已知二项式 (1 + 3x)7 ．

（1）求展开式的第三项的系数；
（2）求展开式的二项式系数之和．

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2025 年高考数学解密之计数原理
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•香河县校级模拟 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常 数项为 ( )
A ． -160 B ． -20 C ．20 D ．160
【答案】 A
【考点】二项展开式的通项与项的系数
【专题】数学运算；二项式定理；转化思想；转化法
【分析】先求出 n 的值，再结合二项式定理，即可求解．
解 的展开式中只有第四项的二项式系数最大， 则 n = 6 ，
的展开式的通项为 令 6 - 2r = 0 ，解得 r = 3 ，
故展开式中的常数项为 C6(3)(-2)3 = -160 ．

故选： A ．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
2 ．（2024•李沧区校级二模）2024 年 1 月 1 日，第五次全国经济普查正式启动． 甲、乙、丙、丁、戊 5 名 普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城 东，则不同的安排方法共有 ( )
A ．36 种 B ．60 种 C ．96 种 D ．180 种 【答案】 D
【考点】简单组合问题
【专题】转化思想；计算题；排列组合；数学运算；综合法
【分析】利用分步计数原理分两步：①先安排甲，②再安排其它4 名普查员，分为两种情况：1 、安排甲 去的小区就甲一个人，2 、安排甲去的小区有 2 人， 由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：①先安排甲， 甲不去城东，有 C3(1) = 3 种，

②安排其它 4 名普查员，

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分为两种情况：1 、安排甲去的小区就甲一个人，那其它 4 人按 2 ，1 ，1 分配，有 种，

2 、安排甲去的小区有 2 人，则除甲以外 4 人全排即可，有 A4(4) = 24 种， 所以一共有 3× (36 + 24) = 180 种．
故选： D ．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题．
3 ．（2024•市中区校级模拟）若 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则 n = ( )
A ．11 B ．10 C ．9 D ．8
【答案】 B
【考点】二项式定理
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数据分析 【分析】 由题意利用二项式系数的性质，求得 n 的值．
解：若 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大 Cn(5)最大，则 n = 10 ，
故选： B ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题．
4 ．（2024•日照一模）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生 2》引爆了电影市场，小明和他 的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同 - 部影片的选择共有 ( )
A ．9 种 B ．36 种 C ．38 种 D ．45 种
【答案】 B
【考点】排列组合的综合应用
【专题】对应思想；分析法；排列组合；数学运算
【分析】先安排 2 人看同一部影片，再安排剩余 2 人，利用排列组合知识进行求解．
【解答】解：从 4 人中选择 2 人看同一部影片，再从 3 部影片中选择一部安排给这两人观看，剩余的 2 人， 2 部影片进行全排列，
故共有 C4(2)C3(1)A2(2) = 6 × 3 × 2 = 36 种情况．

故选： B ．
【点评】本题考查了排列组合的问题，属于基础题．
5 ．（2024•四川模拟）2023 世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由、扩散、无界的未来建筑形象诠释 科学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云 ”屋顶造型，建筑首层围绕 共享中庭设置了剧场、主题展区及博物馆三大主题空间．现将 4 名志愿者安排到这三个主题空间进行志愿

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服务，则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有 ( )
A ．6 种 B ．18 种 C ．24 种 D ．36 种
【答案】 D
【考点】排列组合的综合应用
【专题】对应思想；分析法；排列组合；数学运算 【分析】根据排列组合的分组分配问题计算即可．
【解答】解：首先将志愿者分成三组共有 C4(2) = 6 种，安排到三个主题空间有 A3(3) = 6 种， 故不同的安排方式有 6× 6 = 36 种．
故选： D ．
【点评】本题考查排列组合的应用，属于基础题．
6 ．（2024•浑南区校级模拟）将 5 名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少 1 名，则不同的 分配方法数是 ( )
A ．300 B ．240 C ．150 D ．50
【答案】 C
【考点】排列组合的综合应用
【专题】综合法；排列组合；数学运算；整体思想
【分析】 由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解． 【解答】解：先将 5 名志愿者分为 3 组，
则有 种分法， 再将这 3 组分给三个社区，
有 A3(3) = 6 种分法，
则不同的分配方法数是 25× 6 = 150 ．
故选： C ．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理及分步乘法计数原理，属 基础题．
7 ．（2024•德阳模拟）在 (2 + x)(1+ x)6 的展开式中，含 x3 项的系数为 ( )

