探讨立体几何定理课的讲授.doc

探讨立体几何定理课的讲授（全面版）资料
探讨立体几何定理课的讲授
祝桥高级中学 董善林
CB
B
Ｄ
AB
P
立体几何的学习，是学生们普遍感觉蛮难的。平时，有的学生不爱问“为什么”，也不知道问“为什么”，只知道盲目的模仿书本和老师。学生的发散性思维、逆向性思维等被束缚着，不敢于冲破传统，越雷池一步。学生作为认知主体，却没有发挥出主动性来。
曾经给了学生这样一道题目：
已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，试找出图中所有的平面与平面垂直的关系，并证明其中的两个。
有一种错误的证法出现的频次较高：因为PA⊥AB，PA⊥AD，所以平面PAC⊥平面ABCD。
立体几何的学习主要有三个方面的任务：空间图形的识别，公理、定理、推论等的记忆，知识点的运用。这其中涉及到了三方面的能力：空间想象能力，理解识记能力，逻辑推理能力。可以看到写出这种证法的学生已经看懂了图形，逻辑推理也没出现混乱的，可他们为什么倾向于这种证法呢？
由于行为主义学习观在我国根深蒂固的影响，学生是老师知识灌输的对象，成了前人知识和经验的存储器。学生作为一个有主观能动性的、有创造性思维的活生生的人被一再地忽略。其实以上问题的关键在于学生没能理解平面与平面的垂直的判定定理的来龙去脉，机械地记忆是不牢靠的。这就启发我们，可以用学习理论来探讨立体几何定理课的讲授。
20世纪90年代以来，西方学术界对学习理论研究给予了高度重视，构建主义学习理论盛行起来。构建主义学习理论突破了“学习是反应的强化”的观点，超越了“学习是知识的获得”的观点，具体地，构建主义学习理论强调：
理解是通过与环境的互动而发生的。
认知冲突或困惑是相对于学习而言的一种刺激，并决定着学习内容的实质和组织形式。
知识是通过社会磋商和对理解发生的评估而展开的。
由此可以看出，建构主义学习理论认为“情境”、“协作”、“会话”和“意义建构”是学习环境中的四大要素。
人本主义心理学代表人物马斯洛认为，所谓自我实现的需要就是“人对于自我发挥和完成的欲望，也就是一种使它的潜力得以实现的倾向”。 人格的形成就是源于人性的这种自我的压力。由于人本主义强调教学的目标在于促进学习，学习是在好奇心的驱使下去吸收任何他自觉有趣和需要的知识，是有意义的学习。人本主义的教学观正是基于这种学习观。
反思定理课的传统讲授方法：写出定理，字词句的理解，数学符号形式，证明定理，例题讲解，最后是学生题海训练。在这种填鸭式严格强迫学生无助地、顺从地学习枯燥乏味、琐碎呆板、现学现忘的教材的方式下，学生为了掌握一个知识点往往事倍功半，学习数学的兴趣没有得到激发，甚至质疑数学的价值。
为此，本人以平面与平面的垂直的判定定理的学习为例来探讨定理课的讲授的新方法。
师：同学们，我们已经学习了二面角的计算方法，知道如果一个二面角的平面角是９０°时，我们称它是直二面角。那形成直二面角的两个平面是什么关系呢？为什么？
生：平面与平面垂直。类比：两条直线成９０°时，我们称它们互相垂直。于是两个平面形成的二面角是直二面角时，我们也可以称它们互相垂直。
师：讲得好。他很善于知识点的迁移。请同学们观察教室中哪些平面是互相垂直的呢？
生（观察并列举）：黑板面与南墙面，黑板面与地平面，黑板面与天花板面，黑板面与北墙面等。
在课堂上，学生其实是一个积极的探究者，教师应该适时地建立有助于学生进行独立探究的情境，让他们独立的思考问题。并且这种情境最好是学生身边的实例、模型，有的研究者强调游戏活动的重要意义，学生的许多能力来自他们的日常生活。
师： 如图，用书本垒成了墙的模型，现提供一个铅锤线，同学们思考怎样检验模型各侧面是否与桌面（水平面）垂直？
高二数学
一课一导
