题相似三角形判定定理(三.doc

题相似三角形判定定理(三)（全面版）资料
课 题：相似三角形判定定理（三）
[教学目标]
（一）知识与技能
理解相似三角形的概念，掌握判定三角形相似的判定定理2。
（二）过程与方法
培养学生探究新知识，提高分析问题和解决问题的能力，增进发放思维能力和现有知识区向最近发展区迁延的能力。
（三）情感态度与价值观
加强学生对斩知识探究的兴趣，渗透几何中理性思维的思想。
[教学重点]
相似三角形的判定定理2与判定三角形相似的预备定理的区别。
[教学难点]
相似三角形约定义和判定三角形相似的判定定理2的应用。
[教学方法]
采用直观、类比的方法
[教学过程]
一.复习相似三角形的概念和已学过的判定方法．
（1）预备定理要求有三角形一边的平行线
（2）判定定理

二.类比探索两个三角形相似的判定方法

△ABC与△A′B′C′中，若

三.判定定理2
如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应边成比例，并且夹角相等，
那么这两个三角形相似。
简单地说成：两边对应边成比例且夹角相等，两个三角形相似。
四.定理应用
例1.如图在三角形PAB中，C，D分别是边PA，PB上的点，PA*PC=PB*PD
求证：∽⊿PAB
证明：
∽⊿PAB

例2. 如图在三角形ABC与三角形AED中
求证：⊿ABC∽⊿AED

例3在边长为1个单位的方格纸上，有三角形ABC与三角形FED，
求证：⊿ABC∽⊿AED
证明：

练习 P62
师生共同小结
1．三角形相似的三个判定定理的内容及证明方法．

2．结合图形和已知寻找对应元素相等的方法，注意变式条件，如由已知四条线段计算得出对应边成比例，或由已知等积式变形得出对应边成比例等．

[布置作业] A 册 P16 习题28.4（2）

第十八章《勾股定理》
1. 已知等腰三角形的腰长为6，底为4，则此三角形的面积为 。
2. 已知a. b. c是三角形的三边长，且，则此三角形的形状是 。
3. 直角三角形的周长为12cm,斜边长为5cm,则其面积为
4. 若三角形ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则ΔABC的周长为
5. 若ΔABC的三边长a. b. c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c , 则ΔABC的面积为

6. 若等腰三角形ABC的腰AB=2，顶角∠BAC=1200，则以BC为边的正方形的面积为

7. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD=
8. 如图所示，一棵大树在距地6 cm的B处折断，着地处A与树根C距离为8m，则原树高为—————— 。

（8题图） （13题图）
9. 直角三角形的两直角边的比为3：4，斜边长为30，则此三角形的面积是——————。
10. 一个圆形井口的直径是10cm.如果用一个正方形井盖恰好盖住它，则正方形井盖对角线的长是——————
11. ————————————————。
12. 有两棵树，一颗高7米，另一颗高2米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一颗树的树梢，至少飞了—————— 米。
13. ，如图，用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个较大的正方形，那么它们三者面积之间的关系用式子可表示为_____________________________，整理后即为_________________________
14. .以下列各组数为边长：①12，16，20. ②10，12，13. ③ 15，8，17. ④3，5，7. ⑤9，40，41.其中能构成直角三角形的有—————— （填序号）
15. 在△ABC中，∠A=90°，BC=3，则AB²+BC²+CA²= ———————————
16. 如图一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只蚂蚁从底部点A爬到B处的最短路径长为

17. 一个长方体的同一顶点的三条棱长分别为3. 4. 12，则这个长方体内能容下的最长木棒的长为

18. 如图，长方形ABCD中，AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将ΔADE折叠，使点D恰好落在边BC上的点F，求CE的长。

19. 如图，已知△ABC中，∠B=450，∠C=300，AB= ，求AC的长？

20. 如图四边形ABCD是正方形，AE= AB,BF= BC, 求证：DE⊥EF

21. 小明的叔叔家承包了一个矩形养鱼池，已知其面积为，其对角线长为10m，为建起栅栏，需要计算这个矩形养鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？

22. 如图18．1-13，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠CBD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面积．（共10分）

23. 如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地面积，以便计算产量。小明测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又∠B=900，求此土地面积。

