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立体几何所有公式,定理,公立,结论及其几何表示（全面版）资料
第九章 直线、平面、简单几何体
空间的直线与平面
一．平面的基本性质：
知识点
图形表示
文字描述
符号表达
平行公理
.
过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。
过A有且只有一条直线b，使得
公理1

如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

公理2

---------------
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，这些公共点的集合是一条直线。

公理3
．
　　．　．
经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面。
不共线三点确定一个平面
公理4

平行于同一条直线的的两条直线互相平行。

推论1
．
经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面
直线和直线外一点确定一个平面
推论2

经过两条相交直线有且只有一个平面
两相交直线确定一个平面
推论3

经过两条平行直线有且只有一个平面
两平行直线确定一个平面
空间图形的直观图画法

斜二测画法

等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
和中，边BA//FE且方向相同，边BC//FG且方向相同，则
=
异面直线的定义

不同在任何一个平面的内的两条直线叫做异面直线。

异面直线的判定定理

连结平面内与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
；
是异面直线
异面直线所成的角

a与b是异面直线，a’//b’，且a’与b’相交，则a’与b’的夹角就是a与b异面直线所成的角。

二．平行： 线面平行
（一）三者之间的互相转化： “线线平行 面面平行”
线面平行的判定定理

如果不在同一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平行平行。

线面平行的性质定理

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

面面平行的判定定理

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另外一个平面，那么这两个平面平行。
;
且
面面平行的判定定理的推论

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
;
且;
且，
面面平行的性质定理

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

面面平行的性质

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面

（二）平行中的“存在性 与 唯一性”

过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条。

过平面外一点作该平面的平行平面有且只有一条。

过异面直线中的一条作另一条直线的平行平面有且只有一个。

分别过两条异面直线中的一条作另一条的平行平面，那么这两个平行平面是存在且唯一的。

（三）平行传递性：

平行于同一直线的两直线平行。

平行于同一平面的两平面平行。

一条直线与一平面同时平行于另一平面，则该直线与另一平面平行或在另一平面内。

若一直线与一平面同时平行与另一直线,则另一直线与该平面平行或在该平面内。

第十九讲平面几何中的几个著名定理

几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理．

1．梅内劳斯定理

亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年，他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理．
定理 一直线与△ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则

证 过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q，P，S，见图3－98．由△AXQ∽△BXP得

同理

将这三式相乘，得

说明 (1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为
AX×BY×CZ=XB×YC×ZA，
仍然成立．
(2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y，如果

那么X，Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线．
例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线．
证如图3－99有

相乘后得

由梅内劳斯定理的逆定理得F，D，E共线．

例2(戴沙格定理) 在△ABC和△A′B′C′中，若AA′，BB′，CC′相交于一点S，则AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′的交点F，D，E共线．

证 如图3－100，直线FA′B′截△SAB，由梅内劳斯定理有

同理，直线EC′A′和DC′B′分别截△SAC和△SBC，得

将这三式相乘得

所以D，E，F共线．

2．塞瓦定理

意大利数学家塞瓦(G．Ceva)在1678年发表了下面的十分有用的定理，它是证明共点线的重要定理．
定理 在△ABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA，AB相交于D，E，F，则

证 如图3－101，过B，C分别作直线AP的垂线，设垂足为H和K，则

由于△BHD∽△CKD，所以

同理可证

将这三式相乘得

说明 (1)如果P点在△ABC外，同样可证得上述结论，但P点不能在直线AB，BC，CA上，否则，定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时，定理的结论应改为
BD×CE×AF=DC×EA×FB，
仍然成立．
(2)塞瓦定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果

那么直线AD，BE，CF相交于同一点．”

证 如图3－102，设AD和BE相交于P，作直线CP，交直线AB于F′，由塞瓦定理得

所以 F′B=FB，
即F′与F重合，所以AD，BE，CF相交于同一点．
塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点．
例3 求证：三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一点．
证 (1)如果D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，则

由塞瓦定理的逆定理得中线AD，BE，CF共点．
(2)如果D，E，F分别是△ABC的内角平分线AD，BE，CF与边BC，CA，AB的交点，则

由塞瓦定理的逆定理得角平分线AD，BE，CF共点．
(3)设D，E，F分别是△ABC的高AD，BE，CF的垂足．

(i)当△ABC是锐角三角形时(如图3－103)，D，E，F分别在BC，CA，AB上，有
BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosc，
EA=ccosA，AF=bcosA，FB=acosB，
所以

