高三数学试卷(文科).doc

高三数学试卷〔文科〕
　一、选择题〔共10小题，每小题5分，满分50分〕
1．〔5分〕设全集U={x∈R|x＞0}，函数f〔x〕=的定义域为A，则∁UA为〔　　〕
A．〔0，e] B．〔0，e〕 C．〔e，+∞〕 D．[e，+∞〕
2．〔5分〕设复数z满足〔1+i〕z=﹣2i，i为虚数单位，则z=〔　　〕
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
3．〔5分〕已知A〔1，﹣2〕，B〔4，2〕，则与反方向的单位向量为〔　　〕
A．〔﹣，〕 B．〔，﹣〕 C．〔﹣，﹣〕 D．〔，〕
4．〔5分〕若m=0.52，n=20.5，p=log20.5，则〔　　〕
A．n＞m＞p B．n＞p＞m C．m＞n＞p D．p＞n＞m
5．〔5分〕执行如图所示的程序框图，输出n的值为〔　　〕

A．19 B．20 C．21 D．22
6．〔5分〕已知p：x≥k，q：〔x﹣1〕〔x+2〕＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是〔　　〕
A．〔﹣∞，﹣2〕 B．[﹣2，+∞〕 C．〔1，+∞〕 D．[1，+∞〕
7．〔5分〕一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为〔　　〕
A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106
8．〔5分〕若直线x=π和x=π是函数y=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0〕图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为〔　　〕
A． B． C． D．
9．〔5分〕如果实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为〔　　〕
A． B． C．2 D．3
10．〔5分〕函数f〔x〕=的图象与函数g〔x〕=log2〔x+a〕〔a∈R〕的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是〔　　〕
A．a＞1 B．a≤﹣ C．a≥1或a＜﹣ D．a＞1或a≤﹣

二、填空题〔共5小题，每小题5分，满分25分〕
11．〔5分〕已知直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为　 　．
12．〔5分〕某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为　 　．

13．〔5分〕在[0，a]〔a＞0〕上随机抽取一个实数x，若x满足＜0的概率为，则实数a的值为　 　．
14．〔5分〕已知抛物线y2=2px〔p＞0〕上的一点M〔1，t〕〔t＞0〕到焦点的距离为5，双曲线﹣=1〔a＞0〕的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为　 　．
15．〔5分〕已知f〔x〕，g〔x〕分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f〔x〕+g〔x〕=2x，若存在x0∈[1，2]使得等式af〔x0〕+g〔2x0〕=0成立，则实数a的取值范围是　 　．

三、解答题〔共6小题，满分75分〕
16．〔12分〕已知向量=〔sinx，﹣1〕，=〔cosx，〕，函数f〔x〕=〔+〕•．
〔1〕求函数f〔x〕的单调递增区间；
〔2〕将函数f〔x〕的图象向左平移个单位得到函数g〔x〕的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g〔〕=，sinB=cosA，求b的值．
17．〔12分〕某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：

物理及格
物理不及格
合计
数学及格
28
8
36
数学不及格
16
20
36
合计
44
28
72
〔1〕根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；
〔2〕从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率．
附：x2=．
P（X2≥k）
0.150
0.100
0.050
0.010
k
2.072
2.706
3.841
6.635
18．〔12分〕在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC．
〔1〕求证：PA⊥平面CMN；
〔2〕求证：AM∥平面PBC．

19．〔12分〕已知等差数列{an}的首项a1=2，前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．
〔1〕求数列{an}和{bn}的通项公式；
〔2〕数列{cn}满足cn=bn+〔﹣1〕nan，记数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn．
20．〔13分〕已知函数f〔x〕=ex﹣1﹣，a∈R．
〔1〕若函数g〔x〕=〔x﹣1〕f〔x〕在〔0，1〕上有且只有一个极值点，求a的范围；
〔2〕当a≤﹣1时，证明：f〔x〕＜0对任意x∈〔0，1〕成立．
21．〔14分〕已知椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的离心率是，点P〔1，〕在椭圆E上．
〔1〕求椭圆E的方程；
〔2〕过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q〔xQ，yQ〕〔点Q异于点P〕，若0＜xQ＜1，求直线l斜率k的取值范围；
〔3〕若以点P为圆心作n个圆Pi〔i=1，2，…，n〕，设圆Pi交x轴于点Ai、Bi，且直线PAi、PBi分别与椭圆E交于Mi、Ni〔Mi、Ni皆异于点P〕，证明：M1N1∥M2N2∥…∥MnNn．