A ．70 B ．60 C ．55 D ．50
【考点】 DA ：二项式定理
【专题】35：转化思想； 4R ：转化法； 5P ：二项式定理

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【分析】根据 (1 + x)6 展开式的通项公式，即可得出 (2 + x)(1+ x)6 的展开式中含 x3 项的系数．

【解答】解： (1 + x)6 展开式的通项公式为

Tr+1 = C6(r) .xr ，

所以 (2 + x)(1+ x)6 的展开式中，含x3 项的系数为：

2.C6(3) + C6(2) = 55 ．

故选： C ．
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
8 ．（2024•广东模拟） (2x -y)5 的展开式中 x2y3 的系数为 ( )

A ．80 B ． -80 C ．40 D ． -40
【答案】 D
【考点】二项式定理
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算
【分析】 由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中 x2y3 的系数．

【解答】解： (2x -y)5 的展开式的通项公式为Tr+1 = C5(r) . (2x)5-r . (-y)r ，

令 r = 3 ，可得展开式中 x2y3 的系数为 故选： D ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
9 ．（2024•红谷滩区校级模拟） 由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“ 同上一堂科学课 ”——科学 点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于 2023 年 9 月 8 日在全国各地以线上线下结合的方式举 行．现有某市组织 5 名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名获奖 者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有 ( )
A ．60 种 B ．120 种 C ．150 种 D ．240 种 【答案】 C
【考点】排列组合的综合应用
【专题】数学运算；排列组合；整体思想；综合法
【分析】 由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解．
【解答】解：要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，

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则不同的派出方法有 种．

故选： C ．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题．
10．（2024•船营区校级一模）甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行演讲比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次．已 知甲和乙都不是第 1 名，且丙和丁的名次相邻，则 5 人的名次排列可能有 ( ) 种不同的情况．
A ．18 B ．24 C ．36 D ．48
【答案】 B
【考点】部分元素相邻的排列问题
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解
【分析】根据题意，将丙和丁看成一个整体，按丙和丁的位置分 4 种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，将丙和丁看成一个整体， 分 4 种情况分析：
①丙和丁的整体分别为第 1 、2 名，有 A2(2)A3(3) = 12 种情况，

②丙和丁的整体分别为第 2 、3 名，第一名只能为戊， 甲和乙分别为第 4 、5 名，有 A2(2)A2(2) = 4 种情况， ③丙和丁的整体分别为第 3 、4 名，第一名只能为戊， 甲和乙分别为第 2 、5 名，有 A2(2)A2(2) = 4 种情况；

④丙和丁的整体分别为第 4 、5 名，第一名只能为戊， 甲和乙分别为第 2 、3 名，有 A2(2)A2(2) = 4 种情况；

则有12 + 4 + 4 + 4 = 24 种情况．
故选： B ．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•城区校级模拟）若 x8 = a0 + a1 (x -1) + a2 (x -1)2 +…+ a8 (x -1)8 ，其中 a0 ，a1 ， a2 ， … , a8 为实 数，则 ( )
A ． a0 = 1 B ． a6 = 56

C ． a1 + a3 + a5 + a7 = 128 D ． a2 + a4 + a6 + a8 = 127
【答案】 ACD
【考点】二项式系数的性质
【专题】综合法；数学运算；二项式定理；逻辑推理；转化思想；计算题
【分析】根据题意，令t = x -1 ，则原式转化为 (t +1)8 = a0 + a1t + a2t2 + … + a8t8 ，结合赋值法，以及二项展

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开式的性质，逐项判定，即可求解．
【解答】解： 由 x8 = a0 + a1 (x -1) + a2 (x -1)2 +…+ a8 (x -1)8 ，