分组探讨时，学生明显的表现出强烈的探讨欲望，有的同学拿着铅锤线在测量，有的同学在记录，有的同学在出谋划策，他们共同协商，互相对话，通过这种有意义的学习，学生找到了事物的性质、规律以及事物之间的内在联系。
以下是一组学生的探讨的记录：
结果：前、后两面分别与水平面垂直。
方法：自然下垂的铅锤线如果与书本墙面紧贴，则墙面与水平面垂直，否则不是。
原理：自然下垂的铅锤线与水平面垂直的；紧贴的含义是平面经过直线。
师：你们组研究的很完备，也体现了探究事物规律的一般方法。请问你们是怎样想到的？
生：我们想到了建筑工人砌墙，为了让墙可以砌得很高也不会倒塌，通常让墙与地面垂直。由于墙的重心此时落在墙体上，因而不会倒塌。生活中，我们曾观察到他们检验墙与地面是否垂直时用到了铅锤线。
师：讲得很好。你们巧妙地联系了日常生活，当然你们也是热爱生活的人，善于观察生活。请其他组的同学根据他们研究的结果，总结一个判定平面与平面垂直的规律。
生：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
师：同学们能否验证定理的正确性？
通过小组讨论，学生们明显的表现出了解决问题的欲望。
生1：我们得先把定理改写成数学符号形式，已知：ＡＢ⊥β ，ＡＢα ，求证：α⊥β
生2：要说明α⊥β，我们现在只有根据定义：验证所成二面角是直二面角，于是需要找到二面角的平面角并确定为直角。
生3：如何作出二面角的平面角？
生4：在二面角的棱上找一点，分别在两个面内作棱的垂线。
生5：二面角的楞在哪？取哪个点？
在学生的你一言我一语的互相启发下，证明的脉络清晰了起来。然后分两个层次证明定理。
师：同学们证明的正是平面与平面的垂直判定定理。受到定理的启发，我们应怎样画两个互相垂直的平面呢？
生：学生观察两个互相垂直的平面的模型及结合定理，尝试着画图并小结了方法。
a)
b)
这堂课渗透了二期课改的精神，以学生为主体，紧紧围绕“以学生发展为本”，以学生的好奇心为驱动力，以有意义的学习为目的。
在构建主义学习理论的实施时，注重情境创设对学生学习的影响，涉及到了生活中的实例，贴近学生的生活，能引起学生情感上的共鸣，较好地激发了学生求知的欲望。教室中的平面，学生感到亲切而熟悉。建筑工人用铅锤线判断墙壁是否与水平面垂直的实例，更是将学生生活中的经验和已学的物理等的知识都挖掘了出来。
用探索法、发现法去建构知识的意义。在建构意义过程中要求学生主动去搜集并分析有关的信息和资料，对所学习的问题要提出各种假设并努力加以验证。 要把当前学习内容所反映的事物尽量和自己已经知道的事物相联系，并对这种联系加以认真的思考。
学生在观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程中解决认知冲突和困惑，以及用科学的眼光看待事物的习惯，并懂得尊重劳动人民的智慧，热爱人民。
在小组的探讨活动中，个人对问题的思考会刺激他人的学习，而他人是刺激新学习的有效动力，体现了合作学习的重要性。
另外，课中也体现了教师的主导作用。教师在可能的条件下组织协作学习（开展讨论与交流），并对协作学习过程进行引导使之朝有利于意义建构的方向发展。引导的方法包括：提出适当的问题以引起学生的思考和讨论；在讨论中设法把问题一步步引向深入以加深学生对所学内容的理解；启发诱导学生自己去发现规律。
参考文献：
1．冯忠良等：《教育心理学》，人民教育出版社，2000年
2．莱斯利·P·斯特、杰里·盖尔主编：《教育中的构建主义》，华东师范大学出版社，2002年
3．戴维·H·乔纳森主编：《学习环境的理论基础》，华东师范大学出版社，2002年
4．李仕锜，李俊：《数学教育个案学习》，华东师范大学出版社，2001年7月
1.Yeong-Bin Yang文章中给出的的几何刚度矩阵（推导时忽略了轴向应变中的项）：

