高等数学第二章.ppt

大连理工大学出版社,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高 等 数 学,新世纪高职高专教材编审委员会组编,主编 关革强,第,2,章 导数与微分,本章学习目标,掌握导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数可导性与连续性之间的关系，能用导数描述一些物理量的变化率；熟悉导数和微分的运算法则以及导数的基本公式,;,了解高阶导数的概念，能熟练地求出初等函数的一阶和二阶导数,;,掌握隐函数的一阶和二阶导数。,2,大连理工大学出版社,第,2,章 导数与微分,导数,导数的概念,几个基本初等函数的导数,导数的四则运算法则,复合函数的导数,反函数的导数,隐函数的导数与对数求导法,求导法则与导数基本公式,微分,微分的概念,微分法则与微分基本公式,微分在近似计算中的应用,3,大连理工大学出版社,2.1.1,导数的概念,导数的定义,定义,设函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,及其附近有定义，当自变量在点,x,0,处有增量,x,时，函数,f,(,x,),取得相应的增量,y,=,f,(,x,0,+,x,)-,f,(x0),，如果,y,与,x,之比的极限存在，即,存在，则称此极限为函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处的,导数,，记作,如果极限存在，那么就称函数,f,(,x,),在点,x,0,处,可导,，否则，就称函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处,不可导,。,4,大连理工大学出版社,2.1.1,导数的概念,显然，函数增量与自变量之比,y,/,x,是函数在以,x,0,和,x,0,+,x,为端点的区间上的平均变化率，而导数,f,(,x,0,),则是函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处的变化率。,如果函数,y,=,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),内的每一点都可导，,就称函数在区间,(,a,，,b,),内可导,.,这时，函数,y,=,f,(,x,),对于,(,a,，,b,),内的每一个确定的值，都对应着一个确定的导,数，这就构成了一个新的函数，我们将这个函数叫做,函数,y,=,f,(,x,),的导函数，记作,5,大连理工大学出版社,【,例,1】,求函数,y,=,C,（,C,为常数）的导数,。,解,(1),求增量：因为,y,=,C,，不论,x,取什么值，,y,的值总等于,C,，所以,y,=0,；,(2),算比值：,y,/,x,=0,；,(3),取极限：,故,(,C,)=0,这就是说，常数的导数等于零。,【,例,2】,求函数,y,=,x,的导数。,解,(1),因为,y,=,f,(,x,)=,x,，,f,(,x,+,x,)=,x,+,x,，所以,y,=,f,(,x,+,x,),f,(,x,)=(,x,+,x,)-,x,=,x,；,(2),y,/,x,=,x,/,x,=1,；,(3),这就是说，自变量的导数等于,1,。,6,大连理工大学出版社,【,例,3】,求函数,y,=1,/,x,（,x,0）导数,。,解,(1),y,=1/(,x,+,x,)-1/,x,=-,x,/,x,(,x,+,x,),；,(2),y,/,x,=-1/,x,(,x,+,x,),；,(3),即,【,例,4】,求曲线,y,=1,/,x,在点（1，1）处的切线方程,。,解,在例,3,中已求得,f,(x)=(1/x)=-1/,x,2,，因为,f,(1)=-1,，即切线斜率,k,=-1,，所以，所求的切线,方程为,y,-1=,-1,(,x,-1),即,x,+,y,-2=0,7,大连理工大学出版社,2.1.1,导数的概念,可导与连续的关系,如果函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处可导，则它在点,x,0,处一定连续。