由塞瓦定理的逆定理得高AD，BE，CF共点．
(ii)当△ABC是钝角三角形时，有
BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosC，
EA=ccos(180°-A)=-ccosA，
AF=bcos(180°-A)=-bcosA,
FB=acosB，
所以

由塞瓦定理的逆定理，得高AD，BE，CF共点．
(iii)当△ABC是直角三角形时，高AD，BE，CF都经过直角顶点，所以它们共点．
例4 在三角形ABC的边上向外作正方形，A1，B1，C1是正方形的边BC，CA，AB的对边的中点，证明：直线AA1，BB1，CC1相交于一点．

证 如图3－104．设直线AA1，BB1，CC1与边BC，CA，AB的交点分别为A2，B2，C2，那么BA2：A2C等于从点B和C到边AA1的垂线的长度之比，即

其中∠θ=∠CBA1=∠BCA1．同理

将上述三式相乘得

根据塞瓦定理的逆定理，得AA1，BB1，CC1共点．

3．斯台沃特定理

定理 △ABC的边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v，AD=t，则

证 过A作AE⊥BC，E为垂足(如图3－105)，设DE=x，则有
AE2=b2-(v-x)2=c2-(u+x)2=t2-x2，
(若E在BC的延长线上，则v-x换成x-v．)于是得

消去x得
(u+v)2=b2u+c2v-uv(u+v)，

这就是中线长公式．
(2)当AD是△ABC的内角平分线时，由三角形的内角平分线的性质

设a+b+c=2p，得

这就是内角平分线长公式．
(3)当AD是△ABC的高时，
AD2=b2-u2=c2-v2．
再由u+v=a，解得

所以

若设AD=ha，则

这就是三角形的高线长公式．当D在BC的延长线上时，用-v代替v，同样可得高线长线公式．

这就是三角形的面积公式．

伦公式

例5 如图3－106．在△ABC中，c＞b，AD是△ABC的角平分线，E在BC上，BE=CD．求证：
AE2-AD2=(c-b)2．
证 为方便起见，设BD=u，DC=v，则BE=v，EC=u．由斯台沃特定理得

所以

因为AD是角平分线，所以

于是

4．托勒密定理

托勒密(Ptolemy，约公元85～165年)是古代天文学的集大成者．一般几何教科书中的“托勒密定理”(圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积)，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．
定理 如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积．

证 设四边形ABCD有外接圆O，AC和BD相交于P，∠CPD=α(图3－107)．若四边形ABCD的四边都相等，则四边形ABCD为圆内接菱形，即正方形，结论显然成立．若四边不全相等，不失一般性，设

∥BD，于是△ABD≌△EDB，从而AD=BE．

又

而 S四边形ABCD=S四边形BCDE，
所以

即
(AD×BC+AB×CD)sin∠EBC=AC×BD×sinα．
由于
∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC，
所以
AD×BC+AB×CD=AC×BD．
说明 (1)托勒密定理可以作如下推广：“在凸四边形ABCD中，
AB×CD+AD×BC≥AC×BD．
当且仅当四边形ABCD是圆内接四边形时，等号成立．”
由此可知，托勒密定理的逆定理也成立．
(2)托勒密定理的证明方法很多，这里采用的是面积证法．还可采用相似三角形或余弦定理证明，请读者自行完成．

例6 如图3－108．过A的圆截平行四边形ABCD的边和对角线分别于P，Q，R，求证：
AP×AB+AQ×AD=AR×AC．
证 连结PQ，PR，QR．在圆内接四边形APRQ中，由托勒密定理得
AP×QR+AQ×PR=AR×PQ．
又因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以△PQR∽△CAB，于是

设上面的比值为k，并考虑到BC=AD，有
QR=k·AB，PR=k·AD，PQ=k·CA，于是可推得
AP×AB+AQ×AD=AR×AC．

例7 如图3－109．等边△ABC内接于△XYZ，A在YZ上，B在ZX上，C在XY上，证明：

证 对四边形ABXC运用托勒密定理，得
AX·BC≤BX·AC+XC·AB，
所以
AX≤BX+XC．
同样地
BY≤CY+YA，CZ≤AZ+ZB．
将上述三式相加就得所要证明的不等式．
等号成立的充分必要条件是X，Y，Z在△ABC的外接圆上，但∠ZBX，∠XCY，∠YAZ都等于π，因此等号成立只能是X，Y，Z分别与C，A，B重合的情况．
平面几何中的著名定理，除了上述所介绍的梅内劳斯定理、塞瓦定理、斯台沃特定理、托勒密定理外，还有斯泰纳-莱默斯定理、西姆松定理、蝴蝶定理、莫莱定理等等．这里，限于篇幅，因此不作讨论．

