简谐运动的表达式动力学表达式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,选修3-4,第十二章 机械振动 机械波,第1课时 机械振动,考点自清,一、简谐运动,1.概念,如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规,律，即它的振动图象（,x-t,图象）是一条正弦曲,线，这样的振动叫做简谐运动.,1,2.简谐运动的描述,（1）描述简谐运动的物理量,位移,x,：由,指向,的,有向线段表示振动位移，是矢量.,振幅,A,：振动物体离开平衡位置的,，,是标量，表示振动的强弱.,周期,T,和频率,f,:做简谐运动的物体完成,所需要的时间叫周期，而频率则等于单,位时间内完成,；它们是表示振动,快慢的物理量.二者互为倒数关系.,平衡位置,振动质点所在位置,最大距离,一次,全振动的次数,全振动,2,(2)简谐运动的表达式,动力学表达式：,F=-kx,运动学表达式：,x=A,sin(,t,+),(3)简谐运动的图象,物理意义：表示振子的位移随时间变化的规,律，为正弦（或余弦）曲线.,从平衡位置开始计时，函数表达式为,x,=,A,sin,t,图象如图1.,图1,3,从最大位移处开始计时，函数表达式为,x=,A,cos,t,，图象如图2.,3.简谐运动的能量,简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能,守恒，振动能量与,有关，,越大，,能量越大.,图2,振幅,振幅,4,二、简谐运动的两种基本模型,弹簧振子（水平）,单摆,模型示意图,条件,忽略弹簧质量、无摩擦等阻力,细线不可伸长,、,质量忽略,、,无空气等阻力,、,摆角很小,平衡位置,弹簧处于原长处,最低点,回复力,弹簧的弹力提供,摆球重力沿与摆线垂直（即切向）方向的分力,5,周期公式,T,=2 (不作要求),T=,2,能量转化,弹性势能与动,能的相互转化,，,机械能守,恒,重力势能与动能的相互转化,，,机械能,守恒,6,三、受迫振动和共振,1.受迫振动,：物体在,作用下的振动.,做受迫振动的物体，它的周期（或频率）等于,的周期（或频率），而与物体的固有周,期（或频率）,关.,2.共振,：做受迫振动的物体，它的,固有频率与驱动力的频率越接近,，,其振幅就越大,，,当二者,时，,振幅达到最大，这就是共振现象.,共振曲线如图3所示.,周期性驱动力,驱动力,无,相等,图3,7,热点聚焦,热点一 简谐运动规律及应用,1.回复力,F=-kx,.（判断一个振动是不是简谐运,动的依据）,2.对称性简谐振动物体具有对平衡位置的对称,性，在关于平衡位置对称的两个位置，动能、势,能相等，位移、回复力、加速度大小相等,，,方向,相反,速度大小相等，方向可能相同，也可能相,反,振动过程相对平衡位置两侧的最大位移值相等.,8,3,.周期性简谐运动的物体经过相同时间,t,=,nT,(n),为整数,必回复到原来的状态,经时间,t,=(2,n,+1),(,n,为整数)，则物体所处的位置必与原来的位置,关于平衡位置对称，因此在处理实际问题中，,要注意多解的可能性或需要写出解答结果的,通式.,9,热点二 对单摆的理解,1.单摆及成立条件,如图4所示，一根轻细线，悬挂着一个小,球，就构成所谓的单摆.能够视为单摆需,要满足两个条件：,(1),和小球的质量,m,相,比，线的质量可以忽略；,(2),小球可视为质点，,如果小球不能视为质点，则单摆半径为悬点到重,心的距离.,2.单摆的受力特征,当单摆做小角度摆动时，其受力情况为：受到一,个恒定的竖直向下的重力,mg,和一个变化的始终沿,绳方向指向悬点的拉力,F,，垂直于速,图4,10,度方向上的力充当向心力，即,F,向,=,F-mg,cos,；摆,球重力在平行于速度方向上的分力充当摆球的回复,力.当单摆做小角度摆动时，由于,F,回,=,-,mg,sin,=,-,=,-kx,，所以单摆的振动近似为简谐运动.,3,.单摆的周期公式,(1)单摆振动的周期公式,T,=2 ,该公式提供了,一种测定重力加速度,g,的方法.,(2),l,为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离,要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在,圆弧的圆心.,(3),g,为当地重力加速度.,11,特别提示,如单摆没有处于地球表面或所处环境为非平衡,态，则,g,为等效重力加速度，大体有这样几种情,况,(1),不同星球表面,g=GM/r,2,;,(2),单摆处于超重或,失重状态等效,g,=,g,0,a,如轨道上运行的卫星,a=g,0,完全失重,等效,g,=0;,(3),不论悬点如何运动还是受,别的作用力，等效,g,的取值等于在单摆不摆动,时，摆线的拉力,F,与摆球质量的比值，即等效,g=F/m,.,12,热点三 振动图像,1.