,事实上，若,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处可导，即,这时，,故,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处连续。,但是，这个结论的逆命题不成立，即函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,连续，而它在点,x,0,处不一定可导。,8,大连理工大学出版社,2.1.2,几个基本初等函数的导数,对数函数的导数,特别当,=e,时，,log,e,=,lne,=1,，于是得到自然对数的导数,三角函数的导数,幂函数的导数,9,大连理工大学出版社,【,例,5】,求下列各函数的导数,：,解,(1),因,y,=,x,1/2,，故,(2),因,f,(,x,)=,x,-2,，故,10,大连理工大学出版社,2.1.3,导数的四则运算法则,和（差）的导数,这个法则可以推广到有限多个函数的和（差）的情况,.,【,例,6】,求,y,=,x,2,-,sin,x,+5,的导数。,解,11,大连理工大学出版社,2.1.3,导数的四则运算法则,乘积的导数,特别当,v,(,x,)=C,时，有,(,C,为常数,),。,【,例,7】,设,，求,y,。,解,12,大连理工大学出版社,【,例,8】,设,f,(,x,),=,(,2,x,-1,)(,3-,x,),，求,f,(,0,),。,解法,1,因,所以,f,(,0,)=7,解法,2,因,所以,f,(,x,)=-4,x,+7,即,f,(,0,)=7,13,大连理工大学出版社,2.1.3,导数的四则运算法则,商的导数,【,例,9】,求,y,=,tan,x,的导数。,解,因为,tan,x,=,sin,x,/cos,x,，所以我们可以利用商的求导法则，即,类似地可得,(,cot,x,)=-csc,2,x,，,(,sec,x,)=,sec,x,tan,x,，及,(,csc,x,)=-,csc,x,cot,x,14,大连理工大学出版社,【,例,10】,设,，,求,y,。,解,注意,15,大连理工大学出版社,2.1.4,复合函数的导数,法则,1,设,y,=,f,(,u,),在点,u,可导，,u,=,g,(,x,),在点,x,可导，则复合函数,y,=,f,g,(,x,),在点,x,可导，且有关系式,成立。,该法则可推广到有限次复合的情况。,【,例,11】,求,y,=sin3,x,的导数。,分析,y,=sin3,x,是一个复合函数，它是由,y,=,sin,u,和,u,=3,x,两个简单函数复合而成的，故可用复合函数的求导法则求得。,解,16,大连理工大学出版社,【,例,12】,设,，,求,d,y,/d,x,。,解,因 是由 和 两个,简单函数复合而成的，所以,【,例,13,】,设,f,(,x,)=lncos(1/,x,),，求,f,(4/),。,解,f,(,x,)=lncos(1/,x,),是由,y,=,ln,u,、,u,=,cos,v,和,v,=1/,x,三个,简单函数复合而成的，所以,故,17,大连理工大学出版社,2.1.5,反函数的导数,法则,2,设函数,y,=,f,(,x,),在点,x,处有不为零的导数，并且其反函数,x,=,f,-1,(,y,),在相应点处连续，则,f,-1,(,y,),存在，并且有,利用反函数的导数公式，可以计算反三角函数的导数,。,【,例,15】,设,y,=,a,x,（,a,0,，,a,1,），求,y,。,解,由,y,=,a,x,可得,x,=,log,a,y,，因为两者互为反函数，于是,特别地，当,a,=e,时，,y,=e,x,的导数,18,大连理工大学出版社,【,例,14】,设,y,=,arcsin,x,（,-1,x,1,），求,y,。,解,因为,y,=,arcsin,x,（,-1,x,1,）的反函数是,而,且,所以由反函数求导公式得,同样还可求得,19,大连理工大学出版社,【,例,16】,若 ，,求,y,。,解,【,例,17,】,设,y,=,x,a,（,a,是实数），求证,y,=,ax,a,-1,。,证明 因,y,=,x,a,=e,a,ln,x,，所以,20,大连理工大学出版社,2.1.6,隐函数与对数求导法,隐函数的求导方法,由方程,F,(,x,，,y,)=0,确定的,y,与,x,的函数关系称为,隐函数,。