24. 为了丰富少年儿童业余生活，某小区在如图所示AB所在直线建一图书馆，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，且CA┴AB于A,DB┴AB于B,已知AB=25km,DB=10km,AC=15m,试问图书馆应建在距离点A多少km处时：
①能使它到两所学校的距离相等？
②能使它到两所学校的距离和最小？

25. 某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园．如图18．1-14所示，∠ACB=90°，AC=80m，BC=60m．若线段CD为一条水渠，且D在边AB上，已知水渠的造价是10元/米，则D点在距A点多远处时此水渠的造价最低？最低造价是多少？在图上标出D点．

26. 一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°，方向上，轮船航行2小时后，到达B处，在B处测得灯塔C北偏西60°方向上，当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，如图所示，求轮船与灯塔C的距离（结果保留一位小数）？

27. 24．如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？（共12分）

A
B
C
D
第24题图

28. 如图所示，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

- 1 -
第十八章 勾股定理测试题
满分:100分,姓名: 班级: 学号 .
一、精心选一选(每小题 4分,共 40分
1. 在三边分别为下列长度的三角形中,不是直角三角形的是( A.5, 12, 13 B.4, 5, 7 C.2, 3, 5 D.1, 2, 3
2. 有五根小木棒,其长度分别为 7, 15, 20, 24, 25,现将他们摆成两个直角三角形,其 中正确的摆放是(

724

25
20
7
15
2024
25
15
7
25
20
24
(A

(B
(C

7. 正方体盒子的棱长为 2, BC 的中点为 M , 一只蚂蚁从 A 点爬行到 M 点的最短距离为 ( A. B. C.5 D.2+5
8. 若三角形 ABC 中,∠ A ∶∠ B ∶∠ C=2∶ 1∶ 1,a 、 b 、 c 分别是∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边,则 下列等式中,成立的是(
B
C
第 6题
B
A
C
A
B
C
M
第 7题
- 2 -

第 14题图
20
2
A
B
第 16题

(第 15题图
A. 222c b a =+ B.222c a = C.222a c = D.222b c = 9. 在△ ABC 中,∠ C=90°,如果 AB=10, BC ∶ AC=3∶ 4,则 BC=( A.6 B.8 C.10 D、以上都不对 10. 将一根长 24厘米的筷子,置于底面直径为 6厘米,高为 10厘米的圆柱形水杯中,则 筷子露在杯子外面的长度至少为( C 厘米
A.14 B.16 C.24﹣ D.24+
二、细心填一填(每空 3分,满分 18分
11. 有 一个 三 角形 的两 条 边长 分别 为 3、 4,要 使三 角 形为 直角 三 角形 ,则 第 三 边 为 .
12. 等边三角形的边长为 6,则它的高是 .
13. 命题:“角平分线上的点到角的两边的距离相等” ,它的逆命题是 ______________________________________________________________________ . 14. 如图, 校园内有一块长方形花圃, 为了从 A 走到 B , 有极少数同学为了避开拐角而走“捷 径”, 在花圃内走出了一条“路” AB , 他们仅仅少走了 m的路, 却踩伤了花草 . 这种不文明现象应纠正哦 .
15. 如图 , 三个正方形围成一个直角三角形, 81、 400分别为所在正方形的面积,则图中字 母 A
16. 如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别为 20dm 、 3dm 、 2dm , A 和 B 是 这个台阶两个相对的端点, A 点有一只蚂蚁,想到 B 点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台 阶面爬到 B 点最短路程是 dm;
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三、耐心做一做:(本大题共 4题,共 42分 17.(10分 在数轴上作出表示 29的点 .
18.(10分 如图,一艘帆船由于风向的原因,先向正东方航行了 160千米,然后向正北方
航行了 120千米,这时它离出发点有多远?
19.(10分 如图一梯子 AB 长 2.5米,顶端 A 靠在墙 AC 上,这时梯子下端 B 与墙角 C 的距
离为 1.5米,梯子滑动后停在 DE 的位置上,测得 BD 长为 0.5米,求梯子顶端 A 下落 了多少米?

第 18题图
A B
E
C
D 第 19题
第 17题图
x
- 4 -
20.(12分已知:如图,直线 y =kx+b与双曲线 y =
x
3在第一象限内相交于点 M(1, a 和
N(3,b,与 x 轴和 y 轴分别相交与点 A 和 B , OC ⊥ AB ,垂足为 C. ⑴求线段 AB 的长度; ⑵求 OC 的长 .