物理意义：表示振动物体的位移随时间变化的,规律.,特别提示：振动图象不是质点的运动轨迹.,2.应用,(1)确定振动物体在任意时刻的位,移.如图5中，对应,t,1,、,t,2,时刻的位,移分别为,x,1,=+7 cm,x,2,=-5 cm.,(2)确定振动的振幅.如图振幅是,10 cm.,图5,13,(3)确定振动周期和频率.振动图象上一个完整,的正弦（余弦）图形在时间轴上拉开的,“,长度,”,表示周期.,由图可知，,OD,、,AE,、,BF,的间隔都等于振动周,期，,T,=0.2 s，频率,f,=5 Hz.,(4)确定各质点的振动方向.例如图中的,t,1,时刻，,质点正远离平衡位置向位移的正方向运动;在,t,3,时刻，质点正向着平衡位置运动.,(5)比较各时刻质点加速度的大小和方向.例如,在图中,t,1,时,刻质点位移,x,1,为正,，,则加速度,a,1,为负,；,t,2,时刻质点位移,x,2,为负，则加速度,a,2,为正，又因,为|,x,1,|,x,2,|,所以|,a,1,|,a,2,|.,14,题型探究,题型1 简谐运动的规律,【,例1,】,一弹簧振子做简谐运动，周期为,T,则正确,的说法是 （）,A.若,t,时刻和(,t,+,t,)时刻振子运动位移的大小相,等、方向相同，则,t,一定等于,T,的整数倍,B.若,t,时刻和(,t,+,t,)时刻振子运动速度的大小相,等、方向相反，则,t,一定等于,T,/2的整数倍,C.若,t,=,T,，则在t时刻和(,t,+,t,)时刻振子运动,的加速度一定相等,D.若,t,=,T,/2,则在,t,时刻和(,t,+,t,)时刻弹簧的长,度一定相等,15,解析,弹簧振子做简谐运动的图,象如右图所示,，,图中,A,点与,B,、,E,、,F,、,I,等点的振动位移大小相等,方,向相同.由图可知，,A,点与,E,、,I,等点对应的时间差为,T,或,T,的整数倍,，,A,点与,B,、,F,等点对应的时间差不为,T,或,T,的整数倍，因此A选项不正确.,图中,A,点跟,B,、,C,、,F,、,G,等点的振动速度大小相等，,方向相反,由图可知,A,点与,C,、,G,等点对应的时间差,为,T,/2或,T,/2的整数倍,A,点与,B,、,F,等点对应的时间,差不为,T,/2或,T,/2的整数倍,因此B选项不正确,;,如果,t,时刻和(,t,+,t,)时刻相差为一个周期,T,则这两个时,刻振动情况完全相同,加速度一定相等,选项C正,确;如果,t,时刻和(,t,+,t,)时刻相差半个周期,则这两,个时刻振动的位移大小相等,方向相反,弹簧的长,度显然是不相等的，选项D也不正确.,答案,C,16,方法提炼,借助模型、振动图象是分析此类问题的有效方,法.比较两种方法可以看出，图象法更加直观、,快捷.,变式练习1,如果下表中给出的是做简谐运动的物体的位移,x,、速度,v,与时间的对应关系,T,是振动周期,则,下列选项中正确的是,(),17,0,T,甲,零,正向最大,零,负向最大,零,乙,零,负向最大,零,正向最大,零,丙,正向最大,零,负向最大,零,正向最大,丁,负向最大,零,正向最大,零,负向最大,时间,状,态,物理量,18,A.若甲表示位移,x,则丙表示相应的速度,v,B.若丁表示位移,x,则甲表示相应的速度,v,C.若丙表示位移,x,则甲表示相应的速度,v,D.若乙表示位移,x,则丙表示相应的速度,v,解析,当,t,=0时，甲的位移为零，这时刻的速度,为正向最大；当,t,=,T,时，甲的位移为正向最,大，这时速度为零.由此可见，丙的速度变化正,好对应甲的位移变化情况.所以A正确.同样可推,出B正确，C、D不正确.,答案,AB,19,题型2 简谐运动图象的应用,【,例2,】如图6为一弹簧振子的振动图象,试完成以,下要求：,（1）写出该振子简谐运动的,表达式.,（2）在第2 s末到第3 s末这,段时间内弹簧振子的加速度、速度、动能和弹,性势能各是怎样变化的？,（3）该振子在前100 s的总位移是多少？路程是,多少？,图6,20,思维导图,解析,（1）由振动图象可得,A,=5 cm,T,=4 s,=0,则,=rad/s,故该振子简谐运动的表达式为,x,=5 sin,t,cm,21,(2)由图可知,在,t,=2 s时,振子恰好通过平衡位,置,此时加速度为零,随着时间的延续,位移值不,断加大,加速度的值也不断变大,速度点续传值,不断变小,动能不断减小,弹性势能逐渐增大.