特殊函数和高斯积分.doc

特殊函数和高斯积分（全面版）资料
第一题 使用书上的程序计算n阶圆柱贝塞尔函数在特定x处的值
本题使用的是回归法，给出一个最高阶nmax，并令它对应的圆柱贝塞尔函数值为0，再令次高阶贝塞尔函数Jnmax-1为一个小量（1E-20），可依次由递推公式得到之前阶数的所有函数值。
N=14 x=2
n un-nomarlized nomarlized
0 1.50602e-011 0.223891
1 3.8794e-011 0.576725
2 2.37337e-011 0.352834
3 8.6735e-012 0.128943
4 2.28676e-012 0.0339957
5 4.73528e-013 0.00703963
6 8.08826e-014 0.00120243
7 1.17678e-014 0.000174944
8 1.49193e-015 2.21796e-005
9 1.6765e-016 2.49234e-006
10 1.692e-017 2.51539e-007
11 1.55e-018 2.30428e-008
12 1.3e-019 1.93263e-009
13 1e-020 1.48663e-010
14 0 0
N=20 x=2
n un-nomarlized nomarlized
0 0.000287093 0.223891
1 0.000739528 0.576725
2 0.000452435 0.352834
3 0.000165342 0.128943
4 4.35923e-005 0.0339957
5 9.02684e-006 0.00703963
6 1.54186e-006 0.00120243
7 2.24329e-007 0.000174944
8 2.84406e-008 2.21796e-005
9 3.1959e-009 2.49234e-006
10 3.22545e-010 2.51539e-007
11 2.95476e-011 2.30428e-008
12 2.47827e-012 1.9327e-009
13 1.91695e-013 1.49494e-010
14 1.37583e-014 1.07295e-011
15 9.2107e-016 7.18302e-013
16 5.778e-017 4.50601e-014
17 3.41e-018 2.65931e-015
18 1.9e-019 1.48173e-016
19 1e-020 7.79856e-018
20 0 0
N=50, x=2
n un-nomarlized nomarlized
0 1.38997e+042 0.223891
1 3.58046e+042 0.576725
2 2.19049e+042 0.352834
3 8.00513e+041 0.128943
4 2.11054e+041 0.0339957
5 4.37039e+040 0.00703963
6 7.46499e+039 0.00120243
7 1.0861e+039 0.000174944
8 1.37696e+038 2.21796e-005
9 1.54731e+037 2.49234e-006
10 1.56162e+036 2.51539e-007
11 1.43056e+035 2.30428e-008
12 1.19987e+034 1.9327e-009
13 9.28099e+032 1.49494e-010
14 6.66113e+031 1.07295e-011
15 4.4594e+030 7.18302e-013
16 2.79745e+029 4.50601e-014
17 1.65097e+028 2.65931e-015
18 9.19901e+026 1.48174e-016
19 4.85439e+025 7.81924e-018
20 2.433e+024 3.91897e-019
21 1.16109e+023 1.87023e-020
22 5.28815e+021 8.51793e-022
23 2.30338e+020 3.71018e-023
24 9.61345e+018 1.54849e-024
25 3.85131e+017 6.20353e-026
26 1.48339e+016 2.38938e-027
27 5.50132e+014 8.86129e-029
28 1.96718e+013 3.16865e-030
29 6.7912e+011 1.0939e-031
30 2.26617e+010 3.65026e-033
31 7.31762e+008 1.17869e-034
32 2.28893e+007 3.6869e-036
33 694233 1.11824e-037
34 20435.8 3.29171e-039
35 584.345 9.41237e-041
36 16.244 2.61651e-042
37 0.43934 7.07669e-044
38 0.0115694 1.86355e-045
39 0.000296841 4.78139e-047
40 7.42556e-006 1.19608e-048
41 1.81217e-007 2.91896e-050
42 4.31707e-009 6.95375e-052
43 1.0045e-010 1.61801e-053
44 2.28411e-012 3.67915e-055
45 5.07826e-014 8.17984e-057
46 1.10448e-015 1.77905e-058
47 2.351e-017 3.78689e-060
48 4.9e-019 7.89271e-062
49 1e-020 1.61076e-063
50 0 0
注意到Nmax=50时，第14阶的贝塞尔函数值和书中给出的精确值没有差距了（称为“精确的”，虽然实际上肯定有误差），即误差小于1E-16；再注意到Nmax=14时，n=7是“精确”的，n=8是“有误差的”；Nmax=20时，n=10是“精确”的，n=11是“有误差”的。因此可以粗略的得出结论，假如目标阶数为n，则取Nmax=2n可以使结果在小数点后6位精确。当然此结论可能随x的变化而变化。
第二题 球贝塞尔函数的求解
球贝塞尔函数满足递推公式
最初几项为