uxA uyA uzA θxA θyA θzA uxB uyB uzB θxB θyB θzB

MzA/l2
+ MzB/l2
-MyA/l2
-MyB/l2

-MzA/l2
-MzB/l2
MyA/l2
+MyB/l2

6FxB/5l

1.1MyA/l
-MyB/10l
MxB/l
FxB/10
-MzA/l2
-MzB/l2
-6FxB/5l

-MyA/10l
+1.1MyB/l
-MxB/l
FxB/10
MyA/10
-MyB/10

6FxB/5l
1.1MzA/l
-MzB/10l
-FxB/10
MxB/l
MyA/l2
+MyB/l2

-6FxB/5l
-MzA/10l
+1.1MzB/l
-FxB/10
-MxB/l
MzA/10
-MzB/10

6/5l
MzA/10
+MzB/5
-MyA/10
-MyB/5

-1.1MyA/l
+MyB/10l
-1.1MzA/l
+MzB/10l
-6/5l
-MzA/5
-MzB/10
MyA/5
+MyB/10
/10
/10

2FxB l /15

-MxB/l
FxB/10
-MzA/10
-MzB/5
-FxB l /30
MxB/2
-MzAl/10
+MzBl/30
MzAl/30

2FxB l /15

-FxB/10
-MxB/l
MyA/10
+MyB/5
-MxB/2
-FxB l /30
MyAl/10
-MyBl/30
-MyAl/30

MzA/l2
+ MzB/l2
-MyA/l2
-MyB/l2

6FxB/5l

MyA/10l
-1.1MyB/l
MxB/l
-FxB/10
-MyA/10
MyB/10

6FxB/5l
MzA/10l
-1.1MzB/l
FxB/10
MxB/l
-MzA/10
MzB/10

6/5l
MzA/5
+MzB/10
-MyA/5
-MyB/10
-/10
-/10

(SYMMETRICAL)

2FxB l /15

-MzBl/30
-MzAl/30
+MzBl/10

2FxB l /15
MyBl/30
MyAl/30
-MyBl/10

2/15
-/30

2/15
表中=Fx(Iy+Iz)/A 为Wagner系数。

2.Aura Conci文章中给出的完整几何刚度矩阵（推导时考虑了轴向应变中的项）：
uxA uyA uzA θxA θyA θzA uxB uyB uzB θxB θyB θzB
FxB/l

-(BA+BB)/l2
-MyA/l
-MzA/l
-FxB/l

(BA+BB)/l2
-MyB/l
-MzB/l
-BA/l
-BB/l

12FxBIz/Al3
+6FxB/5l

1.1MyA/l
-MyB/10l
MxB/l
6FxBIz/Al2 +FxB/10

-6FxB/5l
-12FxBIz/Al3

-MyA/10l
+1.1MyB/l
-MxB/l
6FxBIz/Al2 +FxB/10
MyA/10
-MyB/10

12FxBIy/Al3
+6FxB/5l
1.1MzA/l
-MzB/10l
-FxB/10
-6FxBIy/Al2
MxB/l

-6FxB/5l
-12FxBIy/Al3
-MzA/10l
+1.1MzB/l
-FxB/10
-6FxBIy/Al2
-MxB/l
MzA/10
-MzB/10

12FxBCw/Al3
+6/5l
MzA/10
+MzB/5
-MyA/10
-MyB/5
BA/l2
+BB/l2
-1.1MyA/l
+MyB/10l
-1.1MzA/l
+MzB/10l
-6/5l
-12FxBCw/Al3
-MzA/5
-MzB/10
MyA/5
+MyB/10
6FxBCw/Al2
+/10
6FxBCw/Al2
+/10

