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#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/2/3,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,1,第 八 章,离散控制系统,的分析和校正,8-1,信号的采样与保持,8-2 Z,变换理论,8-3,采样系统的数学模型,8-4,离散系统的时域分析法,8-5,离散控制系统的校正,本章主要内容,8-1,信号的采样与保持,一、,采样过程及其数学描述,离散控制系统,是指系统内的信号在某一点上是不连续的。,1,）在有规律的间隔上系统采取到了离散信息，则称这种采样为周期采样；,2,）如果信息之间的间隔是时变的或随机的，则称这种采样为非周期采样（随机采样）；,3,）把连续信号转变为脉冲序列的过程称为采样,。,1,采样控制系统,2,、数字控制系统,例如图所示的数字闭环控制系统。,数字闭环控制系统,3,、离散系统特点,由数字计算机构成的数字校正装置,效果比连续式校正装置好,且由软件实现的控制规律易于改变,控制灵活,.,采样信号,特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声,从而提高了系统的抗干扰能力,.,允许采用高灵敏度的控制元件,以提高系统的控制精度,.,可用一台计算机分时控制若干个系统,经济性好,.,对于具有传输延迟,特别是大滞后的控制系统,可以引人采样的方式使其趋于稳定,.,4,、采样过程及其数学描述,1)、,采样过程描述,采样过程,当采样开关的闭合时间 时,采样器就可以用一个理想采样开关来代替,采样过程可以看成是一个幅值调制过程,.,理想采样开关好像是一个载波为 的幅值调制器,如图所示,其中 为理想单位脉冲序列,.,理想采样过程,脉冲,调制器,r(t),e(t),e*(t),c(t),t,单位脉冲信号的表达式为：,脉冲函数,，是一宽度为,，高度为 的矩形脉冲，矩形的面积为,A,。当,趋于零时，是一宽度为,0,，面积为,A,，幅值为无穷的理想脉冲。当,A=1,时，称为,理想单位脉冲函数,，亦称,函数。,单位脉冲函数可看作是单位阶跃函数的导数,。理想的单位脉冲信号实际上是不存在的，只具有数学意义，但在自动控制系统的研究中具有重要的作用。任意形式的外作用可以看作是在不同时刻存在的，强度不同的无限个脉冲函数的叠加。,定义脉冲函数,特性：、面积为,1,；,、当 ，脉冲函数为 函数。,函数，或脉冲函数，性质：,、,、对 连续的任何函数,f,有,2),、采样过程的特点,(1),、采样过程相当于一个脉冲调制过程,(2),、采样的输出信号可表示两个信号的乘积,决定采样时间,决定采样信号的幅值,调制器,采样器,3)、,采样信号的物理意义,连续时间信号被单位脉冲序列作了离散时间调制。,如果用数学形式描述上述调制过程,则有,因为单位脉冲序列 可以表示为,其中 是出现在时刻 时、强度为,1,的单位脉冲,故可以写为,4),采样信号的数学描述,因此,脉冲序列,是,从零开始的,.,上述讨论过程中,假设了,由于,e,(,t,),的数值仅在采样瞬时才有意义,所以上式又可表示为,采样器输出看做是一串脉冲，脉冲的强度，分别等于各采样瞬时上的采样数值。