六级奥数表面积和体积计算题.doc

六级奥数表面积和体积计算题正式版

表面积与体积练习和答案

专题简析：小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：
（1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。
（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。
（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。

例1.从一个棱长为10里面的正方体上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？
【思路导航】这是一道开放题，方法有多种：
1) 沿一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。
2) 在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。
3) 挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。

练习1.
1.把一个长为12分米、宽为6分米、高为9分米的长方体木块锯成两个相同的小长方体木块，这两个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方米？
2.在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面机会发生怎样的变化？

例2.把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。
【思路导航】要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形。

练习2：
1、用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。求这个立体图形的表面积。

2、一堆积木（如图27-7所示），是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。它们的表面积是多少平方厘米？

3、一个正方体的表面积是384平方厘米，把这个正方体平均分割成64个相等的小正方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米？

例3.把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同的长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？
【思路导航】把两个相同长方体拼成一个大长方体，需要把两个相同面拼合，所得大长方体的边面积就是减少了两个拼合面的面积。要是大长方体的表面积最小，就必须使两个品河面的面积最大，即减少两个9×7的面。
（9×9+9×4+7×4）×2×2—9×7×2
=（63+36+28）×4—126
=508—126
=382（平方厘米）
答：这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米。
练习3：
1、把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？
2、将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少。
3、用6块（如图所示）长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其中表面积最小的是多少平方厘米？

例题4：一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。
我们知道：体积=长×宽×高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高=40÷2=20（平方厘米）；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长×高=90÷3=30（平方厘米）；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长×宽=96÷4=24（平方厘米）。而长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2=（20+30+24）×2=148（平方厘米）。即
40÷2=20（平方厘米）；90÷3=30（平方厘米）；96÷4=24（平方厘米）
（30+20+24）×2=74×2=148（平方厘米）
答：原长方体的表面积是148平方厘米。

练习4：
1、一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米，则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。原来厂房体的表面积是多少平方厘米？
2、一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了120平方厘米。原来厂房体的体积是多少立方厘米？
3、有一个厂房体，它的正面和上面的面积之和是209。如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？

例题5：如图27-10所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。

如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。
3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1
=3.14×（4.5+3+2+1）
=3.14×10.5
=32.97（平方米）
答：这个物体的表面积是32.97平方米。

练习5：
1、一个棱长为40厘米的正方体零件（如图27-11所示）的上、下两个面上，各有一个直径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米。求这个零件的表面积。
2、用铁皮做一个如图27-12所示的工件（单位：厘米），需用铁皮多少平方厘米？
3、如图27-13所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该立方体的表面积和体积（∏取3.14）。

答案：
练1
切下一块后，切口处的表面减少了前、后、上面3个1×1的正方形，新增加了左右下面三个1×1的正方形，所以表面积大小不变。
4×4×6－2×2×2＝92平方厘米
中心挖去的洞的体积是：12×3×3－13×2＝7立方厘米，挖洞后木块的体积：33－7＝20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面积是12×4－12＝3平方厘米，挖洞后木块的表面积：（32+3）×6＝72平方厘米。
练2
（1×1×12+1×1×8+1×1×7）×2＝54平方厘米
（2×2×9+2×2×9+2×2×7）×2＝200平方厘米
因为64＝4×4×4，所以大正方形的棱长等于小正方形棱长的4被，那么大正方体的表面积是小正方体的4×4＝16倍，小正方体的表面积是：384÷16＝24平方厘米
练3
将正方体分为两个长方体，表面积就增加了2个30÷6＝15平方厘米，拼成大正方体，表面积将减少两个拼合面的面积，正好是1个30÷6＝15平方厘米，所以大长方体的表面积是30+30+6＝35平方厘米。
要是表面积最小，就要尽可能地把大的面拼合在一起。表面积最小的拼法有如图答27－2两种：表面积都是（3×3+3×4×2）×2＝66平方厘米。
设大长方体的宽和高为x分米，长为2x分米，左面和右面的面积就是x2平方分米。其余的面积为2x2平方分米，根据题意，大长方体的表面积是：8x2+8×2x2＝600 x＝5
大长方体的体积是：5×5×2×5＝250立方分米
练4
1、（48÷2+65÷5+96÷4）×2＝122平方厘米
2、减少的表面积实质是高度分别为2厘米和3厘米的前、后、左、右四个面的面积之和。把两个合并起来，用120÷（2+3）＝24厘米，求到正方体底面的周长，正方体的棱长就是24÷4＝6厘米。圆长方体的体积是：6×6×（6+3+2）＝396立方厘米
3、长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长×（宽+高），209＝11×19，所以长＝11，宽+高＝19，或长＝19，宽+高＝11，根据题意，宽和高只能是17和2，长方体的体积就是11×17×2＝374
练5
402×6+3.14×4×10×2＝9651.2平方厘米
用两个同样的工件可拼成图答27－3的圆柱体。
3.14×15×（46+54）÷2＝2355平方厘米
3、立方体的表面积和是：6×102－42×4－2×3.14×（）2＝510.88平方厘米
打洞后增加的面积是：
3.14×4×（10－4）+4×（10－4）×4×2+42×2－3.14×（）2×2＝274.24平方厘米
表面积是：510.88+274.24＝785.12平方厘米
体积是：103－42×10×2+43－3.14×（）2×（10－4）＝668.64平方厘米

