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第三章 力学量的算符表示

1．如果算符、满足条件，
求证：，
，

[证] 利用条件，以左乘之得

则有
最后得 。
再以左乘上式得
， 即
则有
最后得
应用数学归纳法可以证明 ：
先设 成立，
以左乘上式得

则有
最后得

2．证明

[证] 应用 及，
则

同理可证
则

3．若算符满足
，
求证：

其中，
[证] 方法一：把直接展开，比较系数法。

而

…………
因此，把展开式的的同次幂的系数合并之后，我们容易得到：

方法二：定义算符
其中S是辅助参数。则算符对S的微商给出

…………

取，得
将展开为麦克劳林级数

按定义，，所以我们最后得到

4．如果都是厄密算符，但，向：
（1）是否厄密算符？
（2）是否厄密算符？
[解] 利用厄密算符具有的性质
及
（1）令
则
当 时，，故不是厄密算符。
（2）因，故

因此 是厄密算符。
例如，和都是厄密算符，且，所以不是厄密算符，事实上显然不可能是厄密的。
但是在 中，把它改写为
，显然左方是厄密算符。

5．如果都是厄密算符，而算符，求证：。
[证] 。

6．试证明力学量所对应的算符是，并进一步用数学归纳法证明力学量所对应的算符是。
[证] 先证明一维情况，按定义

而 ，
，

利用恒等式

故
由于：

故

同理

故
对于，可先设成立，然后写出的表示式，进行一次分部积分后，不难得出

7．求：

并由此推出、、分别与的对易关系。
[解] ，，
且
以及 之间均可对易。
故

同理
同理可证，对于分别有
，，
及 ，，
一般地，我们可以将上述各式合并写为：

其中为循环指标，而

8．求

并由此推出分别与的对易关系。
[解]

同理可证：
，
，
一般地，可以把上面的式子合并为

9．一维谐振子处于基态，
其中
求
[解] 。
利用第二章第3题的结果，我们知道是已归一化了的，故

同理，
注意到一维情况下，只须考虑，因此

最后得
讨论：①通过上面的计算看到，在一维谐振子的特殊情况下，其结论与测不准关系

一致。
②的结论，可以从动量几率分布函数得出，利用第二章第3题的结果，处于基态的一维谐振子的动量几率分布函数为
，
它是的偶函数，，这从物理上看是很清楚的。这种对称性（坐标空间和动量空间）是一维谐振子的主要特征之一。
③也可以从动量空间中求平均而得到。
在以为自变量的表示式中，一维谐振子的薛定谔方程为
，
令 代入上式可得

在以为自变量的表示式中，考虑到算符，故薛定谔方程为

同理可令 ，于是有

显然的解只须在中以代替即得：

而
故
和上面得出的结果一致。

10．一维运动的粒子处在
，
求
[解]由第二章第1题知归一化系数为

在上面的计算中利用了积分公式

最后得
讨论：①，满足测不佳关系。
②用及求得的结果也和上面的结果一致。
显然，在已知的情况下，把用算符代替，直接用坐标几率分布函数表计算或，比先由求动量几率分布函数，再由
来或简单得多，由此可见，力学量用算符表示，非但有深刻的物理意义，而且也给计算带来方便。
③在第四章将看到，一个力学量，不管用作自变数，还是用或其它量作自变数，计算出来的平均值都相同。从物理上看来，这也是明显的，因为平均值正是实验测量的值，它不应当和计算方法有关。

11．求粒子处在态时角动量的分量和角动量分量的平均值；并证明：

[解]（1）先证明两个普遍的关系：

可以用两种方法来证明。
（a）从角动量算符所满足的对易关系出发：

或
由一式与二式乘i后相加减可得：

或
用算符对运算得：

另外，注意到和均可对易，故有：

所以
从上面二式可见既是的本征函数，本征值为，又是的本征函数，本征值为，亦即，具有的形式。
令
它的共轭复式是
二式相乘，对积分，再注意到的正交性，得：

（b）用直接求微分的方法证明

而 ；
其中
故

同样，对也有

其中

可证明如下：
因为勒襄德多项式满足方程

对上式求微商次后得到

或
故有
（2）现在来求和
注意到的正交性，亦即

令

同理可知
故
（3）

注意到的正交性，得：

同理可证：
故

方法三：在固定z轴不变的情况下，进行坐标旋转，把原来的y轴变为x轴，仍然保持右旋坐标，这时角不变，唯一的改变是变为，注意到和的对称性，不难由在球坐标中的算符表示式看出

