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构造图形法证明不等式

构造图形法不但是证明不等式常用的方法,而且是一种重要的数学思想.对于用一般的方法很难解的题型,若将代数式变形,构造图形,降低思维难度;从多角度、多侧面、多结构的思维方向去研究,探寻解决问题的最佳方法,它有助于将所学的知识融会贯通,并且能沟通数学分支之间的内在联系.
应用构造图形法证明不等式,就是根据问题的内在联系或数式的结构特征,通过唤起表象和再造想象,赋以适当的几何意义,构造出与之相应的几何图形或将问题的条件及数量关系直接在图中表现出来,并利用图形之间的关系推理.系统的掌握构图法的特征及应用,对提高解题能力、培养创造力有着积极的意义.以下将从三大方面加以说明.

一、构造平面几何模型

作为基础的构图法，通过代数式的变形，从而使数量关系具有几何意义.以下将从构造直角三角形、构造正三角形、构造矩形、构造圆对此加以说明.
（一）构造直角三角形证明不等式
例1 已知，为相异实数，求证：.
C
B
D
b
a-b
f(a)
A
分析 待证式实际上为，故可构造共直角边为1的两个直角三角形.
证明 ,假设 ,构造直角，
如图1,使得, ,则,
在上取一点，使.
则;
图1
在中，显然有
即．
同样，时，可证得
综上所述.

（二）构造正三角形证明不等式
例2 正数满足 ，求证：.
分析 条件中的数量关系所表示的“形”的特征是相等的三条线段，可联想起以为边长的正三角形，求结论中的两条线段积的形式，可分别看成相应的三角形面积的特征，故构造正三角形，根据它们之间的面积关系找出之间的关系.
A
M
B
N
C
P
m
a
n
b
p
c
证明 如图2，构造以k为边长的正三角形，分别在其各边上取点，使得,
则++
即
.
图2

（三）构造矩形证明不等式
例3 已知都是正数，且，求证：.
证明 构造边长分别是的矩形如图3，设,,,.
A
B
C
Q
P
a
n
b
b
m
n
a
m
E
F
D
O
,

即
图3
所以
又，即
所以
综上所得：.
（四） 构造圆证明不等式
例4 已知，,
求证：.
证明 由，z可变形为

=.
故可设为圆上的点到该圆上的定点(-3, 4) 和(3, -4)的距离之和.因此本题只需要证明圆的内接的两边之和不超过.
如图4，由几何知识我们知道：底边一定的圆内接三角形
的周长以等腰三角形的周长为最大.不难求出，
P(x,y)
C(4,3)
B(3,-4)
O
A(-3,4)
x
y
此时顶点的坐标（4，3）或（-4，-3）,故有,

=,
或
=,
图4
.

二、构造立体几何模型
构造立体几何图形，使题设条件中的数量关系能直接体现在图形中，以下
从构造长方体、三棱锥来说明.
例5 已知均为正数，且，求证：.
证明如图6,设，则 ，由上题可知，构造一长方体，且与棱的夹角分别为,则可得,
A′
C′
B′
D′
A
B
C
D

图6

（二）构造三棱锥证明不等式
例6 已知，求证:.
分析 其几何意义表示为以为两边，夹角为的三角形第三边的平方。这就要求我们以后遇到公式时，尽量的熟悉它的几何意义.
证明 如图7，作三棱锥使

B
C
A
S
z
x
y
同理 ,
,
又因为，在中，
所以.

图7
三、构造圆锥曲线证明不等式

坐标系的建立使得解析几何与图形有机的结合起来，利用公式的几何意义解
题，可获得思路与方法方面出奇制胜的效果.以下将从两个方面说明.
（一）利用“点到直线的距离公式”构图证明不等式
例7 若，且满足
,求证：.
分析 由已知条件中的容易联想构造点,并且
条件等式可化为，
于是求证式可化为，右端是原点与点的距离，左端是原点到以上两点所在直线的距离.
证明 如图8,设,为原点,作,则在坐标系中.直线的方程为
A
B
H
O
x
y
由点到的距离知,

得
与条件等式比较，得
显然, .
图8
所以 .

例8 已知，求证：.
分析 此题从形式上看是一个代数不等式问题，但从纯代数方面来证是很复杂的，但联想到距离公式可发现表示点到点的距离的平方，又，于是可构造解析几何模型，以(0,0)为原点建立直角坐标系,作直线，则在直线上，在直线外.
又；而到直线的距离为，
而，
于是有，
即．

（二）构造椭圆证明不等式
例9 已知，求证：.
分析 因为反映的是椭圆方程的复数形式
故此题可化为求证椭圆上的点到点的距离最大值为.
证明 设为椭圆上任一点，则

，即.

以上例子可以看出用构造图形法证明不等式，形象直观，简洁明快，可使抽象问题具体化，而且其应用广泛，方法灵活，掌握这种思想的关键是多类比、多联想，挖掘所给代数式、三角式的几何意义，充分利用已有图形的几何性质，这就要我们打破思维定势，激发灵感，寻求解决问题的最佳途径.这一点，充分说明了求异思想的重要性.
但是，它不能完全代替严格的逻辑证明，而且在具体应用过程中，若不注意，容易产生以局部带整体、以特殊带一般而致使出错.因此，在应用构图法证明不等式时，勿忘图形的完整性、准确性、一般性、存在性.