当,t,=3 s时,加速度的值达到最大,速度等于零,动能,等于零,弹性势能达到最大值.,(3)振子经一周期位移为零，路程为54 cm=,20 cm，前100 s刚好经过了25个周期，所以前,100 s振子位移,x,=0,振子路程,x,=2025 cm=,500 cm=5 m.,答案,（1）,x,=5sin,t,cm,(2)见解析,(3)0 5 m,22,规律总结,分析简谐运动的图象问题要特别注意以下两点：,第一，简谐运动图象实质为位移时间图象；第,二，要将图象所提供的信息与简谐运动特征有,机结合起来，并注意发掘隐含信息.,23,变式练习2,一弹簧振子沿,x,轴振动,振幅为4 cm,振子的平衡,位置位于,x,轴上的,O,点.图7中的,a,、,b,、,c,、,d,为四,个不同的振动状态：黑点表示振子的位置,黑点,上的箭头表示运动的方向.图8给出的,四条振动图线,可用于表示振子的振动图象（）,图7,图8,24,A.若规定状态,a,时,t,=0,则图象为,B.若规定状态,b,时,t,=0,则图象为,C.若规定状态,c,时,t,=0,则图象为,D.若规定状态,d,时,t,=0,则图象为,解析,A选项,t,=0时,a,点位移为3 cm且向正方向,运动,故图象对.D选项,t,=0时,d,点位移为-4 cm,且向正方向运动,故图象对.B、C与图象,不对应,故A、D对.,答案,AD,25,题型3 受迫振动和共振的应用,【,例3,】一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图9,甲所示，该装置可用于研究弹簧振子的受迫振,动.匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动,力，使振子做受迫振动.把手匀速转动的周期就,是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就,可以改变驱动力的周期.若保持把手不动，给砝,码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动,图线如图乙所示.当把手以某一速度匀速运,动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图象如,图丙所示.若用,T,0,表示弹簧振子的固有周期，,T,表示驱动力的周期，,Y,表示受迫振动达到稳定后,砝码振动的振幅，则,26,(1)稳定后，物体振动的频率,f,=,Hz.,(2)欲使物体的振动能量最大，需满足什么,条件？,答：,.,图9,27,(3)利用,上述所涉及的知识，请分析某同学所提,问题的物理道理.,“某同学考虑，我国火车第六次大提速时，需尽,可能的增加铁轨单节长度，或者是铁轨无结头”.,答：,.,解析,(1)由丙图可知，,f,=Hz=0.25 Hz.,(2)物体振动能量最大时，即振幅最大，故应发,生共振，所以应有,T,=,T,0,=4 s.,(3)若单节车轨非常长，或无结头，则驱动力周,期非常大，从而远离火车的固有周期，即火车,的振幅较小.以便来提高火车的车速.,答案,(1)0.25 (2)(3)见解析,28,变式练习3,如图10所示，是一个单摆的共,振曲线(,g,取10 m/s,2,),(1)求此单摆的摆长？,(2)若增大摆长,共振曲线的峰值向左移还是向右移?,解析,(1)由单摆的共振曲线知,当驱动力的频率为,0.3 Hz时单摆发生共振,因此单摆的固有频率为,0.3 Hz,固有周期为,T,0,=s;由,T,=2 得单摆的,摆长l为,l,=2.8 m.,(2)当摆长增大时，周期变大，固有频率变小，曲,线的峰值应向左移.,答案,(1)2.8 m (2)左移,图10,29,题型4 单摆模型问题,如图11所示，,ACB,为光滑圆弧形,槽，弧形槽半径为,R,，,R,.,甲球从弧形槽的球心处自由落下，,乙球从,A,点由静止释放，问：,（1）两球第1次到达,C,点的时间之比.,（2）若在圆弧的最低点,C,的正上方,h,处由静止释,放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左,侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点,C,处相遇，则甲球下落的高度,h,是多少？,图11,30,解析,(1)甲球做自由落体运动,R,=,gt,1,2,所以,t,1,=,乙球沿圆弧做简谐运动(由于,R,，可认为摆,角,5).