2FxBl/15
+4FxBIy/Al
(2α-1)
·MxB/2
MyA/l
-MxB/l
6FxBIy/Al2
+FxB/10
-MzA/10
-MzB/5
2FxBIy/Al -FxBl/30
MxB/2
-MzAl/10
+MzBl/30
MzAl/30

2FxBl/15
+4FxBIz/Al
MzA/l
-FxB/10
-6FxBIz/Al2
-MxB/l
MyA/10
+MyB/5
-MxB/2
2FxBIz/Al -FxB l /30
MyAl/10
-MyBl/30
-MyAl/30

FxB/l

-(BA+BB)/l2
MyB/l
MzB/l
BA/l
BB/l

12FxBIz/Al3
+6FxB/5l

MyA/10l
-1.1MyB/l
MxB/l
-FxB/10
-6FxBIz/Al2
-MyA/10
MyB/10

12FxBIy/Al3
+6FxB/5l
MzA/10l
-1.1MzB/l
6FxBIy/Al2
+FxB/10
MxB/l
-MzA/10
MzB/10

12FxBCw/Al3
+6/5l
MzA/5
+MzB/10
-MyA/5
-MyB/10
-/10
-6FxBCw/Al2
-/10
-6FxBCw/Al2

(SYMMETRICAL)

2FxBl/15
+4FxBIy/Al
(1-2α)
·MxB/2
-MzBl/30
-MzAl/30
+MzBl/10

2FxBl/15
+4FxBIz/Al
MyBl/30
MyAl/30
-MyBl/10

2/15
+4FxBCw/Al
2FxBCw/Al -/30

2/15
+4FxBCw/Al
表中=Fx(Iy+Iz)/A 为Wagner系数；Cw为截面翘曲常数；BA、BB为单元A端和B端的双力矩。

§ 两种形式的对比
(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
三角形式
=
指数形式
（2）两种频谱图的关系
三角形式：， 单边频谱
指数形式：，双边频谱
两者幅度关系 =
指数形式的幅度谱为偶函数
指数形式的相位谱为奇函数
（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质

注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
（4）引入负频率
对于双边频谱，负频率，只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率?
f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对，才能保证f(t)的是函数的性质不变。

第17卷第3期2021年6月
塑性工程学报
J OU RNAL O F PL ASTICIT Y EN GIN EERIN G
Vol 117　No 13J un 1　2021

六辊轧机刚度特性有限元3
(11燕山大学机械工程学院,秦皇岛　066004　杜凤山
1,2
　张尚斌1　黄华贵1
(21燕山大学亚稳材料制备技术与科学 重点实验室,秦皇岛　066004
　王贵国1　任新意1
摘　要:板带轧机的横向刚度和纵向刚度对于板形、板厚控制十分重要,研究不同状态下的刚度变化规律对提高板形、板厚综合控制的精度具有重要意义。在三维弹塑性有限元模型的基础上,基于某厂1420末机架六辊CVC 轧机实际参数,建立了板带轧制整体有限元模型。利用该模型研究板宽、窜辊、辊径和弯辊力的变化对轧机横向刚度的影响,以及中间辊的窜辊量变化对轧机纵向刚度的影响,为轧机的板形、板厚控制量的调整,提供了参考依据,也为板带轧制过程中板形、板厚在线设定,以及控制模型的研究和优化,提供了理论基础。关键词:六辊轧机;有限元法;横向刚度;纵向刚度

