角动量定理、天体运动.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1 角动量定理,1.1 质点角动量定理,质点的运动状态：,相对某参考点的转动：相对某参考点的位置矢量,r,速度,v,运动,转动,1,惯性系,S,中的一个运动质点,在运动过程中相对某参考点,O,的径矢,r,会相应的旋转,在,dt,时间,质点位移为,v,dt,，,转过角度,d,r,便会扫过面积,dS,面积速度,O,2,质点在,S,系中相对参考点,O,的角动量,L,角动量随时间的变化与什么有关呢？,其中,3,质点所受力相对参考点,O,的力矩,质点角动量定理：,质点所受力相对某参考点的力矩,等于质点相对该参考点角动量的变化率。,处理转动的所有公式都是从这个公式导出,4,h,力矩,力臂,h,：,点,O,到力,F,作用线的距离。,在直角坐标系中，,M,可用行列式表述成,它的三个分量：,5,质点所受各分力,F,i,相对同一参考点的力矩之和，,等于合力,F,相对该参考点的力矩。,两质点之间一对作用力与反作用力,相对于同一参考点力矩之和必为零。,1,2,6,若过程中,M,恒为零，则过程中,L,为守恒量,若过程中,M,z,恒为零，则过程中,L,z,为守恒量,有心力：质点所受力,F,若始终指向一个固定点,O,，,O,为力心。,7,例1,相对不同参考点,A、B，,计算重力矩和角动量,A,B,参考点,A：,重力矩,角动量,参考点,B：,重力矩,角动量,8,例2,匀速圆周运动,O,选择圆心,O,为参考点,力矩,角动量,R,其它任何点则没有这种情况,角动量守恒,9,例3,地球绕太阳公转,选择太阳为参考点,万有引力的力矩为零,10,例4,圆锥摆如图，摆线长,l,，,小球质量,m,，,取悬挂点,O,为参考点，,求摆球所受力矩和摆球角动量。,摆球受张力和重力,张力对,O,点力矩为零,摆球所受力矩,摆球角动量,方向如图,选,另一参考点,11,例,5,z,导出单摆的摆动方程,力矩和角动量都只有,z,轴分量,采用小角度近似,利用角动量定理,12,例6,O,A,小球绕,O,作圆周运动，如图所示。,（1）求,B,端所受竖直向下的外力,T,0,（2）,T,0,极缓慢增到 2,T,0,，,求,v,（3）,用功的定义式求拉力所作的功。,B,分析物理过程,以,O,为参考点，力矩为零，角动量守恒。,T,0,极缓慢增大,，,径向速度可略，中间过程近似为圆周运动。,13,O,A,B,解,（1）,（2）,角动量守恒,圆周运动,14,（3）拉动过程中，小球作螺旋线运动,它恰好等于小球的动能增量,15,1.,2,质点系角动量定理 角动量守恒定律,在惯性系,S,中，质点系相对,O,点的角动量,L,质点系角动量定理,：,质点系各质点所受外力相对同一参考点的力矩之和,等于质点系相对于该参考点角动量随时间的变化率。,16,质点系角动量守恒定律,若过程中,M,外,恒为零，则过程中,L,为守恒量。,若过程中,M,外,x,（,或,M,外,y,，,M,外,z,）,恒为零，,则过程中,L,x,（,或,L,y,，,或,L,z,）,为守恒量。,非惯性系中,质点系的角动量定理,17,例7,l,l,h,质量可略、长2,l,的跷跷板,静坐着两少年，左重右轻，,左端少年用脚蹬地，,获得顺时针方向角速度,0,。,求,0,至少多大时，右端少年可着地？,O,力矩,系统角动量,18,角动量定理,积分,此即机械能守恒,19,例8,水平大圆盘绕中心竖直轴,以角速度,旋转，质量,m,的,小球从中心出发，沿阿基米德螺,线运动，角动量,L,守恒。,试求小球所受真实力的,横向分量和径向分量。,阿基米德螺线,O,角动量,L,守恒,20,圆盘系中小球所受合力,合力的横向分量,合力的径向分量,角动量,L,守恒，横向力为零,径向力应合成,ma,r,21,1.3 外力矩 重心 对称球的外引力分布中心,外力矩是质点系角动量变化的原因,合力为零的外力矩,质点系所受外力的合力为零时，外力矩与参考点无关。,O,22,一对力偶,大小相同、方向相反且不在同一直线上的两个力,力偶的力矩不依赖于参考点的选择,1,2,23,重心,位于,r,G,的几何点称为质点系的重心,质量均匀分布，几何结构具有对称性的物体，重心位于其几何中心,24,质点系各质点重力的冲量和等于质点系重力的冲量,质点系各质点重力作功之和,等于质点系重力作用于重心处所作的功,重力势能,重力的力矩,重心是质点系重力分布中心,猫的空中转体,25,对称球的外引力分布中心,P,球心是对称球的外引力分布中心,26,例,9,质量,M,的均匀麦管放在光滑桌面上，一半在桌面外。