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单元十一 光的量子效应及光子理论（全面版）资料
单元十一 光的量子效应及光子理论
一、选择题
1.金属的光电效应的红限依赖于 [C]
(A)入射光的频率 (B)入射光的强度 (C)金属的逸出功 (D)入射光的频率和金属的逸出功
2. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出电势是（使电子从金属逸出需做功），则此单色光的波长必须满足[A]
(A) (B) (C) (D)
3. 在均匀磁场内放置一簿板的金属片，其红限波长为。今用单色光照射，发现有电子放出，放出的电子(质量为，电量的绝对值为)在垂直于磁场的平面内作半径为的圆周运动，那么此照射光光子的能量是 [B]
(A) (B) (C) (D)
4. 用强度为，波长为的X射线分别照射锂()和铁()，若在同一散射角下测得康普顿散射的X射线波长分别为和，它们对应的强度分别为，则 [C]
(A)， (B)，
(C)， (D)，
5. 用频率为的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为；若改用频率为的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为［D］
(A) (B) (C) (D)
6. 相应于黑体辐射的最大单色辐出度的波长叫做峰值波长，随着温度的增高，将向短波方向移动，这一结果称为维恩位移定律。若，则两者的关系经实验确定为 [A]
(A) (B) (C) (D)
二、填空题
7. 当波长为光照射在某金属表面时，光电子的能量范围从到在作上述光电效应实验时遏止电压为,此金属的红限频率。
8. 频率为的一个光子的能量是，动量的大小是。
9. 某一波长的X光经物质散射后，其散射光中包含波长大于X光和波长等于X光的两种成分，其中大于X光波长的散射成分称为康普顿散射。
10. 一频率为的入射光子与起始静止的自由电子发生碰撞和散射．如果散射光子的频率为，反冲电子的动量为，则在与入射光子平行的方向上的动量守恒定律的分量形式为。
11. 光子波长为l，则其能量为，则其动量的大小为。
三、判断题
12. 若入射光的频率均大于一给定金属的红限，则当入射光频率不变而强度增大一倍时，该金属的饱和光电流也增大一倍. [对]
13. 用X射线照射物质时，可以观察到康普顿效应，即在偏离入射光的各个方向上观察到散射光，这种散射光中既有与入射光波长相同的成分，也有波长变长的成分，波长的变化只与散射方向有关，与散射物质无关. [对]
14.光电效应和康普顿效应中电子与光子两者组成的系统都服从动量守恒定律和能量守恒定律. [错]
15. 在光电效应实验中，任何波长的可见光照射到任何金属表面都能产生光电效应。[错]
16. 康普顿效应中，散射光的波长均与入射光的波长相同，与散射角、散射体性质无关。[错]
17. 光电效应是吸收光子的过程，而康普顿效应则相当于光子和电子的弹性碰撞过程．[对]
四、计算题

18. 图中所示为在一次光电效应实验中得出的曲线
(1) 由图中数据求出该金属的红限频率。
(2) 求证：对不同材料的金属，AB线的斜率相同。
(3) 由图上数据求出普朗克恒量 。
(基本电荷)
解：
(1) 由图中数据可知，该金属的红限频率
(2) 由 得 , 即 (恒量)
由此可知，对不同金属，曲线的斜率相同。
(3) 。
19. 波长为的单色光照射某金属M表面发生光电效应，发射的光电子(电荷绝对值为，质量为)经狭缝S后垂直进入磁感应强度为的均匀磁场(如图示)，今已测出电子在该磁场中作圆运动的最大半径为。求: (1) 金属材料的逸出功，(2) 遏止电势差。

解：(1) 由 得 ,
代入
可得
(2) 由 , 得。
20. 在康普顿散射中，如果设反冲电子的速度为光速的，则因散射使电子获得的能量是其静止能量的多少倍？
解：散射后电子的质量，能量
散射后电子获得的能量：，
，将反冲电子的速度代入得到：。
21. 用波长的光子做康普顿实验。 (1) 散射角的康普顿散射波长是多少？ (2) 反冲电子获得的动能有多大？ (普朗克常量，电子静止质量)
解：(1)康普顿散射光子波长改变：

