八年级上册同步讲义--专题一全等三角形及三角形全等的判定.doc

八年级上册同步讲义 专题一全等三角形及三角形全等的判定（可编辑）
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专题一 全等三角形及三角形全等的判定

一【选择精炼】
1. 任意一个三角形被一条中线分成两个三角形，则这两个三角形①形状相同，②面积相同，③全等；上述说法正确的有（ B ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

2. 给出下列结论：①两条边分别相等的两个直角三角形全等；②两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；③斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等；④一条直角边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等；⑤两个锐角对应相等的两个直角三角形全等.上述结论正确的有( C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（ B ）
A.40° B.45° C.50° D.60°

4、两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A. 两角和其中一角的对边 B. 两边及夹角
C. 三个角 D. 三条边
5、能使两个直角三角形全等的条件是( )
图1
A. 一锐角对应相等 B. 两锐角对应相等
C.一条边对应相等 D.两直角边对应相等
6、 如图1，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到
玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是( )
A. 带①去　　　 　B. 带②去　　　 C. 带③去　　　 D. ①②③都带去
7、直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（　　）
A．形状相同　 B．周长相等　 C．面积相等 D．全等
8、如图2，，，下列结论错误的是（　　）
A．△ABE≌△ACD　　B．△ABD≌△ACE　　C．∠DAE=40°　　D．∠C=30°
A
D
E
C
B
图3
F
G

E
D
A
C
B
图2

9、已知：如图3，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中共有全等三角形（　　）
A．5对　　　B．4对　　　C．3对　　　D．2对
A
E
C
图4

B
A′
E′
D
10、将一张长方形纸片按如图4所示的方式折叠，为折痕，
则的度数（　　）
A．60°　　　B．75°　　　C．90°　　　D．95°
11、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（ A ）
A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C
12、.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（ D ）
O
D
C
B
A
A.线段CD的中点　 B.OA与OB的中垂线的交点　
C.OA与CD的中垂线的交点　 D.CD与∠AOB的平分线的交点

13如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（ C ）　
A.△ABD和△CDB的面积相等　 B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD　 D.AD∥BC，且AD＝BC

C提示：∵△ABD≌△CDB，∴AB＝CD，BD＝DB，AD＝CB，∠ADB＝∠CBD，∴△ABD和△CDB的周长和面积都分别相等.∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC.

A
D
B
C
E
F
14.如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF＝ （　D　）
A.150° 　　 B.40° 　　 C.80° 　 D.90°

二、【填空精炼 】
1、能够____ 的两个图形叫做全等图形．
2．判定两个三角形全等除用定义外，还有几种方法，它们分别可以简写成_______；_______；_______；_______；_________．
3、判定一般三角形全等的方法有 等四种，判定直角三角形全等的方法还有
.
4、具有下列条件的两个三角形，可以证明它们全等的是 .
A. 两角相等，且其对应角所对的边也相等
B. 两角相等，且有一边也相等
C. 一边相等，且这边上的高也相等
D. 两边相等，且其中一条对应边的对角相等
5、如图1-2-26，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，AB=8cm，
那么△DEB的周长为 .
A.4cm B.4cm
C.6cm D.8cm

6、下列命题中正确的个数为 .
Ⅰ顶角和底边对应相等的两等腰三角形全等.
Ⅱ有一直角边和斜边对应相等的两Rt△全等.
Ⅲ有两边和其中一边上的高对应相等的两三角形全等.
A.3 B.2 C.1 D.0
7、已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有 对全等三角形．
第3题图 第4题图

8、如图，△ABC≌△ADE，则，AB= ，∠E=∠ ．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= 　 ．
9、△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC= ．
10．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带________去配，这样做的数学依据是是 ．
B
C
D
③
①
②
第10题图 第11题图 第13题图

11．把两根钢条AA´、BB´的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）， 如图，若测得AB=5厘米，则槽宽为 0.05 米．
12．△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，O是三条角平分线的交点，则∠OAC＝__．20度____，∠BOC＝___110度_____．
13．将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，其中为折痕，则的度数为 90度。
三、【提高精练】
A
E
B
D
C
F
1、如图20，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长。
DE=2cm

2、如图21，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC
2)AD平分∠BAC DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF
又∵DB=DC ∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL) ∴EB=FC

3、如图，已知AD＝BC，AB＝DC，DE＝BF，试探究：BE与DF是否相等？．

剖析：欲证BE＝DF，需证△ABE≌△CDF，要证这两个三角形全等．已经具备了两组条件，AB＝CD．AD＋DE＝CB＋BF即AE＝CF．只要再证∠A＝∠C即可．那么再观察∠A、∠C还是哪两个全等三角形的对应角．
由条件AD＝CB，AB＝CD，很明显看出，若连结BD，那么△ABD与△CDB全等的条件已经具备，结论即可得证．
解：相等。理由：
连结BD在△ABD和△CDB中

∴△ABD≌△CDB(SSS)
∴∠A＝∠C(全等三角形的对应角相等)．
∵AD＝CB、DE＝BF(已知)，∴AD＋DE＝CB＋BF ，即 AE＝CF．
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF(SAS)．

∴BE＝DF(全等三角形的对应边相等)．
说明：(1)在解决有关问题时，经常遇到已知条件与结论无法沟通的状况，这时，便需添加辅助线，创造条件，为推出结论服务．(2)利用全等三角形证明线段相等或角相等，常需添辅助线构造三角形，构造时有下面两种情况：①待证的线段或角，在图形上不在两个可能全等的三角形中，需添辅助线构造三角形，使它们分别包括一个所要证的线段或角；②有些条件具备的全等三角形，图形中没能直接显示出来，需添辅助线才能发现，如本题中的△ABD和△CDB．

4.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.
（1）求证：BG＝CF.
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由.

4.（1）∵AC∥BG，∴∠GBD＝∠C，在△GBD与△FCD中，∠GBD＝∠C，BD＝CD，∠BDG＝∠CDF，∴△GBD≌△FCD，∴BG＝CF.（2）BE+CF＞EF，又∵△GBD≌△FCD(已证) ，∴GD＝FD，在△GDE与△FDE中，GD＝FD，∠GDE＝∠FDE＝90°，DE＝DE，∴△GDE≌△FDE(SAS) ，∴EG＝EF，∵BE+BG＞GE，∴BE+CF＞EF.

5.（1）如图1，△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由.
（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？

A
G
F
C
B
D
E
图1
图2

（1）解：△ABC与△AEG面积相等.理由：过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，则∠AMC＝∠ANG＝90°，∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，∴∠BAE＝∠CAG＝90°，AB＝AE，AC＝AG，∴∠BAC+∠EAG＝180°，∵∠EAG+∠GAN＝180°，∴∠BAC＝∠GAN，∴△ACM≌△AGN，∴CM＝GN.∵S△ABC＝AB×CM，S△AEG＝AE×GN，∴S△ABC＝S△AEG.（2）解：由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，∴这条小路的面积为(a+2b)平方米.
F
A
G
C
B
D
E
M
N

6、己知，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足为D，P是BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥AC垂足分别为E、F，
求证：① PE+PF=CD.
② PE – P F=CD.

F
E
D
C
A
B
G
P
F
E
D
C
A
B
G
P

7、已知，如图5，△ABC中，AB=AC，∠BAC=900，D是AC的中点，AF⊥BD于E，交BC于F，连结DF。求证：∠ADB=∠CDF。
F
E
D
C
A
3
N
1
M
B
2
M
F
E
D
C
A
3
1
B
2

B

F
C
E
D
F