结果如下：
j n j error n error
explicit 0.0163711 -25.0599 -3.92007e-010 1.75161e-007
forward 0.0163711 -25.0599 -3.92007e-010 1.75161e-007
backward 0.0163711 - -5.34752e-013
由此可知，第三种方法更加精确。比第一种方法还精确的原因可能在于，使用公式计算时的最末位小数误差和三角函数的误差。
第三题 计算积分
要点在于使用n阶勒让德函数的根来作为求和的格点。方法很有趣，但是实际操作上要求勒让德函数的根，需要使用以前的方程求根方法。
本题改用matlab来做的，因此直接调用了多项式求根函数roots。
另外，matlab也有直接用高斯勒让德积分的函数。
下面是写的GL积分程序得到的结果：
Tol=1E-8
N=15
G-L 1.570980316395194
N=20
G-L 1.570879371026760
N=30
G-L 1.570840210292159

精确值为1.570796326794897（pi/2）

对比matlab内置的符号积分函数int，它可以得到完全的精确值。（即显示为pi/2）
总的来说是有趣的方法，不过用起来比较麻烦，N太高时解勒让德函数的根需要的时间很长，并且对精确度的提高不是很大，主要影响在于tol。
实用性上来说的话……还是靠matlab吧。
第二章：复变函数的积分
第1节 复变函数的积分
设在复平面上的光滑曲线上连续。若将分成段，其中第小段为。在该小段上任取一点，若和式：
（1）
在当，时的极限存在则这个和式的极限就称为在上的路积分。记作：
（2）

（3）
也分为实部和虚部
其积分法可用实度函数积分法测：
例1、试计算和。其中和的路径如图。起始点相同；
解：

==
由此可见，一般在复变函数中，即使被积函数和积分起终点相同，但沿不同的路径，积分值是不一样的。
第2节 柯西定理
以上，我们知道，一般复变函数的积分与路径有关。但有特例——解析函数在“
单通域”内积分就与路径无关
一、单通域与单通域柯西定理
1、单通域（单连通域） 任意两点间连线上所有点均属于该域（无孔隙）
函数在闭域内的点上处处解析的域——单通域
2、单通域的柯西定理
若在单通域上解析，是上一分常光滑闭合曲线，则： （1）
证：
（2）
利用格林公式：
则由（2）得： （3）
又由C-R条件：，