(2) 设反冲电子获得动能
根据能量守恒：
即
故
22. 测量反冲电子的最大动能，是测定单色X射线束波长的一个方法。如果单色X射线束撞击金属靶时，反冲电子的最大动能是，问X射线波长为多长？
解： 碰撞后电子获得的最大动能：，
将和代入，求解上面方程得到：。
量子管通环在循环冷却水处理技术上的运用
陈尔婷
（云南铜业股份，熔炼分厂）

摘要：在余热发电系统循环冷却水系统上，引进了德国WELLAN2000量子管通环水处理技术，在运行了一年后我们对此进行总结，确认其效果，完善下步工作，以使这项节能、环保型的新技术在水处理的领域能得到更好的运用。
关键词：量子管通环 循环冷却 结垢 腐蚀 菌藻
1． 引言：水乃生命之源，而循环冷却水是工业及多种行业生产活动中实现热量转换的重要介质，由于水中含有的杂质在一定的温度条件下会在换热设备表面及水池等接触面结垢、腐蚀、生成大量菌藻，而导致系统无法正常运行，因而人们采用了很多方法进行循环冷却水的处理，以达到防垢、防腐、防菌藻的目的。
2． 目前常用的水处理方法：
2.1 化学法：
目前许多工业循环水的处理是采用化学加药，如加阻垢剂等，但是在低温循环水、冷却水的工作温度下，水中的微生物是极易生长的，而许多阻垢剂常常又是微生物的营养源，所以，通常在加阻垢剂的同时，还需加入大量的杀菌剂、灭藻剂、平衡剂等等。化学药剂本身对设备、管道的腐蚀也是很严重的。进行阶段性酸洗虽然比较简单，但需要停设备，影响生产，费事费力，另外，清洗的废液对环境的污染也是不可忽视的。总之，在越来越重视环保、强调可持续发展的今天，化学法表现出越来越明显的局限性。
2.2物理法：
物理法常见的一般有电磁、永磁、强磁、高频、静电等多种形式，俗称电子水或电子除垢。人们对电子除垢的研究到目前为止已经经历了半个世纪，效果不理想，这也就是为什么尽管化学除垢存在这样或那样的问题，但目前还必须大量使用的关键所在。
3. 一个新的理念 —— 德国WELLAN2000量子管通环水处理技术：
德国WELLAN2000量子管通环（以下简称量子管通环）是不用任何化学方法的循环冷却水处理设备，保护设备不受腐蚀，没有任何有毒物质，保证水质不受污染。瞬间阻止新垢，快速除去老垢，除去和防止菌藻生成，适应不同水温，适应不同地区，常年系统自动运行，无需人工保养，无需运行费用。整机设计寿命15-20年，比现有产品节能20%左右。
抱有传统观念的人们也许会问：这可能吗？有那么好的东西吗？我们不妨先简单地了解它的工作原理：
我们知道，水是由一个氧原子和两个氢原子组成的。通常水中80%的水分子是由氢键缔合成水分子团的形式， 这种水分子团簇能量结构较低，团簇较大，对碳酸钙（水垢）的溶解程度较低，使水垢很容易析出。
量子管通环由特种材料合成，储存和释放多种复杂的波形，向水中施加一个能量共振场，作用于水及水中几乎所有各种盐类杂质，打破大的水分子团，使其变为小的水分子团簇，甚至单个水分子，并使其能量结构提高到一个亚稳状态，水的活性得到极大增强，极微小的水分子团簇可以渗透、包围、疏松、溶解、去除系统内的老垢。溶解水垢的能力得到增强。同时，水垢等分子在这种波形的作用下，浮在水中的钙离子和碳酸根离子相互碰撞，形成特殊的文石碳酸钙体，其表面无电荷，因此，不能再吸附在管道上，不再形成坚固的碳酸钙晶体附着在管道内壁。同时，也是利用激光与振动技术在环的亚原子级储存并产生相关干扰波形和共振波形作用于流体中不同物质，使这些物质的物理性质发生改变，新安装的管道即不会积垢和生锈，旧管道中的垢会逐渐被消除，锈蚀也逐步消失，并最终在管道内壁形成保护性氧化膜（四氧化三铁），达到防腐的效果。由于极小的水分子团簇使菌藻无法产生，也达到防菌藻的效果。
4. 量子管通环在循环冷却水系统上的使用
云南铜业股份于2006年9月新投运一台容量为10086 kW的汽轮发电机组，汽轮机由德国KKK公司生产，为抽凝式饱和蒸汽机组。发电机组的循环冷却水系统直接采用了量子管通环处理技术，取代了传统的化学法处理技术。
4.1 冷却系统设备简况：
循环水泵房的功能主要为冷凝器及气轮发电机本体设备提供冷却水。
冷却塔及冷却水池：
冷却水池容积 1000m3
循环流量 3600m3 /h
冷却塔： L85型风机逆流式冷却塔
冷却的设备：
（1） 凝汽器： 型号 N-650-1
冷却面积 650平方米
水流道 2流道1流程
（2） 中压汽轮机油冷却器、低压汽轮机油冷却器
（3） 发电机空气冷却器
（4） 在线分析仪表冷却器。
4.2 安装：
量子管通环的安装很便捷，环分两半，卡在选择好的管路上，用螺丝紧固即可，管路的选择有要求：可选冷却水主管路，也可做在旁路上，因为是循环水，以最经济适用的原则，设计选择了旁路安装，经多次循环处理后的水就可达到要求。同时满足了安装位置距冷却设备小于十公里等要求。