,5,）、采样过程的数学描述,采样信号的拉氏变换,15,对采样信号 进行拉氏变换,可得,根据拉氏变换的位移定理,有,注意,:,由于 只描述了,e,(,t,),在采样瞬时的数值,所以 不能给出连续函数,e,(,t,),在采样间隔之间的的信息,.,与采样函数,e,(,nT,),联系了起来,可以直接看出 的时间响应,.,采样拉氏变换,与连续信号,e,(,t,),的拉氏变换非常类似,.,因此,如果,e,(,t,),是一个有理函数,则无穷级数 也总是可以表示成 的有理函数形式,.,在求 的过程中,初始值通常规定采用,所以,采样拉氏变换,由于,采样信号,的,信息,并不等于,连续信号,的全部,信息,所以采样信号的频谱与连续信号的频谱相比,要发生变化,.,研究采样信号的频谱,目的是找出 与 之间的相互联系,.,展开为如下形式的富氏级数,：,式中,为采样角频率,是富氏系数,其值为,1,、采样信号的频谱,二 采样函数的频谱分析与采样定理,在 区间中,仅在,t,=0,时有值,且,所以,得,那么,对上式两边取拉氏变换,由拉氏变换的复数位移定理,得到：,上式说明,：,1,采样开关前后信号的拉氏变换 之间,的关系；,2,是,s,的周期函数。,式中：,-,原函数,e,(,t,),的频谱，最高频率为,-,调幅脉冲序列 的频谱，以,为周期。,以 代入（在频域内）,上式变为：,即离散信号与连续信号频谱关系。,非周期连续信号采样前后的频谱,采样频率变化时原连续信号与采样信号的频谱,0,连续,信号,的频谱,0,n=-1,n=0,n=1,采样,信号,的频谱,(),2,、,香农,（,shannon,）,采样定理,1,）、信号恢复条件,23,如果满足条件,s,2,h,，频谱的主分量与补分量相互分离，可以采用一个,低通滤波器,，将采样信号频谱中的镜像频谱滤除，来恢复原连续时间信号,。,当,s,2,h,时，,采样频谱中的补分量相互交叠，致使采样器的输出信号发生畸变。,0,连续,信号,的频谱,0,n=-1,n=0,n=1,采样,信号,的频谱,(),信号复现的条件：,加一个如图所示的理想滤波器。,1,2,脉冲序列互不搭接：,0,1.0,理想滤波器的频率特性,2,）、,shannon,采样定理,实际使用时,：,为使采样后的脉冲序列频谱互不搭接，采样频率必须大于或等于原信号所含的最高频率的两倍：,这样才有可能通过理想滤波器,把原信号毫无畸变地恢复出来。,h,为连续信号,f,(,t,),的最高次谐波的角频率。则采样信号,f,*(,t,),就可以无失真地再恢复为原连续信号,f,(,t,),。,需要指出的是，采样定理只是在理论上给出了信号准确复现的条件。但还有,2,个实际问题,需要解决。,其一，实际的,非周期连续信号,频谱,最高频率,是无限的,.,其二，需要一个幅频特性为矩形的,理想低通滤波器,，才能把原信号不失真地复现出来,。,三、信号保持,能使采样信号不失真地复现为原连续信号的低通滤波器应具有理想的矩形频率特性。即：,理想滤波器的频率特性,实现外推常用的方法是采用多项式外推公式,由于,t=0,时上式也成立，所以,a,o,=f(kT),，从而得到,零阶保持器的外推公式为,经过这样的滤波器滤波之后，信号的频谱变为：,保持器是将采样信号转换成连续信号的装置。,零阶保持器的作用,此矩形波可表达为两个单位阶跃函数的叠加。即：,可求得零阶保持器的传递函数为：,其频率特性则为：,据此可绘出零阶保持器的幅频特性和相频特性曲线,零阶保持器的频率特性,7-2 Z,变换理论,一、定义,z,变换实质上是拉氏变换的一种扩展，也称作采样拉氏变换。,引入一个新的变量,z,，令：,对于采样函数,:,取拉氏变换,:,则,:,说明,:z,变换仅仅是一种取 的变量置换，通过它将,s,的超越函数变为,z,的幂级数或,z,的有理分式。