练习十九

1．已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D．求证：D，E，F共线．
2．过△ABC的三个顶点A，B，C分别作△ABC的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB的延长线交于D，E，F．求证：D，E，F三点共线．
3．在△ABC的边BC上任取一点D，设∠ADB和∠ADC的角平分线分别交AB，AC于F和E．求证：AD，BE，CF相交于同一点．
4．在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥BD，DC=3，BC=7，DA=8，求AB，BD和AC的长．

PA(PA+PC)=PB(PB+PD)．
6．设P是等边三角形ABC所在平面上的任意一点，那么根据P落

PC+PA=PB或PC+PA＞PB．

奥林匹克与自主招生 《第五讲 平面几何的著名定理》 主编：贾广素 有 DAMN ∽ DACB ，得 AM AC b AN AB c = = , = = . MN CB a MN CB a A 1 1 1 又 MN × AP ³ S DAMN = S DAMP + SDANP = AM × z + AN × y, 2 2 2 得 PA ³ z × AM AN b c + y× = z× + y× MN MN a a 1 ○ 2 ○ 3 ○ B M c a 同理 PB ³ x × + z × , b b a b PC ³ y × + x × c c P N C b c a c b a 相加 PA + PB + PC ³ ( + x + ( + y + ( + z ³ 2( x + y + z . c b c a a b 4 ○ 4 取等号 Û a = b = c, ○ 1 取等号 Û AP ^ MN . 其中○ 习题五 一．选择题 1. 在 四 边 形 A1 A2 A3 A4 的 对 角 线 A1 A3 的 延 长 线 上 取 一 点 C ， 过 C 作 两 条 直 线 分 别 与 A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 , A4 A1 交于点 B1 , B2 , B3 , B4 ， 记M = A1 B1 A2 B2 A3 B3 A4 B4 × × × ， 则 M 的值适合 （ B1 A2 B2 A3 B3 A3 B4 A1 ） （A） M > 1 A1 （B） M = 1 （C） M < 1 （D）不能确定 A B4 B1 B3 A3 C B A4 a a¢ A2 B2 b b¢ P g¢ 第二题图 g C 第一题图 2. 如图所示，在不等式 DABC 内取一点 P （不是内心） ，连接 PA, PB, PC ，把角 A, B, C 分为 a , a ¢ ，b , b ¢ ，g , g ¢ 。 记 M = sin a sin b sin g ，N = sin a ¢ sin b ¢ sin g ¢ ， 则 M , N 的关系适合 （ （A） M > N （B） M < N （C） M = N （D）不能确定 ） 记 M = AB × CD + BC × AD, N = AC × BD 则 M , N 的关 3.若 A, B, C , D 为一直线上依次排列的四点， 系适合（ ） （B） M = N （C） M < N （D）不能确定 ） （A） M > N 4.已知 P 为矩形 ABCD 内任一点，记 M = PA2 + PC2 , N = PB2 + PD2 ，则 M , N 的关系适合（ （A） M > N （B） M = N （C） M < N 57 （D）不能确定
奥林匹克与自主招生 《第五讲 平面几何的著名定理》 主编：贾广素 二．填空题 1.如图所示，有 AB DF DE = = 2, 则 = BC FB EC . D E F A B C B F A E D C 第一题图 第二题图 2. DABC 的三个旁切圆分别与边 BC , CA, AB 相切于 D, E , F ，则 AF BD CE × × = FB DC EA . m. 3.已知三角形的 3 边长之比为 9 :10 :17 ， 它的面积是 144m 2 ， 则三角形的最长边为 4.在边长为 AB = 5, BC = 4, CA = 3 的三角形中，角 A 的平分线的长为 . 三． （三角形的 Euler 线） DABC 的重心 G，垂心 H 和外心 O 共线，并且 GH=2GO. 四． （首届东南地区奥林匹克）设 D 是 DABC 的边 BC 上的一点，点 P 在线段 AD 上，过点 D 作一直线分别与线段 AB、PB 交于点 M、E，与线段 AC、PC 的延长线交于点 F、N。如 果 DE=DF，求证：DM=DN 五．(2006 年浙江集训试题如图，已知△ABC 的外角∠EAC 的平分线 与△ABC 的外接圆交于点 D，以 CD 为直径的圆分别交 BC，CA 于点 P、Q，求证：线段 PQ 平分△ABC 的周长。 A Q E D B P E C 六．如图，四边形 ABCD 内接于圆，AB，DC 延长线交于 E，AD、 BC 延长线交于 F， P 为圆上任意一点， PE， PF 分别交圆于 R， S. 若 对角线 AC 与 BD 相交于 T. 求证：R，T，S 三点共线。 B R C T D P S F A 58