4.3 使用效果;
循环冷却水系统于2006年7月16日投入运行，已有十七个月，中途因全公司系统停产检修及蒸汽量不稳定等原因共计停产约四个月，满负荷生产约十三个月。目前直观效果是：
（1） 冷却塔及冷却水池非常洁净，塔内填料无任何堵塞现象，水池壁及周围无任何菌泥等附着物，水池内的通道铁围栏在经历了一年多水淋并与空气接触的状况下基本无锈蚀现象，这是非常直观的效果。

（2） 设备冷却效果正常，汽轮机油温、发电机空冷器温度均在控制范围内，以下是对冷却设备的监测数据：

汽机中压端油温（平均）
汽机低压端油温（平均）
发电机空冷器温度（平均）
凝汽器真空度（平均）
2006年9月
38.4
38
42.14
0.0147
2006年10月
38.2
38.1
40.6
0.0140
2007 年1月
38.1
38.2
37.3
0.0125
2007 年2月
39
38.8
41
0.019
2007 年3月
38.5
39
42
0.021
2007 年4月
38
38
43
0.022
2007 年5月
38.2
39
44
0.022
2007 年6月
38.5
39
46
0.023
2007 年7月
38.5
39.5
45
0.020
2007 年8月
38.5
39
45
0.021
2007 年9月
39.8
39．6
46
0.0209
2007 年10月
39
39.2
43
0.023
2007 年11月
39.4
39.9
46
0.023

（3） 运行中对循环冷却水的监测：
循环水在冷却塔的冷却过程中主要有三方面的损失：一是蒸发损失；二是风吹损失；第三部风是排污损失。蒸发损失的水分不会从系统中带走盐分，而风吹和排污的水会带走水中的盐分。当循环冷却系统在某种水工况下达到盐平衡时，循环水中某种既不沉淀也不挥发的某种物质的浓度比之补充水中同一种物质浓度的增长倍数，即浓缩倍数。在实际循环水水质控制中，常常以测定循环水和补充水的氯离子含量或电导率来确定循环水的浓缩倍数，选择氯离子作控制项目是因为氯离子即使在高浓度倍数下也不会发生沉积，依然保持其溶解状态。
我们一直对水质进行跟踪监测，及时了解循环冷却水的浓缩状况及规律，科学地有目的地指导排污，确保设备安全运行。