令 t = x -1 ，则原式转化为 (t +1)8 = a0 + a1t + a2t2 + … + a8t8 ，

对于 A 中，令 t = 0 ，可得 a0 = 1 ，所以 A 正确；

对于 B 中， 由二项式定理的展开式，可得 a6 = C8(2) = 28 ，所以B 不正确；

对于 C 和D 中，令t = 1 ，可得 a0 + a1 + a2 + … + a8 = 28 ，

令 t = -1 ，得 a0 - a1 + a2 - … + a8 = 0 ，

所以 a1 + a3 + a5 + a7 = a0 + a2 + a4 + a6 + a8 = 27 = 128 ，所以 a2 + a4 + a6 + a8 = 127 ， 所以 C 、 D 正确．
故选： ACD ．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
12 ．（2024 • 长 沙 三 模 ） 瑞 士 数 学 家 Jakob Bernoulli 于 17 世 纪 提 出 如 下 不 等 式 ： x > -1 ， 有 请运用以上知识解决如下问题：若 0 < a < 1 ，0 < b < 1 ，a ≠ b ，则以下不等式正 确的是 ( )
A ． aa + bb > 1 B ． ab + ba > 1 C ． aa + bb > ab + ba D ． aa + bb < ab + ba 【答案】 ABC
【考点】二项式定理
【专题】转化思想；构造法；定义法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算
【分析】选项 A 中，根据题意得出 求和即可；
选项 B 中，根据题意得出 ， ，根据同向不等式相加，求解即可；
选项 C 、 D ，不等式 aa + bb > ab + ba ，可化为bb -ba > ab - aa ，构造函数 h(x) = xb - xa ，利用导数判断函 数的单调性，求解即可．
解：对于 A ，因为 所以 则
对于 B ，因为 同理 则 对于 C ，要证明 aa + bb > ab + ba ，也即证明bb -ba > ab - aa ，只要证明b●x < 1 时，h(x) = xb - xa 在区间[b ，

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1) 上单调递减．
求导数，得 h 由 得 且 axb—1 > 0 ，
结合幂函数 y = xa—b 的性质得：当 时，h(x) ●0 ，h(x) 在区间 上单调递减，即 时 ， 函 数 h(x) 取 得 最 大 值 ， 从 而 只 需 证 明 变 换 得 因 为
故得证；
综上，若 0 < b < a < 1 ，不等式 aa + bb > ab + ba 成立，选项 C 正确， D 错误．
故选： ABC ．
【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题．
13 ．（2024•怀仁市校级四模）下列等式中正确的是 ( )
A ． B ．
C ． D ． 【答案】 BCD
【考点】组合及组合数公式
【专题】数学运算；综合法；转化思想；计算题；排列组合；二项式定理；逻辑推理 【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的变换求出结果．
解：对于 故 A 错误；
对于 故 B 正确；
对于 故 故 C 正确；
对于 D : (1 + x)8 . (1 + x)8 = (1 + x)16 ，对于 (1 + x)16 ，其含有 x8 的项的系数为 C1(8)6 ，对于 (1 + x)8 . (1 + x)8 ，要得
到含有要从第一个含有 x8 的项的系数，需要从第一个式子中取出k 个 x ，再从第二个式子中取出 8 —k 个 x ，
对应的系数为 故 D 正确．
故选： BCD ．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
14 ．（2024•江苏模拟）在二项式 的展开式中，下列说法正确的是 ( )
A ．常数项是 B ．各项的系数和是 64
C ．第 4 项二项式系数最大 D ．奇数项二项式系数和为 —32
【答案】 AC

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【考点】二项式定理
【专题】数学运算；转化法；二项式定理；转化思想
【分析】利用二项式展开式通项可判断 A 选项；利用各项系数和可判断 B 选项；利用二项式系数的性质可 判断 C 选项；求出奇数项的二项式系数和可判断D 选项．
【解答】解：二项式 的展开式通项为
令 ，可得 k = 2 ，故常数项是 正确；
各项的系数和是 错误；
二项式展开式共 7 项，故第 4 项二项式系数最大， C 正确；
奇数项二项式系数和为 25 = 32 ， D 错误．
故选： AC ．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
15 ．（2024•越秀区校级一模）带有编号 1 、2 、3 、4 、5 的五个球，则 ( )
A ．全部投入 4 个不同的盒子里，共有 45 种放法
B ．放进不同的 4 个盒子里，每盒至少一个，共有 4 种放法
C ．将其中的 4 个球投入 4 个盒子里的一个（另一个球不投入），共有 20 种放法
D ．全部投入 3 个不同的盒子里，没有空盒，共有 140 种不同的放法 【答案】 AC
【考点】排列组合的综合应用
【专题】排列组合；数学运算；定义法；对应思想
【分析】利用分步计数原理直接判断选项 A ，利用组合、排列的结合判断选项 BCD ． 【解答】解：对于 A ：由分步计数原理，
五个球全部投入 4 个不同的盒子里共有 45 种放法，故 A 正确； 对于 B ：由排列数公式，
五个不同的球放进不同的 4 个盒子里，每盒至少一个，共有 C5(2)A4(4)种放法，故 B 错误；