表面积与体积练习和答案

专题简析：小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：
（1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。
（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。
（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。

例1.从一个棱长为10里面的正方体上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？
【思路导航】这是一道开放题，方法有多种：
4) 沿一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。
5) 在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。
6) 挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。

练习1.
1.把一个长为12分米、宽为6分米、高为9分米的长方体木块锯成两个相同的小长方体木块，这两个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方米？
2.在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面机会发生怎样的变化？

例2.把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。
【思路导航】要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形。

练习2：
1、用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。求这个立体图形的表面积。

2、一堆积木（如图27-7所示），是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。它们的表面积是多少平方厘米？

3、一个正方体的表面积是384平方厘米，把这个正方体平均分割成64个相等的小正方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米？

例3.把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同的长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？
【思路导航】把两个相同长方体拼成一个大长方体，需要把两个相同面拼合，所得大长方体的边面积就是减少了两个拼合面的面积。要是大长方体的表面积最小，就必须使两个品河面的面积最大，即减少两个9×7的面。
（9×9+9×4+7×4）×2×2—9×7×2
=（63+36+28）×4—126
=508—126
=382（平方厘米）
答：这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米。
练习3：
1、把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？
2、将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少。
3、用6块（如图所示）长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其中表面积最小的是多少平方厘米？

例题4：一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。
我们知道：体积=长×宽×高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高=40÷2=20（平方厘米）；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长×高=90÷3=30（平方厘米）；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长×宽=96÷4=24（平方厘米）。而长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2=（20+30+24）×2=148（平方厘米）。即
40÷2=20（平方厘米）；90÷3=30（平方厘米）；96÷4=24（平方厘米）
（30+20+24）×2=74×2=148（平方厘米）
答：原长方体的表面积是148平方厘米。

练习4：
1、一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米，则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。原来厂房体的表面积是多少平方厘米？
2、一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了120平方厘米。原来厂房体的体积是多少立方厘米？
3、有一个厂房体，它的正面和上面的面积之和是209。如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？

例题5：如图27-10所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。

如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。
3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1
=3.14×（4.5+3+2+1）
=3.14×10.5
=32.97（平方米）
答：这个物体的表面积是32.97平方米。

练习5：
1、一个棱长为40厘米的正方体零件（如图27-11所示）的上、下两个面上，各有一个直径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米。求这个零件的表面积。
2、用铁皮做一个如图27-12所示的工件（单位：厘米），需用铁皮多少平方厘米？
3、如图27-13所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该立方体的表面积和体积（∏取3.14）。