二、复连通与复通通柯西定理
1、复通域
若域内存在奇点，可作一些半径适当的闭合曲线将这些奇点分离开，剩下的这些带孔的区域称为复连通区域。
简而言之，只要有一个有不属于闭合曲线所围区域内的点，这样的区域就称为复连通区域。
2、复通域的柯西定理
若是闭复通域上的单值解析函数，为区域的外境界线，诸为区域内境界线，则有： （4）
其中，积分均沿境界线的正向进行。
境界线：规定：沿境界线正向前进时，区域总在观察者左方。
内境界线：即将奇点挖去的那些闭合曲线。
证明：
以一个奇点的情况为例：（如图：）
设是挖去奇点的内境界线，为外境界线，若想用“剪子”沿AB剪开，使内外境线相连，于是该多连通域就变为单连域了。
此时有（由单连域柯西定理）：
(5)
但（同一路径积分反向相反）
（6）
与（4）吻合
同理可证明挖去几个奇点的多连通域。
小结：
1、闭单通域上的解析函数沿境界线（或域内任一单闭曲线）积分为零。
2、闭复通域上的解析函数沿所有内外境界线正方向闭积分和为零。
3、闭复通域上的解析函数沿外境界线积分等于所有内境界线沿逆时针方向闭积分之和
4、解析函数在单通域或复通域上的积分与路径无关（只与起始、终点有关）。
第3节 不定积分
一、不定积分的意义
由上节第4点（小结），若始点固定、终点为任意的，则：在连通域上
（1）
就定义了一个单值解析函数；并称是的一个原函数。
且有： （2）
（2）式表明：解析函数的路径积分等于其原函数的改变量。
二、一个重要的积分：
考察积分： （1）
其中：整数：
此积分可分两种情况：
1、不包围点（即围域不含点），则被积分函数在所围区域是解析的,此时有
2.若围域含有，则又分两种情况：
（1）当>0时，在围域是解析函数：。
当<0时，在围域不是解析函数。
但由上节知识，可以为圆心。为半径作一回路（将挖去）。于是上述积分可划为：
（2）
在上，

（a）若则：|
（b）若则：
综上所述：

或：

2.4 柯西公式
一．柯西公式：
若在闭单通区域上解析，为的边界线，为内的任一点，则有柯西公式：
（1）
亦可写为：
（2）
二．证明：
由上节知： （3）
由（1）—（3）得：
（4）
显然若（4）成立，则（1）成立
一般函数 在处不连续（是的奇点）
所以可以为心（任意小）为半径作圆由（第二节）柯西定律：
（5）

若令即 ，

即（5）左边=0 （而左边与无关）. 所以（4）成立

三．柯西公式的一般表示：
由于是任意的，可令。此时（作为积分变量），则柯西公式可表示为：
(6)
另：
（7）
柯西公式的一个重要应用是：
（1） 式的右边，若被积函数可写为则积分可直接得出 （被积函数是是只要能设法变换为即可用柯西公式求解）

作业： （1）求：
（2）求：

第四节 几种特殊类型函数的积分
要求：会求有理分式为简单分式之和，并且会计算简单有理函数，简单三角有理函数的积分。
重点：有理函数的积分方法。
难点：较复杂三角有理函数的积分。
作业：习题4－4（）
下面讨论几种比较简单的特殊类型函数的积分．
一、有理函数积分
有理函数 设两个多项式，

其中为正整数，系数为实数，．
有理函数按分子、分母的最高次数的不同可分三种：
（1）当时，是一个多项式，称有理整函数；
（2）当时，是有理真分式（总假设不可约）；
（3）当时，是有理假分式．
有理整函数积分会求，对有理假分式可用多项式除法化为多项式与真分式之和．因此要解决有理函数的积分问题，只要解决有理真分式积分就可以了．
首先看一个事实，有理真分式的和仍为有理真分式，有理真分式可以化为简单分式之和． 如 ，
所以解决有理真分式积分问题，首先要将真分式分解成简单分式之和形式．从上例看出简单分式的分母都是的因子，因此真分式的分解问题从分母入手．
1．真分式的分解
设多项式在实数范围内分解成一次因式和二次质因式的乘积为

（其中），
那么真分式可以分解成如下部分分式（简单分式）之和：

．
其中都是常数．
注意
（1）分母中，如果有因子，那么分解后有下列个部分分式之和
，
特别当时，分解后只有一项．
如 ；
（2）分母中如果有因子（），那么分解后有下列个部分之式之和，
如 ；
（3）这种分解式是唯一的，在实际应用中，注意分解式的形式和规律；
（4）部分分式有四种形式：
① ，② ，③ ，④ ．
因此有理真分式积分问题可归纳为两点
（1）依分解定理将真分式化为部分分式之和后如何确定各常数；
（2）四种部分分式积分如何计算．