Finite element study of the rigidity characteristics of a six 2high mill
DU Feng 2shan 1,2　ZHAN G Shang 2bin 1　HUAN G Hua 2gui 1　Wang Gui 2guo 1　REN Xin 2yi 1
(11Mechanical Department of Yanshan University ,Qinhuangdao 　066004　China
(21Yanshan University Metastable Materials Science &Technology State Key Laboratory ,Qinhuangdao 　066004　China Abstract :The vertical and transverse rigidity of the strip mill are important to the gauge and shape control of the rolled strip.The 32D finite element whole model of six 2high mill was established based on the practical parameters of 1420at the final stand.The effects of strip width ,roll shifting ,roll diameter and bending force on the transverse rigidity of the six 2high mill were studied.The effect of roll shifting of the middle roll on the vertical rigidity was also calculated.The results provide reference for regulating con 2trol value of strip gauge and strip shape ,and also provide theoretical basis for online setting of strip gauge and strip shape.K ey w ords :six 2high mill ;finite element ;transverse rigidity ;vertical rigidity
3 自然科学 重点资助项目(50534020; 支撑计划资助项目(2007BAF02B12;河北省自然科学 资助项目(E2021000418;教育部博士点 资助项目
(20060216001。
杜凤山　E 2mail :f sdu @ysu 1edu 1cn
作者简介:杜凤山,男,1960年生,博士生导师收稿日期:2021211216;修订日期:2021211227
　引　言
随着现代板材加工工业向高度自动化方向发展,
以及冷轧板带材的使用范围日益广泛,用户对冷轧板材的几何形状和尺寸精度的要求越来越高,从而促进了科研工作者对板形、板厚影响因素的深入研究[1]。对于普通的四辊轧机,当轧机的结构一定时,轧机的横向刚度和纵向刚度基本上保持不变[2]。但是在六辊轧机上,为了消除有害接触以实现对板形
的有效控制,采用的工作辊和中间辊的轴向移动和弯辊控制会改变轧机的横向和纵向刚度[3],而这一问题对于六辊轧机的板形、板厚控制十分重要。但目前对六辊轧机刚度特性分析的研究比较少,且主要依靠压靠法和轧制法等实验手段。
本文在现有的对六辊轧机刚度特性研究的基础上,利用三维弹塑性有限元法[4],在考虑机架和轴承座的弹性变形的条件下,建立了包含机架、辊系和板带的板带轧制过程整体有限元分析模型。研究板宽、窜辊、辊径和弯辊力的变化对轧机横向刚度的影响,以及中间辊的窜辊量变化对轧机纵向刚度的影响,为轧机的板形、板厚控制量的调整提供参考依据。
1　综合分析模型的建立
在三维弹塑性有限元模型的基础上,建立包含机架、辊系和板带的板带轧制过程整体有限元仿真
模型。在板带和工作辊之间附加一层摩擦元,以处理板带与轧辊的接触关系。模型中轧辊、轴承座和机架为弹性体,轧件为弹塑性体。整体有限元模型如图1所示。机架、辊系和板带的物理参数如表1所示,模型的基本几何参数如表2所示