答案：
练1
切下一块后，切口处的表面减少了前、后、上面3个1×1的正方形，新增加了左右下面三个1×1的正方形，所以表面积大小不变。
4×4×6－2×2×2＝92平方厘米
中心挖去的洞的体积是：12×3×3－13×2＝7立方厘米，挖洞后木块的体积：33－7＝20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面积是12×4－12＝3平方厘米，挖洞后木块的表面积：（32+3）×6＝72平方厘米。
练2
（1×1×12+1×1×8+1×1×7）×2＝54平方厘米
（2×2×9+2×2×9+2×2×7）×2＝200平方厘米
因为64＝4×4×4，所以大正方形的棱长等于小正方形棱长的4被，那么大正方体的表面积是小正方体的4×4＝16倍，小正方体的表面积是：384÷16＝24平方厘米
练3
将正方体分为两个长方体，表面积就增加了2个30÷6＝15平方厘米，拼成大正方体，表面积将减少两个拼合面的面积，正好是1个30÷6＝15平方厘米，所以大长方体的表面积是30+30+6＝35平方厘米。
要是表面积最小，就要尽可能地把大的面拼合在一起。表面积最小的拼法有如图答27－2两种：表面积都是（3×3+3×4×2）×2＝66平方厘米。
设大长方体的宽和高为x分米，长为2x分米，左面和右面的面积就是x2平方分米。其余的面积为2x2平方分米，根据题意，大长方体的表面积是：8x2+8×2x2＝600 x＝5
大长方体的体积是：5×5×2×5＝250立方分米
练4
1、（48÷2+65÷5+96÷4）×2＝122平方厘米
2、减少的表面积实质是高度分别为2厘米和3厘米的前、后、左、右四个面的面积之和。把两个合并起来，用120÷（2+3）＝24厘米，求到正方体底面的周长，正方体的棱长就是24÷4＝6厘米。圆长方体的体积是：6×6×（6+3+2）＝396立方厘米
3、长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长×（宽+高），209＝11×19，所以长＝11，宽+高＝19，或长＝19，宽+高＝11，根据题意，宽和高只能是17和2，长方体的体积就是11×17×2＝374
练5
402×6+3.14×4×10×2＝9651.2平方厘米
用两个同样的工件可拼成图答27－3的圆柱体。
3.14×15×（46+54）÷2＝2355平方厘米
3、立方体的表面积和是：6×102－42×4－2×3.14×（）2＝510.88平方厘米
打洞后增加的面积是：
3.14×4×（10－4）+4×（10－4）×4×2+42×2－3.14×（）2×2＝274.24平方厘米
表面积是：510.88+274.24＝785.12平方厘米
体积是：103－42×10×2+43－3.14×（）2×（10－4）＝668.64平方厘米

多边形计算公式土建工程师计算公式大全
序号
名称
规格
外径
长度
面积
壁厚
重量
总重量
备注
单位（㎜）
单位（m）
单位（㎡）
单位（㎜）
单位（kg）
单位（kg）
1
焊接钢管
DN15
21.3
1
0.067
2.75
1.26
1.258

2
焊接钢管
DN20
26.8
1
0.084
2.75
1.63
1.631

3
焊接钢管
DN25
33.5
1
0.105
3.25
2.42
2.425

4
焊接钢管
DN32
42.3
1
0.133
3.25
3.13
3.130

5
焊接钢管
DN40
48
1
0.151
3.5
3.84
3.841

6
焊接钢管
DN50
60
1
0.189
3.5
4.88
4.877

7
焊接钢管
DN65
75.5
1
0.237
3.75
6.64
6.636

钢管表面积计算表
序号
名称
规格
外径
长度
面积
壁厚
重量
总重量
备注
单位（㎜）
单位（m）
单位（㎡）
单位（㎜）
单位（kg）
单位（kg）
1
无缝钢管
DN50
57
1
0.179
3.500
4.62
4.618

2
无缝钢管
DN70
76
1
0.239
4.00
7.1
7.103

3
无缝钢管
DN80
89
1
0.280
4.00
8.38
8.385

4
无缝钢管
DN100
108
1
0.339
4.00
10.26
10.259

5
无缝钢管
DN125
133
1
0.418
4.00
12.72
12.726

6
无缝钢管
DN150
159
1
0.500
4.50
17.14
17.146

7
无缝钢管
DN200
219
1
0.688
6.00
31.52
31.518

8
无缝钢管
DN250
273
1
0.858
6.50
42.64
42.721

9
无缝钢管
DN300
325
1
0.021
7.50
58.72
58.726

10
无缝钢管
DN350
377
1
1.185
9.00
81.67
81.681