答案 :

13. 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上; 14.2; 15.481; 16.25.
17. 略; 18.407千米; 19.0. 5米;
20.a=3, b=1,直线:y =-x+4, A (4, 0 , B (0, 4 ⑴ AB=42;⑵ OC=22。
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第十八章 勾股定理
一、基础知识点: 1.勾股定理
内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为 a , b ,斜边为 c ,那么 222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理, 在西方称为毕达哥拉斯定理. 我国古代把直 角三角形中较短的直角边称为勾, 较长的直角边称为股, 斜边称为弦. 早在三千多年前, 周 朝数学家商高就提出了 “ 勾三, 股四, 弦五 ” 形式的勾股定理, 后来人们进一步发现并证明了 直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2. 勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ① 图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ② 根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:
方法一:4EFGH S S S ∆+=正 方 形 正 方 形 ABCD , 22
14( 2
ab b a c
⨯+-=,化简可证.
方法二:
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三 角形的面积与小正方形面积的和为 22
1422
S ab c ab c
=⨯
+=+ 大正方形面
积 为 22
2(
2
S a b a a b b =+=++ 所 以 2
2
2
a b c +=
方 法 三 :
1( ( 2
S a b a b =
+⋅+梯 形 , 2
112S 222ADE ABE S S ab c
∆∆=+=⋅
+
梯 形 ,化简得证
3. 勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系, 它只适用于直角三角形, 对于锐 角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征, 因而在应用勾股定理时, 必须明了所考察 的对象是直角三角形 4. 勾股定理的应用 ① 已知直角三角形的任意两边长,求第三边在 A B C ∆中, 90C
∠=︒,则
c
=
b
=
, a =
② 知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量

关系③ 可运用勾股定理解决一些实际问题 5. 勾股定理的逆定理
如果三角形三边长 a , b , c 满足 222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中 c 为 斜边
① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过 “ 数转 化为形 ” 来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和 22a b +与较长 边的平方 2c 作比较,若它们相等 时,以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形 ;若
b G E
D
C
B A b
a
c
b
a
c a
b
c
a
b a b
b
a
E
D C
B
A
222a b c +<, 时, 以 a , b , c 为三边的三角形是钝角三角形; 若 222
a b c +>, 时, 以 a , b ,
c
为三边的三角形是锐角三角形;
② 定理中 a , b , c 及 222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三 边长 a , b , c 满足 222a c b +=,那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是 b 为 斜边
③ 勾股定理的逆定理在用问题描述时, 不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和 时,这个三角形是直角三角形
6. 勾股数 ① 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数, 即 222a b c +=中, a , b , c 为 正整数时,称 a , b , c 为一组勾股数
② 记住常见的勾股数可以提高解题速度,如 3, 4, 5; 6,8,10; 5,12,13; 7, 24, 25等 ③ 用含字母的代数式表示 n 组勾股数: 221, 2, 1n n n -+(2, n ≥n 为正整数 ;
2221, 22, 221n n n n n ++++(n 为正整数 2222, 2, m n mn m n -+(, m n >m , n 为正整数 7.勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的 证明问题. 在使用勾股定理时, 必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中, 斜边 和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线 ,构造 直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.
8. .勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角 三角形, 在具体推算过程中, 应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较, 切不可不加思 考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 9. 勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不 可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形, 又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决.常 见 图 形 :
A
B
C
D C B
A A
D
B C
10、互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设, 这样的两个命题叫做互逆 命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 二、 经典例题精讲
题型一:直接考查勾股定理 例1. 在 A B C ∆中, 90C ∠=︒.
⑴已知 6AC =, 8B C =.求 AB 的长
⑵已知 17AB =, 15A C =,求 BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c +=
解:⑴ 10AB =
C
B D
A

⑵ 8 BC ==

详细解题步骤如下:
解:设正方形
ABCD
的边长为 4a , 则 BE=CE=2 a ,AF=3 a ,BF= a
在 Rt △ CDE 中, DE 2=CD2+CE2=(4a 2+(2 a 2=20 a 2 同理 EF 2
=5a 2
, DF2
=25a
2
在△ DEF 中, EF 2+ DE2=5a 2+ 20a 2=25a 2=DF2 ∴△ DEF 是直角三角形,且∠ DEF=90°.
注:本题利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必练习题。 题型四 :利用勾股定理求线段长度——
例题 4 如图 4,已知长方形 ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD 上取一点 E ,将△ ADE 折 叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F ,求 CE 的长 . 解析:解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是
关键。