,例,7-1,求单位阶跃函数的,z,变换,二、,Z,变换,方法,1、,级数求和法（从定义出发）,例,8-1,求理想脉冲序列 的,z,变换,解,:,因为,T,为采样周期,故,由拉氏变换知,因此,把上式写成闭合形式,.,得 的,z,变换为,例,8-2,求指数函数 的,z,变换,解,:,这是一个首项为,1,、公比为 的几何级数,其和为,:,例,8-3,求,e,(,t,)=,t,的,z,变换,2,、,部分分式法,例,8-4,求,的,z,变换,先求出已知连续函数,e(t),的拉氏变换,E(s),然后将其分解为部分分式之和,再利用,z,变换表求出每一部分分式对应的,z,变换,最后相加即可,.,设连续函数,e(t),的拉普拉斯变换,E(S),及全部极点已知,则可用留数计算法求,Z,变换,当,E(S),具有一阶极点,s=p,1,时,其留数为,当,E(S),具有,q,阶重复极点时,其留数为,3、,留数计算法,例,8-5,：求,的,Z,变换,解,:,例,8-6,：求 的,Z,变换,解,:,具,有两阶重极点,设,Ze(t)=E(z),则,:,式中,为常数或与,t,z,无关的量。,z,变换的基本定理,与拉氏变换的基本定理有相似之处,.,三、,Z,变换,基本定理,1.,线性定理,2、,实数位移定理（平移定理）,设连续函数,e(t),当,t0,时，,e(t)=0,则,:,以及,证明,：,由,z,变换定义,令,m=n-k,则有,由于,z,变换的单边性，当,m0,时，有,e(mT)=0,所以,令,m=n,立即得证式。,取,k=1,得,令,m=n+1,上式可写为,取,k=2,同理，得,取,k=k,时，必有,证明,：,由,z,变换的定义,3、,复数位移定理,令,则有,如果,e(t),的,z,变换为,E(z),并且 是存在的，则,e(t),或,e(nT),的初始值,e(0),为,证明,：由,z,变换定义,可见,时，即可证得结论。,4、,初值定理,如果,e(t),的,z,变换为,E(z),序列,e(nT),为有限值，存在，则,证明,：由,z,变换线性定理,由平移定理,于是,5、,终值定理,当取,n=N,为有限项时，上式右端可写为,所以,终值定理亦可表示为,证明：,由,z,变换定义,6、,复域微分,G,(,s,),G,(z),r,(,t,),R,(z),c,(,t,),C,(z),线性定常系统，输入输出关系可用,卷积分,表示,7、,卷积和定理,输出量,c(t),在采样瞬时,t=nT,n=0,1,2,卷积和,简记为,当 时,，,Z,反变换是已知,Z,变换表达式,E(z),e(nT),的过程,注意：,z-,变换的非唯一性，即：,e*1(t)=e*2(t),，,E1(s)=E2(s),但,e1(t)e2(t),。只能求出序列的表达式，而不能求出它的连续函数！,求解方法：,长除法、部分分式法、留数法,。,四、,z,反,变换,1、,长除法（幂级数法）,59,要点：用长除法化为降幂排列的展开形式,Z,反变换为,即：,例,8-7,：,求,的,Z,反变换,解：,步骤：先将变换式写成,，展开成部分分式，,查,Z,变换表,两端乘以,Z,2、,部分分式法（因式分解法，查表法）,例,8-8,求,的,Z,反变换,解：,3、,留数法（反演积分法）,设 为,z,平面上包围 全部极点的封闭曲线，且为反时针方向。,由此得到反演积分公式：,是函数,E(z)z,n-1,在极点,z,i,处的留数,曲线 可以是包含,E(z)z,n-1,全部极点的任意封闭曲线，,若,z,i,为一重极点,若,z,i,为,q,重极点,例,8-9,：求,的,Z,反变换,解：,有两个一重极点,的,Z,反变换,解：,有一个两重极点,例,8-10,：求,7-3,采样,系统的数学模型,差分方程；,脉冲传递函数；,离散状态空间。,将输入序列,r(n),变换为输出序列,c(n),的一种变换关系,称为离散系统,.,记作,其中,r(n),和,c(n),为 时系统的输入序列 和输出序列 为采样周期,.,一、线性离散系统的,数学模型,1,、离散系统的数学定义,两个采样点信息之间的微商即称为差分。