,说明,求由方程,F,(,x,，,y,)=0,所确定的隐函数的导数,y,的方法是,:,将方程两边分别对,x,求导，其中，含,y,的项可看作是以,y,为中间变量关于,x,的复合函数，利用复合函数的求导法则，求得一个关于,x,、,y,和,y,的方程，然后解出,y,即可。,21,大连理工大学出版社,【,例,18】,求由方程,x,2,+,y,2,=1,所确定的隐函数,y,的导数,y,。,解,为了求,y,对,x,的导数，我们将等式两边逐项对,x,求导，并把含,y,的项,y,2,看作是,x,的复合函数，利用复合函数的求导法可求得,解出,y,，得,【,例,19】,设,y,=,x,ln,y,，求,y,。,解,方程两边分别对,x,求导，得,所以,故,22,大连理工大学出版社,2.1.6,隐函数与对数求导法,对数求导法,对于某些函数，可对其两边取对数，使之成为隐函数，然后再按隐函数求导方法求出其导数，这种方法称为,对数求导法,。,【,例,21】,若,y,=(,sin,x,),x,，求,y,。,解,两边同时取对数，得,ln,y,=,x,lnsin,x,上式两边对,x,求导，得,1/,y,y,=,ln(sin,x,)+,x,cos,x,/sin,x,，,y,=,y,(,lnsin,x,+,x,cot,x,)=(,sin,x,),x,(,lnsin,x,+,x,cot,x,),23,大连理工大学出版社,【,例,20】,若 ，,求,y,。,解,两边取对数，得,上式两边对,x,求导，得,得,24,大连理工大学出版社,2.1.7,求导法则与导数基本公式,导数的四则运算法则,设函数,u,、,v,均可导，,c,为常数，则,导数基本公式,25,大连理工大学出版社,2.1.7,求导法则与导数基本公式,导数基本公式,26,大连理工大学出版社,2.1.8,高阶导数,如果函数,y,=,f,(,x,),的导数,f,(,x,),在点,x,处可导，则,f,(,x,),在,点,x,处的导数称为函数,y,=,f,(,x,),在点,x,处的,二阶导数,，记作,类似地，二阶导数的导数称为,三阶导数,，记作,三阶导数的导数称为,四阶导数,，记作,一般地，,(,n,-1),阶导数的导数叫做,n,阶导数,，记作,二阶及二阶以上的导数统称为,高阶导数,。,27,大连理工大学出版社,【,例,22】,设,f,(,x,)=,x,4,-2,x,，求,f,(,x,),。,解,因,f,(,x,)=4,x,3,-2,，,故,f,(,x,)=(4,x,3,-2),=12,x,2,。,【,例,23】,求,y,=,sin,x,的,n,阶导数。,解,一般地有,同理可求得,28,大连理工大学出版社,2.2.1,微分的概念,微分的定义,定义,设函数,y,=,f,(,x,),，对于自变量在点,x,处的增量,x,，如果函数的增量,y,可表示为,y,=,A,x,+,a,x,其中，,A,与,x,无关，且当,x,0,时，,a,0,，则称函数,y,=,f,(,x,),在点,x,处,可微,，并称,A,x,为函数,y,=,f,(,x,),在点,x,处的,微分,，记作,d,y,或,d,f,(,x,),，即,d,y,=,A,x,29,大连理工大学出版社,2.2.1,微分的概念,微分的定义,事实上，对上式两边同除以,x,，得,y,/,x,=,A,+,a,，,即,A,=,y,，,于是有,d,y,=,y,x,。,又因当,y,=,x,时，其微分,d,y,=,d,x,，,而可得,d,y,=,y,x,=1,x,，即,d,x,=,x,因此，即为,d,y,=,y,d,x,.,从而,d,y/,d,x,=,y,。,这就是说，函数的微分,d,y,与自变量的微分,d,x,之商等于该函数的导数，因此，导数也称为“,微商,”。,求函数的微分与求函数的导数是紧密相关的。因此，通常把求函数的导数运算和微分运算统称为,微分法,。,30,大连理工大学出版社,【,例,1】,设函数,y,=2,x,2,，当自变量,x,从,2,改变到,2.01,时，求函数的增量与函数的微分。,解,函数的增量,y,=22.01,2,-22,2,=2(2.01+2)(2.01-2),=24.010.01=0.0802,函数的微分,d,y,=,y,|,x,=2,x,=4,x,|,x,=2,(2.01-2),=420.01=0.08,。,【,例,2】,求函数,y,=,x,a,(,a,R,),的微分。,解,d,y,=,y,d,x,=(,x,a,),d,x,=,ax,a,-1,d,x,。