。
图1　六辊轧机三维有限元整体模型
Fig 11　The 3D finite element whole model of 62roll mill
表1　物理性能
Tab 11　Physical properties
参数
数值
机架和辊系
弹性模量/MPa
2115×105
泊松比0.3密度/kg/m 37.85×103带　钢
弹性模量/MPa
211×105
泊松比0.3密度/kg/m 3
7.85×103
变形抗力,σ/MPa
σ=629+522・ε
0176
表2　模型的几何参数/mm
Tab 12　Parameters of the model in mm
参数
数值支承辊
轧辊直径
1200
辊身长度1350辊径直径600轴承间距2150中间辊
轧辊直径550辊身长度1510辊径直径280轴承间距2230横移量-80~+80
工作辊
轧辊直径400辊身长度1350辊径直径240轴承间距2230带钢
入口厚度
0.802
该模型具有位移加载、力加载两种加载方式,可以用来实现定辊缝和定轧制力两种轧制情况下的
仿真。轧制压下,通过调整压下螺丝长度,施加y 向的位移实现;定轧制力轧制,通过机架和轴承座上对应的压下螺丝位置,施加相应的轧制力实现。工作辊依靠粘贴在端部的刚性面带动旋转,在摩擦力的作用下带动中间辊和支承辊旋转。为便于板带的咬入,在轧件靠尾部的刚性面,以略小于轧辊线速度的速度向前推进,以实现板带咬入。在带钢咬入后,刚性面与带钢分离,带钢在摩擦层单元的带动下完成轧制过程。为提高计算精度以及减小计算费用,在板带轧制仿真过程中,仅对轧辊的接触区域以及工作辊与带钢之间的可能接触区域网格进行细化,模型选用8节点六面体等参单元。利用该模型,可以得到轧制过程的力能参数,以及辊系、机架、板带在轧制过程的各种位移、应力应变结果和分布规律。
2　轧机横向刚度特性分析
211　横向刚度特性
在轧制压力的作用下,轧辊将产生弯曲变形,
呈凹形(假设轧辊为平辊。由于轧辊的弯曲变形,沿带钢宽度方向的厚度会出现不均,即出现横向厚差。轧机抵抗横向弹性变形的能力称为轧机的横向刚度,轧辊的横向刚度一般用横向刚度系数K S 表示,即
K S =
P
Φ
(1
式中　P ———轧制压力的波动值
　　　Φ———板凸度的波动值
一般情况下,轧制力P 与板凸度Φ的关系比较复杂,凡是对工作辊变形产生影响的因素,如轧件宽度、张力分布、轧辊直径、辊凸度等均对其产生影响。但当其他条件均不变,且轧制力在正常的工作范围之内波动时,则可以近似地认为轧制力P 与
Φ之间的关系为线性,因此,可以近似地将式(1改写成差分形式,即
K S =
P 1-P 2Φ1-Φ2
(2
式中　P 1,P 2———分别为在工作范围内的轧制力
　　　Φ1,Φ2—
——与轧制力P 1,P 2相对应的板凸度轧机的横向刚度系数K S 反映了轧机承载辊缝凸度抵抗轧制力波动而保持不变的能力,K S 越大,承载辊缝越稳定,对轧制过程的板形控制也越有利。212　不同参数变化对横向刚度的影响21211　板宽变化对横向刚度的影响
在其他条件不变的情况下,根据板带宽度在实
9
41　第3期杜凤山等:六辊轧机刚度特性有限元
际工艺能力范围内,对板宽分别取760mm 、810mm 、860mm 、910mm 、960mm 、1010mm 、1060mm 、1110mm 和1160mm 进行建模,利用所建
六辊轧机整体有限元模型进行分析,通过仿真计算得到不同板宽情况下的横向刚度值,并得到板宽变化对轧机横向刚度的影响规律。不同板宽情况下的轧机横向刚度特性如图2所示

。
图2　板宽变化对横向刚度的影响
Fig 12　The effects of plate width on transverse rigidity
由图2可知,板宽760mm 时横向刚度为4371t/mm ,板宽960mm 时横向刚度为5746t/mm ,
板宽1160mm 时横向刚度为10027t/mm 。横向刚度系数随着板宽的增加而不断增大,其关系近似于二次曲线。这说明在板宽变化范围内,板带的宽度值越大,轧制力对板带凸度的影响越不明显,因此单位凸度所需的轧制力越大。
21212　中间辊窜辊量变化对横向刚度的影响
在其他条件不变的情况下,在该六辊轧机中间辊窜辊量变化范围内,分别取0mm 、10mm 、20mm 、30mm 、40mm 、50mm 、60mm 、70mm 和80mm 进行建模,利用所建六辊轧机整体有限元模
型进行分析,通过仿真计算,得到不同窜辊量情况下的横向刚度值,并得到窜辊量变化对轧机横向刚度的影响规律。不同窜辊量情况下的轧机横向刚度特性如图3所示。
图3　窜辊量变化对横向刚度的影响
Fig 13　The effects of plate width on transverse rigidity
由图3可知,窜辊量从0mm 变化到80mm 时,横向刚度对应着从5746t/mm 增加到9226t/mm 。横向刚度系数随着窜辊量的增加而不断增大,其关系近似于二次曲线,且窜辊量越大,横向刚度增加幅度越大。21213　辊径变化对横向刚度的影响
为考虑辊径变化对六辊轧机横向刚度的影响,在其他条件不变的情况下,在该六辊轧机辊径变化范围内,把工作辊、中间辊和支撑辊分别取5个不同的辊径进行建模,利用所建六辊轧机整体有限元模型进行分析,通过仿真计算,得到不同辊径情况下的横向刚度值,并得到辊径变化对轧机横向刚度的影响规律。不同辊径情况下的轧机横向刚度特性如图4所示