,忽略采样间隔,T,连续时间系统,r,(,t,),c,(,t,),微分方程,R,(,s,),C,(,s,),G,(,s,),2、,差分方程及其解法,连续时间系统,r,(,k,),c,(,k,),差,分方程,R,(,z,),C,(,z,),G,(,z,),这样就变成了以复变量,z,为自变量的函数。称此函数为,f,*(,t,),的,z,变换。,将上式展开：,可见，采样函数的,z,变换是变量,z,的幂级数。,z,变换与,z,反变换并非一一对应,3,、用,z,变换法解差分方程,例,8-11,已知一阶差分方程为：,设输入为阶跃信号,u,(,kT,)=,A,，初始条件,y,(0)=0,，试求响应,y,(,kT,),。,解 将差分方程两端取,z,变换，得：,代入初始条件，求得输出的,z,变换为：,为求得时域响应,y,(,kT,),，需对,Y,(,z,),进行反变换，先将,Y,(,z,)/,z,展成部分分式：,于是,查变换表，求得上式的反变换为：,二、脉冲传递函数,1、,脉冲传递函数的定义,离散过程的结构,对于如图离散系统结构图，定义,脉冲传递函数,：,如果一个系统如图表示，此时有,Y,(,s,)=,G,(,s,),U,*(,s,),Y,(,s,)=,L,y,(,t,),开环采样系统方框图,所谓,零初始条件,是指在,t,0,时,输入以及输出脉冲序列各采样值,r,(-,T,),r,(-2,T,),c,(-,T,),c,(-2,T,),均为零,.,R,(z),已知,求,c,*,(,t,),关键在于求出系统脉冲传递函数,G(z).,线性定常离散系统的,脉冲传递函数定义,为,:,在零初始条件下,系统输出采样信号的,z,变换与输入采样信号的,z,变换之比,记作,如果已知,R,(z),和,G,(z),输出采样信号为,实际开环离散系统,G,(,s,),G,(z),r,(,t,),R,(z),c,(,t,),C,(z),虚设开关,2,、脉冲传递函数意义,由卷积和定理，可得,系统的脉冲传递函数即为,系统单位脉冲响应,g(t),经采样后离散信号的,Z,变换,，即,系统的响应速度越快，即其单位脉冲响应,g(t),衰减越快，则相应的脉冲传递函数的展开式中包含的项数越少。,脉冲响应,求,G(z),的一般步骤：,求出系统的传递函数,G(s);,将,G(s),分解成部分分式后用查表法求取,G(z),若不能查表，则继续按下述步骤进行；,求出脉冲响应函数,从,nT,代替,g(t),中的,t,，再按,Z,变换的定义计算：,3、,脉冲传递函数的求法,三、开环系统脉冲传递函数,1、,连续信号拉氏变换的采样规律,（1,）采样函数的拉氏变换具有周期性,E,*,(s),G,1,(s)G,2,(s),*,=,E,*,(s),G,1,(s)G,2,(s),*,（2,）离散,信号,可从离散,符号,中提出来,设,G,1,(s)G,2,(s)=G(s),，,则有：,E,*,(s)G(s),*,=,E,*,(s),与无关，,=E,*,(s)G(s),*,所以有：,G,*,(s)=G,*,(s+jn,s,),2、,串联环节的脉冲传递函数,（,1）,二串联环节间有采样器,环节串联的开环系统,（,2）,串联环节间无采样器,若 则,若 则,有零阶保持器的开环系统,3、,并联环节的脉冲传递函数,并联环节的等效,并联环节方框图,四、闭环系统的脉冲传递函数,1、,闭环系统脉冲传递函数的一般计算方法,93,闭环采样系统结构图,G,(,s,),H,(,s,),R,(,s,),+,-,C,(,s,),E,(,s,),B,(,s,),误差方程,采样后,z,变换,反馈方程,输出方程,（,1）,反馈通道无采样器,代入,作采样,z,变换,误差的,z,变换,即,输出方程采样,z,变换,输出对输入的脉冲传递函数,G,(,s,),H,(,s,),R,(,s,),+,-,C,(,s,),E,(,s,),（,3）,对于一般的单闭环系统,（,2）,反馈通道有采样器,下表列出了部分离散系统结构图及其脉冲传递函数。