而

讨论：①为了证明，我们还可以用下面两种简并方法：
（a）设为的本征态，则有

而
故

同理，因为，可以证明

（b）利用本章第12题的结论来证明
令
则显然都是厄密算符，的对易关系为：

就是角动量分量之间所必须满足的对易关系

利用12题的结论
得出

由于态是的本征态，在本片态中测量力学量有确定值，即力学量在态在平均平方偏差必须为零。故有

要保证不等式成立，考虑到为非负的数，所以必须是。
同理，只须利用，也可以证明
②在方法三中，不从物理上考虑，直接从对易关系出发，也很容易证明
注意到
即
左乘 得：

利用
右乘得：

比较 和可见，。
再利用，按照方法三的讨论，很容易证明。

12．若都是厄密算符，且，证明：

[证]

引入积分
其中为实参数，显然

这是关于的二次三项式，要它大于零，其判别式必须小于或等于零，即

故
B．若，且，证明，若为的本征函数，对应的本征值为，则也是的本征函数，对应的本征值为；也是的本征函数，对应的本征值为。
[解] 依题意
则

故是的本征函数，对应的本征值为，

故也是的本征函数，对应的本征值为。

14．证明狄拉克函数的下述性质：
（1）；
（2）；
（3）
[证]（1）方法一：

方法二：

左右二端相比较可得：

（2）
上面令。
而
故
（3） 令则

注意：函数在运算时还有其他重要性质，例如：

等等。用相似的方法也可以证明。

15．利用测不准关系估计氢原子基态能量。
[解] 若电子的质量为，电子离核的距离为，则氢原子的平均能量为

式中是电子的动量。
利用测不准关系
对氢原子的基态，由于其对称性，
故 ，而电子和核的距离在数量级内，其误差不会大于本身，即

所以得到
若在能量表示式中，以代替，由于，故

基态的能量最小，故

故
对类氢原子则有 z为原子序数。
上述结果和用精确方法求得的氢原子基态能量相符，这里的，就是第一玻尔轨道。

16．设体系处在

态中，求：
（1）力学量的可能值和平均值；
（2）力学量的本征值；
（3）力学量和的可能值。
[解]（1）因为和都是的本征函数。对应于态，的本征值为；对应于态，的本征值为。因此，对态来说，的可能值是0，。
力学量的平均值为

（2）因为和也都是的本征函数，对应的本征值是
，
故
故对应于态，的本征值为，平均值也是。
（3）根据教材§26的讨论，和不再是力学
量和的本征函数。并且，对于来说，和的可能值均为；对于来说，和的可能值也是。因此对于态来说，和的可能值仍是。

17．设体系处在某一状态，在该状态中测量力学量得到的值是，测量力学量得到的值是，求测量力学量和可能得到的值。
[解] 设体系所处的状态为，由于力学量和能同时测量，所以必是和的共同本征函数，且具有球谐函数的形式。
，故
，故
因此态就是态。
把按的本征函数，展开。因为不随坐标选择而变，因此在系中，仍为1，而可能取。故在态可能测得的值为。同理在态测量的可能值也是。

18．荷电为的粒子在恒定磁场中运动，让明粒子速度分量之间的对易关系是：

[证] 按定义：
而
与无关，故算符和对易，则有

考虑到：

事实上，在有磁场存在的情况下，广义动量为，这一结论从物理上看是显然的。

同理，只须轮换脚标，不难得出其余两式

可把上三式合写为
讨论：下面求荷电为的粒子在恒定磁场中的能量。为此，可令的方向沿轴方向，亦即

利用上面的结果，有

体系的哈密顿为：

令
则
由于哈密顿算符可以分离变量，因此，根据第二章第8题，第9题等的结论，哈密顿算符的本征值就是的本征值和的本征值之和。
现在我们来求算符的本征值，这里要指出，由于和不可对易，它们满足对易关系式

因此绝不能得出哈密顿算符的本征值是连续谱，本征函数是平面波的结论。
引进代换
其中
则：

而对易关系

把和线性谐振子的哈密顿算符振子比较，而

式中令
线性谐振子的定态薛定谔方程为

即

亦即算符的本征值为
利用对易关系 ，易得

其对易关系与的对易关系一致。因此算符的本征值也是
的本征值是

对于，考虑到和；都对易，因此的本征值是连续谱为。
总起来，我们最后得到：哈密顿算符的本征值为：

19．证明：
[证] 方法一：

因为势能和对易，故上式中含势能部分消去，可得：

利用教材中的公式（28—15）和（28—16）：

容易证明

于是得：

方法二：

20．如果体系的哈密顿算符不显含时间，证明对于具有分立能谱的状态，动量的平均值为零。
[证]
设具有分立能谱的哈密顿算符归一化本征函数为，则

因为是的本征态，满足，且是厄密算符，故

注意，上面的结论不能用于具有连续能普的状态，因为在证明过程中，平均值公式为

这仅对分立谱状态才成立，对于连续谱，必须除以因子。