。
图4　辊径变化对横向刚度的影响
a 工作辊;
b 中间辊;
c 支撑辊
Fig 14　The effects of roll diameter on transverse rigidity
由图4可知,无论是工作辊辊径、中间辊辊径,还是支撑辊辊径,随着辊径的增加,轧机的横向刚
度都呈现近似线性的增加。工作辊辊径从380mm 增加到420mm 时,对应轧机横向刚度从5111t/mm 增加到7194t/mm ;中间辊辊径从540mm 增加到
051塑性工程学报第17卷
550mm时,对应轧机的横向刚度从5586t/mm增加到5746t/mm;支撑辊辊径从1150mm增加到1250mm时,对应轧机的横向刚度从5075t/mm增加到6423t/mm。辊径增加单位毫米使轧机横向刚度改变最大的是工作辊,由此得到工作辊辊径变化,对轧机横向刚度的影响最大。这一结论符合轧辊直径增大,轧辊弯曲变形刚度增大,从而使轧机横向刚度增大的规律。同时也说明,轧辊直径越大,轧辊的横向刚度越大,随着板带轧制生产的进行,磨辊会使整个轧机的横向刚度发生变化。因此,设定板形参数应该考虑辊径变化因素的影响。
21214　弯辊力变化对横向刚度的影响
弯辊力横向刚度是指在其他工况条件不变的情况下,带钢凸度发生单位变化所需要调节的弯辊力值,用弯辊力横向刚度系数K W表示,即
K W=W1-W2
Φ
1-
Φ2(3
式中　W1,W2———在工作辊范围内的两个弯辊力　　　Φ1,Φ2———与弯辊力W1,W2相对应的板凸度弯辊力的作用效果与轧制力的作用相反,施加正弯辊力可以减少板带凸度。因此,弯辊力横向刚度系数的值越大,表示弯辊力对凸度的调节能力越强。不同中间辊横移量的情况下,中间辊弯辊力横向刚度系数K W1和工作辊弯辊力横向刚度系数K W2的变化情况如图5所示。
图5　弯辊力横向刚度特性曲线
a中间辊;b工作辊
Fig15　The characteristic curve of transverse
rigidity of bending force
图5分别给出中间辊弯辊力横向刚度和工作辊弯辊力横向刚度随中间辊窜辊量变化情况。由图5a 可知,随着中间辊横移量增大,工作辊弯辊力横向刚度和中间辊弯辊力横向刚度都随之增加,且工作辊端部与中间辊端部越接近时,弯辊的影响也越明显。由此验证了,联合使用中间辊横移和加大弯辊力可以明显增大凸度控制能力的结论。由图5a还可知,在同一中间辊横移量的情况下,工作辊弯辊横向刚度值大于中间辊弯辊横向刚度,这说明工作辊弯辊对板带凸度的调节能力大于中间辊弯辊。
3　轧机纵向刚度特性分析
轧机的弹性变形是辊系的弹性变形和机架(包括轴承的弹性变形之和,如果设轧辊及机架的纵向刚度系数分别为K1和K2,则轧机的纵向刚度系数K 为
1
K
=
1
K1
+
1
K2
(4　　当机架的结构一定时,K2为常数。此时的轧机刚度系数K的变化就只取决于轧辊辊系刚度系数K1。不同中间辊横移情况下的辊系刚度有所不同,因此轧机总的纵向刚度值也会受到影响。为研究窜辊量对轧机纵向刚度的影响,应用所建有限元模型,在不同窜辊量的情况下对轧机的纵向刚度进行研究。在1420末机架六辊轧机中间辊窜辊量变化范围内,中间辊横移量分别取0mm、20mm、40mm、60mm、80mm进行仿真计算,得到不同窜辊量下轧机的纵向刚度,如图6所示