,续表,2、,闭环系统脉冲传递函数的简易计算方法,离散系统中的采样开关去掉，求出对应连续系统的输出表达式；,表达式中各环节乘积项需逐个决定其“*”号。方法是：乘积项中某项与其余相乘项两两比较，当且仅当该项与其中任一相乘项均被采样开关分隔时，该项才能打“*”号。否则需相乘后才打“*”号。,取,Z,变换，把有“*”号的单项中的,s,变换为,z,，多项相乘后仅有一个“*”号的其,Z,变换等于各项传递函数乘积的,Z,变换。,7-4,离散,系统的时域分析法,一、,Z,平面与,S,平面的影射关系,1、S,平面的虚轴在,Z,平面上的映射,（,1）,S,平面的虚轴,映射到,Z,平面上，是以原点为圆心、半径为,1,的,单位圆,。,S,平面的原点,映射到,Z,平面上则是,(+1,，,j0),点。,S,平面到,Z,平面的映射,(a),稳定域从,S,平面到,Z,平面的映射,S,平面到,Z,平面的映射,(b)S,平面的虚轴在,Z,平面上的映射,（2）,S,平面左半部分在,Z,平面上的映射,S,平面左半部分,每一条,宽度为,s,的带状区域,，映射到,Z,平面上，,都是单位圆内,区域。,（,3）,S,平面右半部分在,Z,平面上的映射,因此，,整个,S,平面右半部分,在,Z,平面上的映像是以原点为圆心的,单位圆外,部区域。,二、离散系统稳定的充要条件,根据在,S,平面系统稳定的条件是极点,0,可知：,离散系统稳定的条件是闭环脉冲传函极点,r,1,，即所有的闭环极点均应分布在,Z,平面的单位圆内。,只要有一个在单位圆外，系统就不稳定；,有一个在单位圆上时，系统处于稳定边界。,三、判定离散系统稳定的代数方法,1、,朱利,(,Jury,),判据,设系统的闭环特征式为：,系统稳定的充要条件是：,且满足,当上述条件,均满足,，系统是稳定的。,2,、劳斯判据在,z,域中的应用,连续系统中的劳斯判据是判别根是否全在,S,左半平面，从而确定系统的稳定性。,作双线性变换：,由,Z,平面到,W,平面的映射,Z,、,W,平面之间对应关系的图解说明,例,8-12,设系统的特征方程为：,试用,W,平面的劳斯判据判别稳定性。,解：,将 代入特征方程得,：,两边乘,(,w,-1),3,，化简后得：,由劳斯表,因为,第,1,列元素有,2,次符号改变,，所以,系统不稳定,。,正如连续系统中介绍的那样，劳斯判据还可以判断出有多少个根在右半平面。这是,劳斯判据的优点,之一。,有,2,次符号改变，即有,2,个根在,w,右半平面，也即有两个根在,Z,平面的单位圆外。,单位反馈采样系统,离散系统的稳态误差一般来说分为采样时刻处的稳态误差与采样时刻之间纹波引起的误差两部分。,三,离散,系统的稳态误差,1,、误差传递函数,单位反馈离散系统,如果 的极点全部严格位于,z,平面上的单位园内,即若离散系统是稳定的,则其稳态误差为,稳态误差不但与,系统本身的结构和参数,有关,还与,输入序列的形式和幅值,有关,此外还与,采样周期,T,有关,.,其误差脉冲传递函数为,2,、典型输入下的稳态误差,1)、,单位阶跃输入信号作用下的稳态误差,下面分别讨论,3,种典型输入信号作用下的系统的稳态误差。,位置误差系数,2)、,单位斜坡输入信号作用下的稳态误差,速度误差系数,3),、,单位抛物线输入信号作用下的稳态误差,加速度误差系数,总结上面讨论结果，列成表。从表中可以看出，,除了采样时刻处的稳态误差,与采样周期,T,有关外，其他规律与连续系统相同。,
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