,质量,m,的小虫停在左端，而后爬到右端。随即另一小虫,轻轻地落在该端，麦管并未倾倒，试求第二个小虫的质量。,麦管长,L,，,小虫相对麦管速度,u,，,麦管相对桌面左行速度,v,系统动量守恒,麦管移入桌面长度,27,分两种情况讨论：,（1）,麦管全部进入桌面，第二个小虫可取任何值。,（2）,麦管和二个小虫相对桌边的重力矩应该满足,28,2 对称性与守恒律,2.1 对称性,29,德国数学家魏尔（,H.Weyl）,对称性：系统在某种变换下具有的不变性。,例,左右对称，,上下对称，,也称镜面对称,30,空间变换对称性,x,O,z,y,系统相对点、线、面的变换,31,镜面反演对称性,镜面反演：对平面直角坐标系，,仅取,x,到-,x,（,或,y,到-,y,，,或,z,到-,z,）,的变换。,一个系统若在镜面反演变换下保持不变，,则称这一系统具有镜面反演对称性。,32,33,空间平移对称性,系统在空间平移，即在,变换下具有的不变性。,34,轴转动对称性（轴对称性）,系统在绕着某直线轴作任意角度旋转的变换下,具有的不变性。,35,空间反演对称性（点对称性）,系统在空间反演，即在,变换下具有的不变性。,36,点转动对称性（球对称性）,系统在绕着某点作任意旋转的变换下,具有的不变性。,R,R,电场强度,半径,均匀带电球体相对球心具有球对称性，,它的空间场强分布也具有此种对称性。,37,时间变换对称性,一维的时间只能改变方向和平移，,所以只有两种变换：,时间反演对称性,时间平移对称性,38,时间反演对称性,时间反演即时间倒流,O,过去,未来,过去,未来,1,2,39,牛顿第二定律具有时间反演对称性,经典力学中，与牛顿第二定律平行的是力的结构性定律,胡克定律、引力定律、库仑定律具有时间反演对称性,阻尼性作用定律给出的空气阻力、摩擦力等,不具有时间反演对称性,时间倒流在真实世界是不可能发生的,40,时间平移对称性,系统在时间平移，即在,变换下具有的不变性。,牛顿第二定律和力的结构性定律都具有时间平移对称性,自然界中除了与时空变换有关的对称性以外，,还有其它的对称性，物理学的后续课程中将会讨论。,41,2,.2,对称性原理,42,法国物理学家皮埃尔.居里（,Pierre.Curie）,在1894年指出,对称性原理,因中若有某种对称性，,果中也有此种对称性，,因果间的这种对称性是普遍存在的。,43,2,.3,对称性与守恒律,Emmy Noether(1882-1935),诺特,最伟大的女数学家,44,诺特定理,：,论证了对称性与守恒律之间存在的普遍联系,连续变换的对称性都对应一条守恒定律,时间平移对称性,能量守恒定律,空间转动对称性,角动量守恒定律,空间平移对称性,动量守恒定律,45,小结,牛顿定律,惯性系,非惯性系,质点,质点系,我们周围的世界,46,3 天体运动,太阳系中太阳是质量最大的天体，行星中质量最大的木星,太阳近似处理成不动的质点，行星运动由太阳引力支配。,卫星距大行星很近，围绕着行星的运动由行星引力支配。,47,3,.,1,天体运动,天体运动的开普勒三定律,第一定律（轨道定律）：行星围绕太阳的运动轨道为椭圆,，,太阳在椭圆的一个焦点上。,第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等的时间内,扫过相等的面积。,第三定律（周期定律）：各行星椭圆轨道半长轴,A,的三次方,与轨道运动周期,T,的二次方之比值,为相同的常量，即,48,牛顿力学结合万有引力定律,推导天体运动的开普勒三定律,极坐标系,角动量守恒,能量守恒,49,太阳质量记为,M,，,待考察的行星质量记为,m,，,某时刻,M,至,m,的径矢,r,和,m,的速度,v,。,建立极坐标系,在径矢,r,和速度,v,确定的平面上，,建立以,M,为原点的极坐标系。,50,利用角动量,L,和能量,E,守恒,首先可得到角向速度和径向速度,51,行星轨道,方案1：参数方程,方案2：轨道方程,52,确定轨道方程,引入参量,53,作变量代换,积分后可得,总可选取,54,行星的轨道方程,这是太阳位于焦点的圆锥曲线,55,三种可能的轨道：,都与行星质量无关,行星的轨道方程,56,大行星受太阳引力束缚，,E,0，,轨道是椭圆,M,m,椭圆偏心率,时，为圆轨道。