详细解题过程如下:
解:根据题意得 Rt △ ADE ≌ Rt △ AEF
∴∠ AFE=90°, AF=10cm, EF=DE 设 CE=x cm ,
则 DE=EF=CD-CE=8-x 在 Rt △ ABF 中由勾股定理得: AB 2+BF2=AF2,即 82+BF2=102, ∴ BF=6cm
∴ CF=BC-BF=10-6=4(cm 在 Rt △ ECF 中由勾股定理可得: EF 2
=CE2
+CF2
,即 (8-x 2
=x 2
+42
∴ 64-16x +x 2=2+16 ∴ x =3(cm,即 CE=3 cm
注:本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。 题型五:利用勾股定理逆定理判断垂直——

例题 5 如图 5, 王师傅想要检测桌子的表面 AD 边是否垂直与 AB 边和 C D 边,他测得 AD=80cm, AB=60cm, BD=100cm, AD 边与 AB 边垂直吗?怎样去 验证 AD 边与 CD 边是否垂直?
解析:由于实物一般比较大, 长度不容易用直尺来方便测量。 我们通常截取部分长度来 验证。如图 4,矩形 ABCD 表示桌面形状,在 AB 上截取 AM=12cm,在 AD 上截取 AN=9cm(想想 为什么要设为这两个长度? ,连结 MN ,测量 MN 的长度。
①如果 MN=15,则 AM 2
+AN2
=MN2
, 所以 AD 边与
AB 边垂直;
②如果 MN=a ≠ 15, 则 92+122=81+144=225, a 2≠ 225, 即 92+122≠ a 2,所以∠ A 不是直角。 利用勾股定理解决实际问题——

例题 6 有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高 4.5米 的墙上,任何东西只要移至 5米以内,灯就自动打开,一个身高 1. 5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?
解析:首先要弄清楚人走过去,是头先距离灯 5米还是脚先距 离灯 5米,可想而知应该是头先距离灯 5米。转化为数学模型,如 图 6 所示, A 点表示控制灯, BM 表示人的高度, BC ∥ MN,BC ⊥ AN 当
头(B 点距离 A 有 5米时,求 BC 的长度。已知 AN=4.5米 , 所以 AC=3米,由勾股定理,可 计算 BC=4米 . 即使要走到离门 4米的时候灯刚好打开。
题型六 :旋转问题:
例 1、 如图, △
ABC 是直角三角形, BC
是斜边,
将△ ABP 绕点 A 逆时针旋转后, 能与△ AC P ′重合, 若 AP=3,求 PP ′的长。

变式 1:如图, P 是等边三角形 ABC 内一点, PA=2,PB=求△ ABC 的边长 . 分析:利用旋转变换,将△ BPA 绕点 B 逆时针选择 60°,将三条线段集中到同一个三角形中, 根据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形 .
变式 2、如图,△ ABC 为等腰直角三角形,∠ BAC=90°, E 、 F 是 BC 上的点,且∠ EAF=45°, 试探究 2
2
2
BE CF EF 、 、 间的关系,并说明理由 .
题型七 :关于翻折问题
例 1、如图,矩形纸片 ABCD 的边 AB=10cm, BC=6cm, E 为 BC 上一点,将矩形纸片沿 AE 折 叠,点 B 恰好落在 CD 边上的点 G 处,求 BE 的长 .
变式:如图, AD 是△ ABC 的中线,∠ ADC=45°,把△ ADC 沿直线 AD 翻折,点 C 落在点 C ’ 的 位 置 , BC=4,求 BC ’的长 .