日　期
电导率 μs/cm
PH　值
硬　度mmol/L
cl- mg/L
备注
06.7.16
399
7
4.7
17
新加生活水
06.9.22
720
8.32
5.2
35

06.12.14
736
8.5
11
46

06.1.20
1105
8.52
13.4
84

07.2.26
1003
8.49
18.2
74

07.3.20
1067
8.65
14.5
85

07.3.28
1033
8.53
14.4
80

07.3.31
415
7.97
4.55
14

07.5.14
1853
8.43
19.4
160

07.5.15
1877
8.37
25.4
142

07.5.26
1858
8.65
23.8
130

07.6.19
1188
8.33
14.8
70

07.6.26
803
8.76
8.6
52

07.7.2
1161
8.01
8.52
32

07.7.11
1606
8.94
15.9
45

07.7.16
1152
8.86
9.5
33

07.7.25
1487
7.96
16.4
72

07.7.31
1410
8.2
16.9
45

07.8.7
1229
8.34
22.9
69

07.8.14
1165
8.47
18.8
69

07.8.22
1190
8.51
20.8
80

07.8.28
1263
8.45
20.5
85

07.9.18
1181
8.6
17.4
75

07.9.25
1180
8.55
18.2
87

07.10.2
1301
8.41
17.5
85

07.10.9
1432
7.95
20.3　
83

07.10.16
1342
7.92
25.9
84

07.10.30
907
8.36
12.6
50

07.11.13
834
8.54
10
40

07.11.20
907
8.58
10.02
40

从上表的数据可看出，循环冷却水的浓缩倍数以cl-含量计，平均为：4.15，最大为：9.41。pH值较稳定，没发生酸化现象。
（4） 油冷器拆检：
2007年12月18日借公司系统停产检修的机会，对有冷却器进行了拆开检查工作，看到水侧有约0.1～0.5mm的附着层，色黑、质地脆、有一定硬度，经取样试验可判断有碳酸盐成分，有少量黑色沉淀物及灰尘。
由于冷却塔位置处于公司矿仓和交通道口处，尘埃较大，机械过滤器对粒度较小杂质的过滤效果不佳。

5． 效益：
经济效益：按循环流量3600m3/h

设备投资 （万元）
运行费用 （万元）/年
安装费 （万元）
年节水
（万吨）
合计
化学法
12
～30
～1
0
～43
量子管通环
45
0
0
10
～35
社会效益：
量子管通环水处理技术是单纯的物理法，在整个过程中没有任何添加物，当浓缩倍数达到一定时排出的污水也仅仅是浓水，水中的杂质没有化学性质的改变，排出后不会造成水体及周围环境的污染。年节水10万吨以上。

节能、降低生产成本是企业在竞争中取胜的法宝。在节能减排这项造福于人类的宏伟工程中，量子管通环的合理使用，将会在水的领域做出应有的贡献。
结束语：
一项新技术的开发和运用，需要人们改变观念，加强学习，加快知识的更新，在实践中探索求真，真正地掌握其要领，更合理地得到运用。

参考文献： 《水处理技术要点1000问与生产新工艺新技术及水处理设备操作维
护使用手册》 北方工业出版社
《锅炉水处理技术问答》 化学工业出版社

第六章

量子力学的矩阵形式及表示理论

第六章 目录

§6.1 量子体系状态的表示 3
§6.2 Dirac符号介绍 4
（1）量子态、Ket矢，Bra矢（Bracket） 5
（2）标积 5
（3）算符及其表示 7
（4）不可约张量算符的矩阵元计算简介 12
（5）投影算符 15
§6.3 表象变换，幺正变换 17
（1）同一状态在不同表象中的表示间的关系 17
（2）两表象的基矢之间关系 18
（3）力学量在不同表象中的矩阵表示之间的关系 18
（4）幺正变换 19
§6.4平均值，本征方程和薛定谔方程的矩阵形式 20
（1） 平均值 20
（2）本征方程 21
（3） 薛定谔方程 25
§6.5 量子态的不同描述 26
（1）薛定谔绘景 27
（2）海森堡绘景 28