,57,例10,太阳质量,M，,行星椭圆轨道半长轴,A、,半短轴,B。,行星的轨道运动周期,T，,试导出开普勒第三定律。,M,m,1,2,选择长轴的两点：近日点 1和远日点 2，,速度与径矢垂直的唯一的两点。,58,机械能守恒,角动量守恒,面积速度,行星的轨道运动周期,开普勒第三定律,59,解法二,轨道1处的曲率半径,牛顿第二定律,面积速度,行星的轨道运动周期,开普勒第三定律,60,例11,对于太阳和某个行星构成的两体引力系统，若考,虑到引力对太阳的影响，开普勒三定律将作哪些修正？,引入约化质量和行星相对太阳的加速度,将引力公式代入,61,上式可改写为,除了将太阳质量,M,换成,M+,m,以外，所有结果保持不变。,开普勒第一、第二定律不依赖于太阳质量，保持不变。,开普勒第三定律依赖太阳质量，严格意义下不再成立。,即使是行星中质量最大的木星,确实是小到可以忽略,62,例12,计算,第一、第二、第三宇宙速度,略去地球大气层的影响,地球半径,地球轨道半径,太阳质量,地表重力加速度,63,第一宇宙速度：在地球引力作用下，贴近地面沿圆轨道,运动的飞行器速度,v,1,。,飞行器质量,m,64,第,二,宇宙速度：从地面向上发射太空飞行器，,为使它能远离地球而去的最小发射速度,v,2,。,地球质量,M,E,65,第,三,宇宙速度：从地面向上发射太空飞行器，为使它能,相继脱离地球和太阳的引力束缚远离太,阳系而去的最小发射速度,v,3,。,相对地球的最小发射速度,v,3,需沿着地球轨道的运动方向。,地球轨道速度,在地心参考系中，飞行器距地球足够远时，它相对于地球,从,v,3,降为,（1）,66,转到太阳系，飞行器相对太阳的速度为,（2）,为使飞行器恰好能脱离太阳的引力束缚，要求,（3）,67,例13,通过天文观测，发现存在行星椭圆轨道，假设质,点间的万有引力大小与距离,r,的关系为,试就下面两种情况分别确定,（1）太阳在椭圆轨道的一个焦点上；,（2）太阳在椭圆的中心,M,m,1,2,68,M,m,1,2,面积速度不变,对于椭圆,从开普勒第一、第二定律，导出了引力的平方反比律,（1）,69,（2）,M,m,1,2,3,对于1、3两处,对于椭圆,引力具有弹性力的特点,70,3,.,2,有心力场中质点的,运动,存在有心力的空间称为有心力场，以力心为坐标原点，,在有心力场中质点所受力可表述成：,71,有心力场中，质点初速度沿径向或为零时，,运动轨道是直线。,对于吸引性有心力场，,质点初速度沿角向并满足,运动轨道是圆。,一般情况下，质点的运动轨道都是平面曲线，,这一平面由质点初位矢和初速度确定。,72,有心力场中，在由质点初位矢和初速度确定的平面上，,以力心为坐标原点，建立极坐标系。,系统的角动量和机械能都是守恒量：,角向和径向速度,73,为获得,r-t,，,这是关于,r-t,的一阶微分方程，原则上可解出,r-t,关系。,轨道微分方程,给定,V,(,r,)，,积分上式，得轨道方程：,74,对,r-t,关系的定性讨论,了解,r,随,t,的变化范围，确定轨道是有限的，还是无穷的。,取随质点径矢一起变速转动的非惯性系,质点的惯性离心力,此力是保守力，取无穷远点为势能零点，它的离心势能,能量守恒式中与角动量有关的动能项可理解为离心势能。,质点的一维运动,75,引入等效势能,径向能量守恒方程,利用此式就可以讨论,r,随,t,的变化,有心力与离心力的合力,等效势能的极值点对应质点所受径向合力为零的点。,若此时质点的径向动能为零，即,则质点作圆周运动。,76,径向加速度使,质点始终有,径向朝外的运动趋势，,直至无穷远，故,质点运动轨道必定是无限的。,有心力是排斥性的,从受力的角度分析,从能量的角度分析,排斥性的有心力势能,V,(,r,),为正，随,r,的增大而减小。,离心势能,质点,的能量是守恒量，且有限，它的运动范围只能是,无穷远,有限远,77,有心力是,吸引,性的,吸引性的有心力的一般形式,取不同值对应不同的吸引性的有心力，,对应的势能的一般形式为,78,有心力具有胡克力的性质,其它则轨道为椭圆,79,80,有心力如引力和库仑力,其它情况,81,82,Bertrand,定理：只当有心力为平方反比力或,Hooke,力时，,粒子的所有束缚运动轨道才是闭合的。,83,Bertrand,定理的证明,能量,E,守恒,角动量,L,守恒,引入变量,84,