2．真分式的分解举例
例1．分解为部分分式．
解 因为 ，
去分母，得 （*）
令，得；令，得，将代入（*）中，并再令，
有，即，
于是 ．
此种确定A,B,C值的方法称赋值法，上例中的方法称比较系数法．
例2．分解为部分分式．
解 因为，
去分母，得
，
比较系数 ； ；
；，
得 ．

3．部分分式的积分
（1），
（2）
（3），
因为 ，
其中．
又因为 ，，
所以
．
例如

．
（4） ．
分母配方，得 ，
因为，所以，
设，令，，，
于是
．
4．有理函数积分
例3．计算不定积分．
解 因为，
所以 ．
例4．计算不定积分．
解

．
从上述例子不难看出，有理函数积分的结果不外乎是有理函数、对数函数、反三角函数，即有理函数的原函数为初等函数．
例5．计算不定积分．
解 因为，
又

令，得；令，得；令，得．
所以 ．
于是 =
．
例6．计算不定积分．
解

另一种方法，

．

二、三角函数有理式的积分
三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数．由于各种三角函数都可用及的有理式表示，故三角函数有理式就是的有理式，记作．
例如 ，．
1．万能代换
例1．计算不定积分．
解 令，，则
，
，
即 ，，，
于是
=．

说明
变量代换对三角函数有理式的积分都可以应用，即三角函数有理式的积分
，
化为有理式积分，但是得到的有理函数积分往往比较繁，因此这种代换不一定是最简单的代换．
例2．计算不定积分．
解

．
例3．计算不定积分 ．
解

．

2．非三角有理函数的积分
例4．计算不定积分．
解 被积函数不是三角有理式，所以不可用万能代换，因此用分部积分法计算．
因为
所以，设；则，
于是
．
例5．计算不定积分．
解 被积函数非三角有理式，用分部积分法计算．
设，，
于是

三、简单无理函数积分
表达式中出现根式的函数叫无理函数．
如 ，，，
只讨论，及这两类函数积分．主要目的就是去掉根号，变为有理函数的积分．
1．形如的积分
令，则，，
于是
为的有理函数积分．
例1．计算不定积分．
解 令,
于是
．
例2．计算不定积分．
解 令,
于是

．
2．形如积分
令．
例3．计算不定积分．
解 因为 =
令，
于是 =
（其中）．
四．关于积分问题的一些补充说明
1．求不定积分的技巧问题
从上面讨论看出，求同一个不定积分往往不止一种方法，因此，求不定积分时应根据具体问题，选择最简单的方法，解题时应注意技巧．
如 ，虽然是型，但是如果能先把它化为就立即得到结果，而比用代换简单．
再如 ，虽然是有理函数积分，但是不用有理函数一般积分法更简单，象这样的技巧，只能做相当的练习后才能掌握．
2．把积分表示为初等函数的问题
前面我们知道，如果连续，则它的原函数一定存在，因为初等函数在其定义区间内是连续的，所以初等函数在它定义区间内必有原函数．但是必须清楚原函数存在是一回事，原函数是否能用初等函数表示又是另一回事．
事实上确实有这样的初等函数，它们的原函数是存在的，但是这些原函数却不能用初等函数表示．
如 ，，，等．
如果初等函数的原函数不是初等函数，我们就说不能表示为有限形式．
3．积分表的使用
首先要从头到尾看一看积分表，了解表中有哪些类型的积分公式，做到心中有数，以便对号入座，对于欲求的不定积分，再根据其所属类型去查积分表，或经简单变形后，再去查积分．
（1）直接查表；
（2）作变量代换后再查表．

第三章 复变函数的积分
本章要求
1．正确理解复积分的概念，掌握复积分的性质及一般计算法.
2．明确柯西积分定理及其几种推广的条件和结论.能运用柯西定理、柯西公式、高阶导数公式来求积分.
3．掌握柯西不等式、刘维尔定理、代数学基本定理.知道摩勒拉定理与柯西定理组成了解析函数的一个充要条件.
4．明确调和函数与共轭调和函数的概念，会由已知的调和函数和求出解析函数．
本章重点 柯西定理、柯西公式、高阶导数公式及其应用.
本章难点 柯西定理、柯西公式、刘维尔定理.
§3.1 复积分的概念及其简单性质
1.复变函数积分的定义
定义3.1 设有向曲线C：