空间点、直线、平面之间的位置关系

一．基础知识：

1.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线。（此定理常用来判断空间三线共点。）

公理3：不共线的3点确定一个平面。
推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面。
推论2：两条相交直线确定一个平面
推论3：两条平行直线确定一个平面

2. 平行公理：平行于同一直线的两直线互相平行，它反应了平行线的传递性。注意：相交线和异面直线没有传递性。
3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。当一边平行且方向相同而另一边的方向相反时，这两个角互补。可推广到空间：如果一个二面角的两个半平面和另一个二面角的两个半平面分别平行并且方向相同，那么这两个二面角相等。当一个半平面平行且方向相同而另一个半平面的方向相反时，这两个二面角互补。
但注意：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补。不可推广到空间：如果一个二面角的两个半平面和另一个二面角的两个半平面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补。

4、空间直线的位置关系：（1）相交直线：有且只有一个公共点。（2）平行直线：在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线：不在任何一个平面内，也没有公共点。两条异面直线的作图，常借助于辅助平面。
异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
异面直线所成的角（或夹角）的定义与求法：直线a,b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线aˊ／／a , b＇／／b,相交直线a＇，b＇所成的锐角（直角）叫异面直线a,b所成的角∈，求异面直线的夹角常用平移法和向量法。
5.异面直线上两点的距离公式：已知两条异面直线a,b所成的角为，在a,b上分别取点E，F，已知AB为公垂线段，长度为d,BE＝m,AF=n,EF=l则l＝（同侧为减，异侧为加）
5、直线与平面的位置关系：1）直线在平面内,　2）直线与平面相交，　3）直线与平面平行,　其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。
6. 直线与平面平行：
（1）直线与平面平行定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行。
（2）直线与平面平行的判定：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行。简称为“线线平行，则线面平行。”
判定直线与平面平行的方法还有：1）2）
（3）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交，交线和这条直线平行，简称为“线面平行，则线线平行”。
7. 直线与平面垂直：
（1）直线与平面垂直的定义：
如果一条直线和平平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。公理：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。

（2）.直线和平面垂直的判定：1）一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。2）两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。

（3）直线和平面垂直的性质定理： 1）如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。2）如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
8、平面与平面的位置关系：1）平行平面：没有公共点，2）相交平面：有且只有一条公共直线。两个平面的公共点都在同一条直线上。
9两个平面平行：
（1）两个平面平行的判定：1)一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。简称为“线面平行，则面面平行”，2)推论：如果平面内一个有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线平行，那么这两个平面平行。3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
（2）两个平面平行的性质定理：1)如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
2)两个平行平面之间的距离处处相等，夹在两个平行平面之间的平行线段也相等。
3)如果两个平面平行，那么一个平面内的所有直线都平行于另一个平面。

10.两个平面垂直:
(1)两个平面垂直定义：如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直。
（2）两个平面垂直的判定：1)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。2）定义法（直二面角）
（3）两个平面垂直的性质定理：1)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。2)如果两个平面垂直，那么从一个平面内一点作另一个平面的垂线必在第一个平面内。
11、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。　三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
12、直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。特别当一条直线和平面垂直时，就说直线与平面所成的角是直角，当一条直线在平面内或和这个平面平行时，我们规定直线和平面所成的角为0°，所以直线和平面所成的角的范围是
利用法向量可处理线面角问题
设 为直线与平面所成的角，为直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角，则有（图1）或（图2）
图1 　　　　　　　　　　　　　　 图2

12、最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。设AB是平面ａ的一条斜线，A为斜足，直线m是平面ａ内任一直线，AB′是AB在平面ａ内的射影。为AB和m所成的角，为AB和射影所成的角，射影AB′和m所成的角，则cos=coscos