题型八 :关于勾股定理在实际中的应用 :

例 1、如图，公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇，点 A 处有一所中学，AP=160 米，点 A 到公路 MN 的距离为 80 米，假使拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18 千米/ 小时，那么学校受到影响的时间为多少？ 题型九：关于最短性问题 例 5、如右图 1－19，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处， 它发现在自己的正上方油罐上边缘的 B 处有一只害虫， 便决定捕捉这只害虫， 为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从 背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问 壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π 取 3.14，结果保留 1 位小数，可以用 计算器计算）变式：如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有面都分为 9 个小正方 形，其边长都是 1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点， 最少要花几秒钟？ 三、课后训练： 一、填空题 1．如图(1，在高 2 米，坡角为 30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米． D C D B E O 第 3 题图 图(1 2．种盛饮料的圆柱形杯（如图） ，测得内部底面半径为 2.5 ㎝，高为 12 ㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露 出 4.6 ㎝，问吸管要做 ㎝。 3．已知：如图，△ABC 中，∠C = 90° ，点 O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB， 点 D、E、F 分别是垂足，且 BC = 8cm，CA = 6cm，则点 O 到三边 AB，AC 和 BC 的距离分别等 于 cm 4．在一棵树的 10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处。另一只爬到树顶 D 后 直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_____________________米。 A 20 5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为 20dm、3dm、 3 2 2dm，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是_____________. 二、选择题 B 1．已知一个 Rt△的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（ ） A、25 B、14 C、7 D、7 或 25 2．Rt△一直角边的长为 11，另两边为自然数，则 Rt△的周长为（ ） A、121 B、120 C、132 D、不能确定 3．如果 Rt△两直角边的比为 5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ） A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169 4．已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a+b=14cm，c=10cm，则 Rt△ABC 的面积是（ ） 2 2 2 2 A、24cm B、36cm C、48cm D、60cm 5．等腰三角形底边上的高为 8，周长为 32，则三角形的面积为（ ） A、56 B、48 C、40 D、32 C A 第 4 题图 A F B
6．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米 E D A 售价 a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A、450a 元 20m B、225a 元 150° 30m C、150a 元 D、300a 元 B 第 7 题图 第 6 题图 F C 7．已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则△ABE 的面积为（ ） 2 2 2 2 A、6cm B、8cm C、10cm D、12cm B 8．在△ABC 中，AB=15，AC=13，高 AD=12，则△ABC 的周长为 C A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33 9. 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为 1，则△ABC 是 （ ） A （A）直角三角形 (B锐角三角形 (C钝角三角形 (D以上答案都不对 三、计算 1、如图，A、B 是笔直公路 l 同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是 300m 和 500m，两村庄之间的距 2 2 离为 d(已知 d =400000m ，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？ B A l 2、如图 1-3-11，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角 顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合） ，在 AD 上适当移动三角板顶点 P： ①能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由. ②再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF 与 DC 的 延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE=2cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由. 四、思维训练： 1、如图所示是从长为 40cm、宽为 30cm 的矩形钢板的左上角截取一块长为 20cm，宽为 10cm 的矩形后，剩下 的一块下脚料。工人师傅要将它做适当的切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能 短的正方形工件， 请根据上述要求， 设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案 （在 图 2，3 中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹） 。 10cm 40cm 30cm 30cm
2、葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招， 就是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线—盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗？ 如果阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？ 如果树的周长为 3 cm，绕一圈升高 4cm，则它爬行路程是多少厘米？ 如果树的周长为 8 cm，绕一圈爬行 10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行 10 圈到达树顶，则树干高多少 厘米？ C 3 、 在 ， △ ABC 中 ， ∠ ACB=90 ° ， CD ⊥ AB 于 D, 求 证 ： 1 1 1 + = 。 2 2 BC AC CD 2 A D B

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第十八章 勾股定理测试题
满分:100分,姓名: 班级: 学号 .
一、精心选一选(每小题 4分,共 40分
1. 在三边分别为下列长度的三角形中,不是直角三角形的是( A.5, 12, 13 B.4, 5, 7 C.2, 3, 5 D.1, 2, 3
2. 有五根小木棒,其长度分别为 7, 15, 20, 24, 25,现将他们摆成两个直角三角形,其 中正确的摆放是(

724

25
20
7
15
2024
25
15
7
25
20
24
(A

(B
(C

7. 正方体盒子的棱长为 2, BC 的中点为 M , 一只蚂蚁从 A 点爬行到 M 点的最短距离为 ( A. B. C.5 D.2+5
8. 若三角形 ABC 中,∠ A ∶∠ B ∶∠ C=2∶ 1∶ 1,a 、 b 、 c 分别是∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边,则 下列等式中,成立的是(
B
C
第 6题
B
A
C
A
B
C
M
第 7题
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第 14题图
20
2
A
B
第 16题