以为起点, 为终点, 沿C有定义.顺着C从到的方向在C上取分点:

把曲线C分成若干个弧段(图3.1),在从到的每一段上任取一点.作成和数:

其中.当分点无限增多.而这些弧段长度的最大值趋于零时,如果和数的极限存在且等于J,则称沿C(从到)可积,而称J为沿C(从到)的积分,并以记号表示:

C称为积分路径. 表示沿C的正方向的积分, 表示沿C的负方向的积分.
如果J存在,我们一般不能把J写成的形式,因为J的值不仅和有关,而且和积分路径C有关.
显然, 沿曲线C可积的必要条件为沿C有界.另一方面,我们有
定理3.1 若沿曲线C连续,则沿C可积,且
(3.1)
注: 公式可以在形式上看成函数与微分相乘后所得到的.
例3.1 命C表连接点及的任一曲线,试证

证:
(1) 因,故,即
(2) 因,选,则得
但我们又可选,则得
由定理3.1,可知积分存在,因而的极限存在,且应与及的极限相等,从而应与的极限相等.今
所以
注 当C为闭曲线时,
2. 复变函数积分的计算问题
设有光滑曲线C: ,
这就表示在上连续且有不为零的导数.又设沿C连续.今,
由公式(3.1)我们有

即 (3.2)
或 (3.3)
用公式(3.2)或(3.3) 计算复变函数的积分,是从积分路径C的参数方程着手,称为参数方程法.(3. 2)或(3.3)称为复积分的变量代换公式.
例3.2 (重要的常用例子)

这里C表示以为心,为半径的圆周.(注意;积分值与均无关)
证 C的参数方程为:故

当为整数且时,

3. 复变函数积分的基本性质
设沿曲线C连续,则有下列与数学分析中的曲线积分相类似的性质;
是常数;
(2)
(3) 其中C由曲线和衔接而成;
(4)
(5) 这里表示弧长的微分,即

要得到(5)式,只要把下列不等式取极限:

定理3.2(积分估值) 沿曲线,连续,且有正数使,为之长,则

证 由不等式

取极限即得证.
例3.3 试证 积分路径是连接和的直线段.
证 的参数方程为

即
沿，连续，且

而之长为2.由定理3.2,
例3.4 试证

证 若则(例3.2),不等式成立;若,,则由负积分的基本性质(5),

注 数学分析中实变函数的积分中值定理,不能直接推广到负积分上来.因由

而，即可看出.
3.2 柯西积分定理
1. 柯西积分定理
定理3.3 设在平面上的单连通区域内解析, 为内任一条围线, 则

要证明这个定理是比较困难的.
1851年，黎曼在附加假设“在内连续”的条件下，得到一个如下的简单证明.
黎曼证明 令，由公式（3.1）,

而在内连续,导致在内连续,并适合条件:
有格林定理,

故得
现在先由柯西积分定理，可以得到
定理3.4 设在平面上的单连通区域内解析, 为内任一闭曲线(不必是简单的),则

证 因为总可以看承区域内有限多条围线衔接而成(如图3.3).再由复积分的基本性质（3）及柯西积分定理3.3,即可得证.
图3.3

C

C

推论3.5 设在平面上的单连通区域内解析,则在内积分与路径无关,即对内任意两点与,积分: 之值,不依赖于内连接起点与终点的曲线.
3不定积分
柯西积分定理3.3已经回答了积分与路径无关的问题,这就是说,如果在单连通区域D内解析,则沿D内任一曲线L的积分只与其起点和终点有关.因此当起点固定时,这积分就在D内定义了一个变上限z的单值函数,我们把它记成