。
图6　轧机纵向刚度变化图
Fig16　The change of rolling millπs toughness
由图6可以看出,在中间辊横移的过程中,轧机的纵向刚度随中间辊的横移量的增大而减小,且呈现较好的线性关系。窜辊导致辊间接触状态、压力分布及辊间弹性压扁的随之变化,使辊系的弹性弯曲挠度发生变化。这也是中间辊横移影响轧机纵向刚度的原因。
151
　第3期杜凤山等:六辊轧机刚度特性有限元
4　结果验证
以某厂1420五机架冷连轧的末机架六辊轧机为例,调用本文所计算的弯辊力横向刚度和轧制力横向刚度计算出口板凸度与实际检测结果比较。轧机基本参数见表2。所轧带钢为Q235钢板,宽度为113m,轧制速度为25m/s,前张力为86168M Pa,后张力为76152M Pa,来料厚度为017793mm,出口厚度为01735mm。结果如表3所示。
表3　六辊轧机板凸度结果比较
Tab13　Comparison of actual values with
calculated in62roll mill
弯辊力/ MN 轧制力/
MN
实际凸
度/μm
计算凸
度/μm
相对误
差/%

0.3 1.98-11.2-11.9 6.25
0.4 1.98-13.4-14.2 5.90
0.5 1.98-15.7-16.5 5.10
通过对某厂1420五机架末机架[5]的分析,当弯辊力分别取011MN,012MN,013MN,014MN, 015MN,轧制力取1198MN时,对板凸度计算值和现场检测结果比较,计算结果的相对误差在8%以内,表明本文计算的弯辊力和轧制力的横向刚度真实有效。此计算结果已在某厂1100双机架冷连轧可逆轧机上得到现场应用。
5　结　论
1在板宽变化范围内,板带的宽度值越大,轧制力对板带凸度的影响就越不明显,因此需要增大改变单位凸度所需的轧制力。
2六辊轧机的横向刚度系数随着窜辊量的增加而不断增大,其关系近似于二次曲线,且窜辊量越大,横向刚度增加幅度越大。
3无论是工作辊、中间辊,还是支撑辊的辊径,随着辊径的增加,轧机的横向刚度都呈现近似线性的增加。辊径增加,使轧机横向刚度改变最大的是工作辊,由此得到,工作辊辊径变化对轧机横向刚度的影响最大。
4随着中间辊横移量的增大,工作辊弯辊力的横向刚度和中间辊弯辊力的横向刚度都随之增加,且工作辊端部与中间辊端部越接近时,弯辊的影响越明显。在同一中间辊横移量的情况下,工作辊弯辊横向刚度值大于中间辊弯辊横向刚度,说明工作辊弯辊对板带凸度的调节能力大于中间辊弯辊。
5在中间辊横移的过程中,轧机的纵向刚度随中间辊的横移量的增大而减小,且呈现较好的线性关系。
该研究结果为六辊轧机的板形、板厚控制量的调整提供了参考依据,也为板带轧制过程中板形、板厚在线设定和控制模型的研究、优化,提供了理论基础。
参考文献
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1262130
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分析[J].塑性工程学报,2007.14(6:51254
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251塑性工程学报第17卷
（二） 异面直线所成角
1. 定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交的两条直线叫异面直线。
2.画法：借助辅助平面。
1. 定义：对于异面直线a和b，在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线和，我们把和所成的锐角或者叫做异面直线a和b所成的角。
2. 范围：(0°，90°】
(★空间两条直线所成角范围：【0°，90°】)

（三） 线面角
1. 定义：当直线l与平面α相交且不垂直时，叫做直线l与平面α斜交，直线l叫做平面α的斜线。设直线l与平面α斜交与点M，过l上任意点A，做平面α的垂线，垂足为O，把点O叫做点A在平面α上的射影，直线OM叫做直线l在平面α上的射影。
1.定义：把直线l与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线l和平面α所成的角。
2. 范围【0°，90°】
（★斜线与平面所成角范围：【0°，90°】）

（三）二面角
1. 定义：
（1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
（3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
（4） 二面角的面：这两个半平面叫