对于 C ：将其中的 4 个球投入一个盒子里共有 C5(4)C4(1) = 20 种放法，故 C 正确；

对于 D ：全部投入 3 个不同的盒子里，没有空盒，
共有： 种不同的放法，故D 错误．

故选： AC ．

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【点评】本题考查分步计数原理以及组合、排列相关知识，属于中档题．
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•锦州模拟）已知 a1 ， a2 ， a3 ， a4 ∈ {1 ，2 ，3 ， 4} ， N(a1 ， a2 ， a3 ， a4 ) 为 a1 ， a2 ， a3 ， a4 中 不同数字的种类，如 N(1 ，1 ，4 ， 3) = 3 ， N(2 ，4 ，4 ， 2) = 2 ， (1 ，2 ，2 ， 1) 与 (1 ，2 ，1 ， 2) 视为不同 的排列，则 (a1 ， a2 ， a3 ， a4 ) 的不同排列有 256 个（用数字作答）；所有的排列所得 N(a1 ， a2 ， a3 ， a4 ) 的平均值为 ．
【答案】256； ．
【考点】排列组合的综合应用；用样本估计总体的集中趋势参数 【专题】数学运算；整体思想；综合法；排列组合
【分析】本题首先可以确定 N(a1 ， a2 ， a3 ， a4 ) 的所有可能取值分别为 1 、2 、3 、4 ，然后分别计算出每 一种取值所对应的排列个数，进而得到每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可 计算出 N(a1 ， a2 ， a3 ， a4 ) 的平均值．
【解答】解： 由题意可知， (a1 ， a2 ， a3 ， a4 ) 的不同排列有 4× 4 × 4 × 4 = 256 个， 当
当 当
当
综 上 所 述 ， 所 有 的 256 个 (a1 : a2 : a3 ， a4 ) 的 排 列 所 得 的 N(a1 ， a2 ， a3 ， a4 ) 的 平 均 值 为 ：
故答案为：256； ．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了平均值的计算，属于中档题．
17 ．（2024•黄浦区校级三模）用1 ~ 9 这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数
的奇数共有 840 个．
【考点】数字问题
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算
【分析】 由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理及分类加法计数原理求解．

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【解答】解：用1 ~ 9 这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数可分为 2 类：
①当数位上数字为奇数且个数为 2 时，
则有 C5(2)C4(2)C2(1)A3(3) = 720 个；

②当数位上数字为奇数且个数为 4 时，
则有 A5(4) = 120 个，

则各个数位上数字和为偶数的奇数共有 720 + 120 = 840 个．
故答案为：840．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理及分类加法计数原理，属 中档题．
18 ．（2024•射洪市校级模拟）从 5 名男生和 6 名女生中，选出 3 名代表，要求 3 名代表中既有男生又有女
生的选法有 135 种．
【答案】135．
【考点】从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题 【专题】数学运算；综合法；排列组合；整体思想
【分析】根据条件，利用分类、分步计数原理及组合，即可求出结果．
【解答】解：3 名代表中有 1 名男生，2 名女生的选法有
3 名代表中有 2 名男生，1 名女生的选法有 所以 3 名代表中既有男生又有女生的选法有 75 + 60 = 135 ．
故答案为：135．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属基础题．
19 ．（2024•濮阳模拟）第一届全国学生（青年）运动会开幕式于 2023 年 11 月 5 日在广西举行，举办本届 学青会是推动新时代青少年和学校体育改革发展，增强青少年和学生体质、促进竞技体育后备人才培养的 重要措施．为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等 6 人中选派 4 人到 A ，B ，C ，D 四个不同的区域 参加宣传活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去 A 区域的选派方法共有 276 种 （用数字作答）．
【答案】276．
【考点】简单组合问题
【专题】对应思想；定义法；排列组合；数学运算
【分析】根据给定条件，按甲参加与甲不参加分类，再结合有限制条件的排列问题列式计算即得．

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【解答】解：依题意， 由甲、乙至少有一人参加，得甲参加与甲不参加乙必参加两种情况，
当甲参加时，有 C3(1)A5(3)种选派方法，当甲不参加时，有 C4(3)A4(4)种选派方法，

所以不同选派方法种数是 C3(1)A5(3) + C4(3)A4(4) = 180 + 96 = 276 ．

故答案为：276
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
20 ．（2024•闵行区校级二模）