此振动与一个摆长为,R,的单摆振动,模型相同，故此等效摆长为,R,，因此第1次到达,C,处的时间为,t,2,=,所以,t,1,t,2,=,31,(2)设甲球从离弧形槽最低点,h,高处开始自由下落,t,甲,=,由于乙球运动的周期性，所以乙球到达最低点时,间为,t,乙,=,n,=0,1,2,由于甲、乙相遇,t,甲,=,t,乙,解得,h,=(,n,=0,1,2),答案,(1)(2),32,1.悬挂在竖直方向上的弹簧振子,周期为2 s,从最低,点的位置向上运动时开始计时,它的振动图象如,图12所示,由图可知,(),素能提升,图12,33,A.,t,=1.25 s时振子的加速度为正,速度为正,B.,t,=1.7 s时振子的加速度为负,速度为负,C.,t,=1.0 s时振子的速度为零,加速度为负的最,大值,D.,t,=1.5 s时振子的速度为零,加速度为负的最,大值,解析,弹簧振子振动时,加速度的方向总是指向,平衡位置,且在最大位移处,加速度值最大,在平,衡位置处加速度的值为0,由图可知,t,=1.25 s时,振子的加速度为负,t,=1.7 s时振子的加速度为,正,t,=1.5 s时振子的加速度为零,故A、B、D均,错误,只有C正确.,答案,C,34,2.如图13两个弹簧振子悬挂在同一支架上,已知甲弹,簧振子的固有频率为8 Hz,乙弹簧振子的固有频率,为72 Hz,当支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的,驱动力作用做受迫振动时,则两个弹簧振子的振动,情况是 (),图13,35,A.甲的振幅较大,且振动频率为8 Hz,B.甲的振幅较大,且振动频率为9 Hz,C.乙的振幅较大,且振动频率为9 Hz,D.乙的振幅较大,且振动频率为72 Hz,解析,根据受迫振动发生共振的条件可知甲的,振幅较大,因为甲的固有频率接近驱动力的频率,做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率,所,以B选项正确.,答案,B,36,3.如图14甲所示,一弹,簧振子在,AB,间,做简谐运动,O,为平衡位置,如图乙是振子做简谐运动时的位,移时间图象,则关于振子的加速度随时间的变,化规律,下列四个图象中正确的是 (),图14,37,解析,根据简谐运动的运动特点知,a,=,因,x,随,t,成正弦函数变化,又与,x,方向相反,所以C选项,正确.,答案,C,38,4.如图15所示,乙图图象记录了甲图单摆摆球的动,能、势能和机械能随摆球位置变化的关系，下,列关于图象的说法正确的是 (),A.,a,图线表示势能随位置的变化关系,B.,b,图线表示动能随位置的变化关系,C.,c,图线表示机械能随位置的变化关系,D.图象表明摆球在势能和动能的相互转化过程,中机械能不变,CD,图15,39,5.做简谐振动的单摆摆长不变,若摆球质量增加为,原来的4倍,摆球经过平衡位置时速度减小为原,来的1/2,则单摆振动的 (),A.频率、振幅都不变,B.频率、振幅都改变 C.频率不变、振幅改变,D.频率改变、振幅不变,答案,C,40,6.如图16所示的三个图线分别是用不同的传感器测,出的不同物体的振动图线.从三个图线可知,这三,个物体振动的共同特点是具有,三个物体中,最简单的振动是,的振动.图中心脏跳动的图,线是某人的心电图,方格纸每个小方格的宽度是,0.5 cm,心电图记录仪拖动方格纸的速度是,1.8 cm/s.则此人的心率是,次/分.,图16,41,解析,三个振动图线都是周期性变化的,，,因此,，,这三个振动物体的共同特点是具有周期性,；,其中,最简单的振动是弹簧振子的振动,；,由心脏跳动的,图线可知，在心脏每跳一下的时间间隔内,，,方格,纸前移距离为,x,=3.20.5 cm=1.6 cm,，,所以心脏,跳动的时间间隔为,T,=，此人的心率即每,分钟心跳次数为 次/分=67.5次/分.,答案,周期性 弹簧振子 67.5,42,7.根据如图17所示的振动图象：,(1)算出下列时刻振子对平衡,位置的位移.,t,1,=0.5 s;,t,2,=1.5 s,(2)将位移随时间的变化规律写成,x,=,A,sin(,t,+,)的形式并指出振动的初相位是,多少？,解析,(1)由图象可知,A,=10 cm,T,=4 s,故位移:,x,=,A,cos,t,=10cos,t,=10cos,t,cm,图17,43,当,t,1,=0.5 s时，,x,1,=5 cm,当,t,2,=1.5 s时，,x,2,=-5 cm,(2)振子的位移表达式为：,x,=10cos,t,=10sin(,t,+)cm,初相位为：=.,答案,(1),5 cm -5 cm,(2),x,=10sin(,t,+)cm,44,反思总结,返回,45,