重要应用：空间两条异面直线L1与L2所成的角为≠，过空间一定点P作直线L与L1，L2所成的角都是，这样的直线L可作多少条？
分析：（1）若∈（0，/2），则这样的直线L有0条
（2）若＝/2，则这样的直线有1条
（3）若∈（/2，），则这样的直线L有2条
（4）若＝，则这样的直线L有3条
（5）若∈（，），则这样的直线L有4条
（6）若＝，则这样的直线L有1条
13、二面角：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，
每个半平面叫做二面角的面，棱为l，两个面分别为，的二面角记为-l-,
一个平面垂直于二面角-l-的棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA，OB，O为垂足，则∠AOB叫做二面角-l-,的平面角。
一个二面角的大小可用它的平面角的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］
14.计算二面角的方法：（1）定义法(常根据三垂线定理先作平面角即自二面角的一个面上一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线，，再解直角三角形)。
(2)三垂线法
（3）垂面法
（4）射影面积法
（5）利用法向量可处理二面角问题
设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量
的夹角为，则有（图3）或 （图4）

图3 图4
15.小结：
①证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
②证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
③证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
④证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
⑤证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
⑥证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.

立体几何第一章复习总结
一． 平面的基本性质及图示
基本性质
作用
图示
公理1：
判断线在面内的依据

公理2：
判断两个平面相交的依据；证明点在线上的依据

公理3：
确定一个平面的依据

推论1：
确定一个平面的依据

推论2
确定一个平面的依据

推论3：
确定一个平面的依据

二． 空间两直线的位置关系
位置关系
图示
表示方法
交点个数
两
直
线
共
面
相交直线：

平行直线：

异面直线：两直线不同在任何一个平面内（定义）

（异面直线的判定方法）

四． 空间两平面的位置关系
位置关系
图示
表示方法
交点个数
两
平面
相交
斜交：

垂直相交：
（定义）

┴，

两平面平行：
（定义）

三． 空间直线和平面的位置关系
位置关系
图示
表示方法
交点个数
直线在平面内（）

直线
不在
平面
内
（）
直
线
与
平
面
相
交
直线与平面斜交

直线与平面垂直

⊥

直线与平面平行

五． 空间两条直线平行的判定方法
名称
图形
条件 结论
判定方法（文字叙述）
平行线的定义

与
无公共点
在同一平面内，没有公共点
线面平行的
性质定理

线面垂直的
性质定理

⊥
⊥

面面平行的
性质定理

公理4

平行于同一条直线的两条直线互相平行
六． 空间直线与平面平行的判定方法
名称
图形
条件 结论
判定方法（文字叙述）
线面平行的定义

与
无公共点

线面平行的判定定理

面面平行的性质

课本46页11题
（在大题中用时，
需证明）

⊥
⊥

七． 空间两平面平行的判定方法
名称
图形
条件 结论
判定方法（文字叙述）
面面平行的定义

与
无公共点

面面平行的判定定理

课本35页例1

⊥⊥
垂直于同一直线的两个平面平行
补充（大题中用时应证明）

平行于同一平面的两个平面平行
八． 空间两条直线垂直的判定方法
名称
图形
条件 结论
判定方法（文字叙述）
空间两条直线垂直的定义
异面

是异面直线 ⊥

与所成角是

相交

⊥
∠

三垂线定理

⊥
⊥
⊥

三垂线定理的逆定理

⊥
⊥
⊥

线面垂直的定义
（逆）
⊥ ⊥

课本46页10（2）
（大题中用时需证明）

三个两两垂直的平面的交线垂直。
九． 空间直线与平面垂直的判定方法
名称
图形
条件 结论
判定方法（文字叙述）
线面垂直的定义

⊥， ⊥
（为任意的）

线面垂直的判定定理

⊥
⊥⊥

面面垂直的性质定理

⊥， ⊥
⊥

线面垂直的性质

⊥， ⊥

面面平行的性质

⊥
⊥

课本46 页9题

（大题中用时需证明）
十． 空间两平面垂直的判定方法
名称
图形
条件 结论
判定方法（文字叙述）
面面垂直的定义

二面角 ⊥
是直二面角

面面垂直的判定定理

⊥⊥

课本46页8题
（大题中用时需证明）

⊥， ⊥

十一、空间角和距离的概念

平面图形
空间图形
异面直线
直线和平面
两个平面
夹角
图示

定
义

异面直线所成的角：
直线与平面所成的角：
二面角的平面角：
范围

距离图示

定义
两平行直线间的距离：
异面直线间的距离：
平行直线和平面的距离：
平行平面间距离：