,31,大连理工大学出版社,2.2.1,微分的概念,微分的几何意义,由导数的几何意义知，过曲线的一点,M,的切线,MT,的斜率为,f,(,x,)=tan,当自变量在,x,点取增量,x,时，因为,MP,=,x,，,NP,=,y,，,所以,PT,=,MP,tan,=,f,(,x,),x,因此，函数的微分,d,y,就是过,M,点的切线的纵坐标的增量（线段,PT,）。而图中的线段,NT,是,y,与,d,y,之差，它是,x,的高阶无穷小量。,32,大连理工大学出版社,微分四则运算法则,设函数,u,、,v,均可导，,c,为常数，则,微分基本公式,2.2.2,微分法则与微分基本公式,33,大连理工大学出版社,2.2.2,微分法则与微分基本公式,微分基本公式,34,大连理工大学出版社,2.2.2,微分法则与微分基本公式,复合函数的微分法则,设,y,=,f,(,u,),在点,u,可导，而,u,=,(,x,),在与,u,相对应的点,x,可导，根据复合函数的求导法则，可得复合函数的微分,d,y,=,d,y,/d,x,d,x,=,d,y,/d,u,d,u,/d,x,d,x,.,又因,d,u,/,d,x,d,x,=d,u,，,所以,d,y,=,d,y,/d,u,d,u,。,由此可见，当,u,是中间变量时，上式成立。当,u,是自变量时，上式也成立。因此，无论,u,是自变量还是中间变量，,y,=,f,(,u,),的微分,d,y,总可以用导数,d,y,/d,u,与,d,u,的乘积来表示。这一性质称为,一阶微分形式不变性,。,35,大连理工大学出版社,【,例,3】,求下列函数的微分：,解,(1),解法一,解法二,所以,36,大连理工大学出版社,【,例,3】,求下列函数的微分：,(2),解,37,大连理工大学出版社,【,例,4】,在下列各题的括号空白处，填上适当的数或式子使等式成立：,(1)d(,)=csc,2,x,d,x,；,(2)d(,)=,x,d,x,；,(3)d,x,=(,),d(,ax,),；,(4)sin,bx,d,x,=(,),d(cos,bx,),。,解,(1),因,d(cot,x,)=-csc,2,x,d,x,，故,csc,2,x,d,x,=-,d(cot,x,)=,d(-cot,x,),即,d(-cot,x,)=csc,2,x,d,x,。显然，对于任意常数,C,，都有,d(-cot,x,+,C,)=csc,2,x,d,x,(2),因,d(,x,2,)=2,x,d,x,，故,x,d,x,=1/2d(,x,2,)=d(,x,2,/2),即,d(,x,2,/2+,C,)=,x,d,x,（,C,是任意常数）,(3),因,d(,ax,)=,a,d,x,，故,d,x,=1/,a,d(,ax,),(4),因,d(cos,bx,)=-,b,sin,bx,d,x,，故,sin,bx,d,x,=-1/,b,d(cos,bx,),38,大连理工大学出版社,2.2.3,微分在近似计算中的应用,从微分的定义可知，如果函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处的导数,f,(,x,0,),0,，函数的微分,d,y,与增量,y,相差一个高阶无穷小量,x,，当,|,x,|,很小时，可以忽略,x,，而把,d,y,作为,y,的近似值，即,y,d,y,=,f,(,x,0,),x,又因,y,=,f,(,x,0,+,x,)-,f,(,x,0,),所以,f,(,x,0,+,x,)-,f,(,x,0,),f,(,x,0,),x,即,f,(,x,0,+,x,),f,(,x,0,),+,f,(,x,0,)x,39,大连理工大学出版社,【,例,5】,求,的近似值,。,解,我们将该问题看成是求函数,在点,x,0,=1,且自变量增量,x,=0.02,时的近似值。因,【,例,6】,有一批半径为,1,厘米的小球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，其厚度为,0.01,厘米,.,试估计每只小球需铜多少克,?,（铜的密度为,8.9,克,/,立方厘米）,解,因球的体积,V,(,r,)=(4r,3,)/3,，故,V,(,r,)=4,r,2,当,r,0,=1,，,r,=0.01,时，得,V,V,(,r,0,),r,=41,2,0.01,43.140.010.13,（立方厘米）,这时，每只小球需用铜的重量为,P,=0.138.91.16,（克）,40,大连理工大学出版社,