第六章 量子力学的矩阵形式及表示理论
§6.1 量子体系状态的表示
现在来讨论体系状态的“坐标”—状态表示
如果有一组力学量构成一力学量完全集，其共同本征函数构成一正交，归一和完备组，并有封闭性。

于是，任一波函数

。

是在中测得力学量取值为的几率（若是归一化的）。
显然，当选定一组力学量完全集 后，则集合 是与 完全等价的，它完全确定了体系的状态。我们将会看到，与一样，提供给我们同样多的信息。
状态表示的定义：若力学量的完全集的共同本征函数组为，则 的全体，被称为体系所处态在表象中的表示，也可以看作态矢量在作为基矢所张的“坐标系”中的“坐标”。
事实上， 正是体系所处状态在表象中的表示。因我们知 本征函数为，它是力学量的共同本征函数，它当然形成一组正交，归一和完备组。对于任何一个态，都能按它展开

。
所以，是状态在表象中相应本征值为的表示。为测量粒子在中的几率。
通常体系处于某状态，即认为被－态矢量描述。
对于分立谱：则在表示中的表示，可以用一单列矩阵表示
。
而归一化

对于连续谱：则在表象中的表示 ，它是的函数

§6.2 Dirac符号介绍
上节看到一个态矢量可由一组数表示。但在表示（或计算）时，其实已用到态矢量在表象中的表示及在表象中的共同本征矢的表示。

而 。
事实上，一个描述体系所处的状态，并不需要依赖于某一表象。而仅在计算时，要在一个具体表象中进行。
所以Dirac建议用一抽象的符号来描述体系所处的状态。它现在已广泛用于量子力学或文献中。它的优点在于表述简明，运算方便，而与具体表象无关。

（1）量子态、Ket矢，Bra矢（Bracket）
量子力学中的状态，可以看作某线性空间中的一个矢量，我们称为Ket
矢，以表示。为使它可代表不同Ket矢，则在这表示中给出特征标志符号。
如态矢量是的本征矢，它的本征值为N，则本征矢可表为。
例如，在中心力场中能量的本征波函数为，我们可表示它为
，它是的共同本征函数。

在这里并未与具体表象相联系，而仅表示是具有本征值为
的共同本征矢。
当然，对于任何一个线性空间，都存在一个共轭空间，在这个共轭空间中
的态矢量我们可以以符号来表示，称为Bra矢，如，等。
（2）标积
有了态矢量Ket矢和Bra矢后。我们可定义两个矢量的标积
A. 标积定义：矢量和矢量的标积为一数，它表示为

它对是线性的，对是反线性的；如果两矢量的标积为0，则称
这两矢量是正交的。
如果矢量的标积为1，则称该矢量是归一的；而

B．基矢的正交、归一、完备和封闭性。态矢量的表示
若力学量形成一完全集，其共同本征态记为，相应本征值为，这就是表示的基矢，它是正交、归一和完备的。
正交，归一： ；
对任一空间态矢量，可表为
完备性：。
称为态矢量在表象中的表示

封闭性：。由于是任意的态矢量，所以
。对于连续谱，则为
若在表象中，的表示即为
。
若就是表象的本征矢，那在自身表象中的表示

表象中的基矢在表象中的表示即为
，
而代表表象中的基矢（本征值为）在表象中的表示
（注意这时量子数为）
这样，在坐标表象中，本征函数组，即基矢的正交、归一，完备和封闭性就易于理解。
正交、归一：

完备性：，所以，，即

而
。
封闭性：
Ⅰ
即 。所以
。
它也是
，
即位置算符的本征态以它在表象中的表示来示出归一化。
所以说，表象的本征态在坐标表象中的表示的封闭性，就是坐标表象的本征态在表象中的表示的正交、归一性。
而二个矢量的标积