(第 15题图
A. 222c b a =+ B.222c a = C.222a c = D.222b c = 9. 在△ ABC 中,∠ C=90°,如果 AB=10, BC ∶ AC=3∶ 4,则 BC=( A.6 B.8 C.10 D、以上都不对 10. 将一根长 24厘米的筷子,置于底面直径为 6厘米,高为 10厘米的圆柱形水杯中,则 筷子露在杯子外面的长度至少为( C 厘米
A.14 B.16 C.24﹣ D.24+
二、细心填一填(每空 3分,满分 18分
11. 有 一个 三 角形 的两 条 边长 分别 为 3、 4,要 使三 角 形为 直角 三 角形 ,则 第 三 边 为 .
12. 等边三角形的边长为 6,则它的高是 .
13. 命题:“角平分线上的点到角的两边的距离相等” ,它的逆命题是 ______________________________________________________________________ . 14. 如图, 校园内有一块长方形花圃, 为了从 A 走到 B , 有极少数同学为了避开拐角而走“捷 径”, 在花圃内走出了一条“路” AB , 他们仅仅少走了 m的路, 却踩伤了花草 . 这种不文明现象应纠正哦 .
15. 如图 , 三个正方形围成一个直角三角形, 81、 400分别为所在正方形的面积,则图中字 母 A
16. 如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别为 20dm 、 3dm 、 2dm , A 和 B 是 这个台阶两个相对的端点, A 点有一只蚂蚁,想到 B 点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台 阶面爬到 B 点最短路程是 dm;
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三、耐心做一做:(本大题共 4题,共 42分 17.(10分 在数轴上作出表示 29的点 .
18.(10分 如图,一艘帆船由于风向的原因,先向正东方航行了 160千米,然后向正北方
航行了 120千米,这时它离出发点有多远?
19.(10分 如图一梯子 AB 长 2.5米,顶端 A 靠在墙 AC 上,这时梯子下端 B 与墙角 C 的距
离为 1.5米,梯子滑动后停在 DE 的位置上,测得 BD 长为 0.5米,求梯子顶端 A 下落 了多少米?

第 18题图
A B
E
C
D 第 19题
第 17题图
x
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20.(12分已知:如图,直线 y =kx+b与双曲线 y =
x
3在第一象限内相交于点 M(1, a 和
N(3,b,与 x 轴和 y 轴分别相交与点 A 和 B , OC ⊥ AB ,垂足为 C. ⑴求线段 AB 的长度; ⑵求 OC 的长 .

答案 :

13. 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上; 14.2; 15.481; 16.25.
17. 略; 18.407千米; 19.0. 5米;
20.a=3, b=1,直线:y =-x+4, A (4, 0 , B (0, 4 ⑴ AB=42;⑵ OC=22。
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第十八章 勾股定理
18.1 勾股定理
第一课时 勾股定理（一）
一、回眸历史，感悟辉煌
【显示投影片1】
内容1：公元前572～前492年，古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯，他在一次朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中用了直角三角形三边的某种数量关系，请同学们一起来观察图中的地面（显示投影图片a），你能发现什么呢？（图片见课本图P72）．

【活动方略】
教师活动：操作投影仪，讲述毕达哥拉斯的故事（上网收集），引导学生观察该图片，发现问题．
学生活动：观察、听取老师的讲述，从中发现图片a中含有许多大大小小的等腰直角三角形．
内容2：用图片置示学生的发现，引导学生继续发现．
教师活动：教师提问：同学们，你能发现课本图18．1-1中的等腰直角三角形有什么性质吗？
学生活动：与同伴合作探讨，从网格图中不难发现下面的现象：图18．1-1右边的三个正方形SⅠ=SⅡ，SⅢ=SⅠ+SⅡ，即以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
教师小结：从图18-1-1，我们发现，等腰直角三角形的三边之间具有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和．
教师提问：上面我们研究了等腰直角三角形三边的性质，但是等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？

请同学们观察图18．1-2，设定每个小方格的面积均为1，（1）分别计算图中正方形A、B、C、A′、B′、C′的面积；（2）观察其中的规律，你能得出什么结论？与同伴交流．
学生活动：分四人小组，讨论，并踊跃发表自己的看法．
思路点拨：实际上，以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积．
【设计意图】通过历史情境引入，使学生感受到古代文明的成就．在大自然中，看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的哲理，激发学生的求知欲．
二、合作探究，体验发现
【问题牵引】
猜想：如果直角三角形