定理3.6 设在单连通区域内解析,则由(3.10)定义的函数在D内解析,且
定理3.7 设
(1) 在单连通区域D内连续;
(2) 沿着区域D内任一围线的积分值为零(从而,积分与路径无关),
则函数(为D内的一定点)在D内解析,且
这与数学分析相仿,我们有
定义3.2在区域D内,如果连续,则称合条件的函数的的一个不顶积分或原函数(显然 必在D内解析)
定理3.8在定理3.6或定理3.7的条件下,如果为的单连通区域D的任何一个原函数,则(3.12)
例3.6在单连通区域D; 内,函数是的一个原函数,而在D内解析,故由定理3.8有(3.12)
4柯西积分定理的推广
首先我们来证明柯西积分定理3.3与下面的定理是等价的.
定理3.3’ 设是一条围线,D为C之内部,发在闭域=D+C上解析则=0证(1)由定理3.3推证定理3.3’
由定理的假设, 必在平面上一含的单连通区域内解析,于是由定理就有.
(2) 由定理推证定理
由定理的假设:“在单连通区域内解析，为内任意一条围线”，今设为之内部，则必在闭域上解析.于是由定理3.3¢就有：
下面的定理要比定理更一般，它是从一个方面推广了的柯西积分定理.
定理3.9 设是一条围线，为之内部，在内解析，在上连续（也可以说“连续到”），则：
因沿连续，故积分存在.在的内部作围线逼近于，由定理3.3¢知.我们希望取极限而得出所要的结论.这种想法提供了证明本定理的一个线索,但严格的证明都比较麻烦,故从略不证.
例 3.7 计算下列积分:
(1) ; (2) ,
其中为右半圆周: ,,起点为,终点为;
(3) ,其中取那一支.
5. 柯西积分定理推广到复围线的情形
下面我们从另一个方面推广柯西积分定理,即将柯西积分定理从以一条(单)围线为边界的有界单连通区域,推广到以多条围线组成的”复围线”为边界的有界多连通区域.
定义3.3 考虑条围线,其中中每一条都在其余各条的外部,而它们又全都在的内部. 在的内部同时又 在外部的点集构成一个有界的多连通区域,以为它的边界.在这种情况下,我们称区域的边界是一条复围线,它包括取正方向的,以及取负方向的.换句话说,假如观察者沿复围线的正方向绕行时,区域的点总在它的左手边(图3.10是的情形).
定理3.10 设是由复围线所围成的有界多连通区域,在内解析,在上连续,则:
,
或写成: , (3.13)
或写成 . (3.14)
证 取条互不相交且全在内(端点除外)的光滑弧作为割线.用它们顺次的与连接.设想将沿割线割破,于是就被分成两个单连通区域(图3.10是的情形),其边界各是一条围线,分别记为和.而由定理3.9,我们有

将这两个等式想加,并注意到沿着的积分,各从相反的两个方向取了一次,在相加的过程中互相抵消.于是,由复积分的基本性质(3)就得到
.
从而有(3.13)和(3.14).
例3.8 设为围线内部一点,则
证 以为圆心画圆周,使全含于的内部,则由(3.14)

再由例3.2即得要证明的结论.

§3.3 柯西积分公式及其推论
1.      柯西积分公式
我们利用柯西积分定理(复围线形式)导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式.
定理3.11 设区域的边界是围线(或复围线),在内解析,在上连续,则有:
(3.15)
这就是柯西积分公式.它是解析函数的积分表达式,因而是今后我们研究解析函数的重要工具.
定义3.4在定理3.11的条件下, 称为柯西积分.
思考题 在定理3.11的条件下,如果,则柯西积分之值如何?
柯西积分公式(3.15)可以改写成

借此公式可以计算某些围线积分(指路径是围线的积分).
例 3.10 设C为圆周,则按(3.15),

注意到在闭圆上解析,定理3.11的条件满足,故公式(3.15)可以应用,因而上面的计算是正确的.
定理3.11的特殊情形,有如下的解析函数的平均值定理.
定理3.12 如果函数在圆内解析,在闭圆上连续,则
既在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数.
证 设C表圆周,则

或
由此
根据柯西积分公式(3.15)

根据的连续性，对