（3）算符及其表示
A. 算符的自然展开：在量子力学中，可观测力学量以厄密算符表示，其本征方程为
或
于是有

由于是任意态，所以有

或
事实上，这即定义了一个算符，或称为算符的自然展开。
B. 算符的表示
算符是将一态矢量变为另一态矢量

设：是一力学量完全集，其正交，归一，完备组基矢为
则
和分别是态矢量，在表象中表示。
而是将态矢量表示变到态矢量表示，所以它起到
算符同样的作用。的全体称为算符在表象中矩阵表示。
显然，计算表示与在那一个表象中来计算是无关的。
在表象中计算：态矢量和算符在表象中的表示和矩阵元
若

同理

而

代入得

若算符即为算符，即 ，则有

为力学量在表象中的算符。
事实上，矩阵描述了表象中的本征态，, 在算符作用
下，所得到的新的态矢量在表象中的表示。

即
这表明，表象中的基矢在作用下所产生的新的态矢量在表象中的表示。正是算符在表象中矩阵表示的第列元素集合。
于是，我们求算符在某表象中的矩阵表示，只要将它作用于该表象的基矢上，并将新的态矢量在该表象中展开，

将其系数矩阵转置为
即得在表象中的矩阵表示
显然，算符在其自身表象中的表示可由方程组

的系数矩阵转置得到。
所以是对角矩阵，而矩阵元为其本征值。
例1，求动量算符 在一维谐振子势的能量表象中的矩阵表示
解： 由于
∴

系数矩阵为。
转置（或取复共轭），得

例2：求算符的矩阵，则由

∴ 矩阵为
相应本征值为， ,
, , ,
例3： 给出方程在表象中的表示式

并由此可推论，由于是任意态，所以在表象中，算符的形式
为。
（4）不可约张量算符的矩阵元计算简介
A. 不可约张量算符的G. Racah 定义
若满足以下的对易关系

则称为秩不可约张量算符。它在空间转动下的变换为
B. 定理
维格纳-埃伽定理：矩阵元与投影量子数的关系完全包含在系数中

证：由
于是有 ，它是表示投影量子数的守恒规则。
由

得

（1）
根据投影量子数守恒知，仅当

矩阵元才不为零。
我们知

将算符 作用于方程两边，得

于是有

以 标积方程两边，得

与(1)式比较，可见 矩阵元随投影量子数的变化与系数的变化是完全一样的。于是有

C. 一秩张量的投影定理

证： 由于 为一秩不可约张量算符，所以

从而得

现求

∴

∴ 即

同理有

从而有

（5）投影算符
这里简单介绍一下投影算符，它是一极有用的工具，涉及一系列概念：子空间，子空间正交系等等，这里仅给出最简单的定义。
A．定义：若厄密算符 有性质 ，则称该算符为投影算符。
具体看一个例子。若
（ ）

就是一投影算符。
事实上，

它将任何一个态的某部分抛投出来，而态的这部分恰恰是的本征值为本征态。

（或者说，将空间所有态都投入到态上）
显然 也是一投影算符。
它将任一态中相应于本征值为—所相应的本征态分量抛投出来。也可说，将所有的态都投入到这样一些态的子空间中，成为这些态的线性组合。

但可以证明

就不是投影算符（若不全为1）
B. 任何－投影算符的本征值都是0和1
若 是 的本征态，本征值为 , 则

不是零矢量， 或
而任何一个态矢量都可以按 的基矢展开

由
所以，若不是零矢量，那它是的本征值为零的本征矢。当然，
若，那就是的本征值为1的本征矢。
由
所以，若不是零矢量，那它是的本征值为1的本征矢。当然，若
，
那就是的本征值为的本征态。
若，都不是零矢量，那和是正交的。

§6.3 表象变换，幺正变换
（1）同一状态在不同表象中的表示间的关系
对于态 在 表象中，其表示为

即
在另一表象中其表示为

于是，

是将态矢量在表象中的表示，变换到表象中表示的变换，（或表象中的表示以表象中的表示来表出）
写成矩阵形式

即
在 表象中表示 在表象中表示
矩阵的矩阵元正是表象基矢与表象基矢的标积，其第列，是算符的第个基矢在表象中的表示。

因此，是一个幺正算符。同一态矢量在不同表象中的表示之间是通过一个幺正变换联系起来的。
（2）两表象的基矢之间关系

所以，基矢的变换是经来实现

.
（3）力学量在不同表象中的矩阵表示之间的关系
与态矢量一样，在不同表象中，力学量的矩阵表示是不同的. 它们之间的关系也是幺正变换（即由幺正算符进行相似变换）
对于算符在表象中的矩阵表示为

即

总结： 表象表象
对同一波函数在不同表象中表示

则
基矢

力学量

（4）幺正变换
设：是一线性算符，有逆算符对某一力学量进行－相似变换
得 即
A．对每一算符有与同样的本征值

与有同样的本征值 ，而本征函数为
例： ，则
是 的本征函数，本征值为
证： 是 之逆算符。
是 的本征函数，本征值为。

而
]

∴

B．在幺正变换下（是线性算符），线性算符，基矢，厄密共轭矢之间的任何代数关系保持不变。

，

§6.4平均值，本征方程和薛定谔方程的矩阵形式
(1) 平均值
力学量 在体系（处于态 ，且归一）中的平均值为

设：构成力学量完全集，共同本征矢为， 则

是在表象中的表示。
若 包括力学量

（ 而 ）

对于两个算符乘积的平均值

（2）本征方程
对于算符的本征方程为

在表象中，则

为算符本征值为的本征矢在表象中表示, 为算符在表象中的矩阵元
于是有算符的本征方程在表象中的矩阵形式为

从而得

要方程组有非零解，即不全为，则要求系数行列式为，即
，
由这求出, 然后代入方程组求出相应的
例1：某力学量在 表象中的矩阵为
求该力学量的本征值和本征态
由系数行列式

代入方程得
代入方程得
的本征值所相应的本征矢在表象中的表示为
所相应的本征矢在表象中的表示为
顺便我们可以看到，对于两个表象，即

所以，要求矩阵，只要求表象中的基矢在表象中的表示即可，这相当于矩阵中一个列。
具体看
的本征矢在表象中的表示为
,
所以，由表象到表象的变换矩阵为

而我们知，算符在自身表象中的矩阵表示是对角的，对角元为其本征值

例2． 在表象中，求(在子空间)的本征值，本征矢（即在，也就是本征值为子空间中）
解：首先求在表象中的矩阵

由本征方程

如何求在的本征值为的本征态中测量的可取值几率？
由于在自身表象中的本征值为的表示为
于是测得 的几率振幅为

所以, 在中（坐标表象中，的本征值为0的本征态中）测量的可取值的几率为

.
这表明，可在任何一表象中来处理问题。
而 的变换矩阵

从是

（3） 薛定谔方程

在表象中，基矢为
则

这即为表象中的的矩阵形式
若不显含，而 表象就是表象，
则

从而得

所以，当 不显含，在表象中的表示为

，由初态给出。（时，在表象中表示）
，由 在任一表象中的方程

求出。

§6.5 量子态的不同描述
由

它体现了量子力学的因果律，即当知，在不受外界干扰下，体系的波函数随的演化是完全确定的。
而

而波函数和算符不是直接观测量. 仅力学量取值，及其几率分布（或几率）是直接观测量。因此，重要的是：
① 可能取的值
② 测量取的几率振幅为
如果用不同方式来描述，但若上面两个量是完全相同的，于是分不清这两种描述的差别，而都可以接受。
（1）薛定谔绘景
设：以来表示，遵守

如果和分别演化为和。根据态叠加原理可能态将演化为。这表明，可由一线性算符从获得（ 以下取 ）。
因此可假设
（与无关）
而
于是有

由于 是初态，可任意设定。
所以，时间演化算符 满足

若 不显含，则

由于 ，
所以