2018年高考数学试卷〔文科〕
参考答案与试题解析
　一、选择题〔共10小题，每小题5分，满分50分〕
1．〔5分〕设全集U={x∈R|x＞0}，函数f〔x〕=的定义域为A，则∁UA为〔　　〕
A．〔0，e] B．〔0，e〕 C．〔e，+∞〕 D．[e，+∞〕
【分析】先求出集合A，由此能求出CUA．
【解答】解：∵全集U={x∈R|x＞0}，
函数f〔x〕=的定义域为A，
∴A={x|x＞e}，
∴∁UA={x|0＜x≤e}=〔0，e]．
故选：A．
【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．

2．〔5分〕设复数z满足〔1+i〕z=﹣2i，i为虚数单位，则z=〔　　〕
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：〔1+i〕z=﹣2i，则z===﹣i﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．〔5分〕已知A〔1，﹣2〕，B〔4，2〕，则与反方向的单位向量为〔　　〕
A．〔﹣，〕 B．〔，﹣〕 C．〔﹣，﹣〕 D．〔，〕
【分析】与反方向的单位向量=﹣，即可得出．
【解答】解：=〔3，4〕．
∴与反方向的单位向量=﹣=﹣=．
故选：C．
【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4．〔5分〕若m=0.52，n=20.5，p=log20.5，则〔　　〕
A．n＞m＞p B．n＞p＞m C．m＞n＞p D．p＞n＞m
【分析】利用指数函数对数函数的运算性质即可得出．
【解答】解：m=0.52=，n=20.5=＞1，p=log20.5=﹣1，
则n＞m＞p．
故选：A．
【点评】本题考查了指数函数对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

5．〔5分〕执行如图所示的程序框图，输出n的值为〔　　〕

A．19 B．20 C．21 D．22
【分析】模拟执行如图所示的程序框图知该程序的功能是
计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值，求出即可．
【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图知，
该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值，
由S=≥210，解得n≥20，
∴输出n的值为20．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．

6．〔5分〕已知p：x≥k，q：〔x﹣1〕〔x+2〕＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是〔　　〕
A．〔﹣∞，﹣2〕 B．[﹣2，+∞〕 C．〔1，+∞〕 D．[1，+∞〕
【分析】利用不等式的解法、充分不必要条件的意义即可得出．
【解答】解：q：〔x﹣1〕〔x+2〕＞0，解得x＞1或x＜﹣2．
又p：x≥k，p是q的充分不必要条件，则实数k＞1．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7．〔5分〕一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为〔　　〕
A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106
【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．
【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到006号，以后每隔=25个号抽到一个人，
则以6为首项，25为公差的等差数列，即所抽取的编号为6，31，56，81，106，
故选：D．
【点评】本题主要考查系统抽样方法的应用，解题时要认真审题，是基础题．

8．〔5分〕若直线x=π和x=π是函数y=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0〕图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为〔　　〕
A． B． C． D．
【分析】根据直线x=π和x=π是函数y=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0〕图象的两条相邻对称轴，可得周期T，利用x=π时，函数y取得最大值，即可求出φ的取值．
【解答】解：由题意，函数y的周期T==2π．
∴函数y=sin〔x+φ〕．
当x=π时，函数y取得最大值或者最小值，即sin〔+φ〕=±1，
可得：φ=．
∴φ=kπ，k∈Z．
当k=1时，可得φ=．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦型三角函数的图象即性质的运用，属于基础题．

9．〔5分〕如果实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为〔　　〕
A． B． C．2 D．3
【分析】作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到定点〔﹣1，﹣1〕的斜率，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出约束条件所对应的可行域〔如图阴影〕，z=
的几何意义是区域内的点到定点P〔﹣1，﹣1〕的斜率，
由图象知可知PA的斜率最大，
由，得A〔1，3〕，
则z==2，
即z的最大值为2，
故选：C．

【点评】本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题．

10．〔5分〕函数f〔x〕=的图象与函数g〔x〕=log2〔x+a〕〔a∈R〕的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是〔　　〕
A．a＞1 B．a≤﹣ C．a≥1或a＜﹣ D．a＞1或a≤﹣
【分析】作出f〔x〕的图象和g〔x〕的图象，它们恰有一个交点，求出g〔x〕的恒过定点坐标，数形结合可得答案．
【解答】解：函数f〔x〕=与函数g〔x〕的图象它们恰有一个交点，f〔x〕图象过点〔1，1〕和〔1，﹣2〕，
而，g〔x〕的图象恒过定点坐标为〔1﹣a，0〕．
从图象不难看出：到g〔x〕过〔1，1〕和〔1，﹣2〕，它们恰有一个交点，
当g〔x〕过〔1，1〕时，可得a=1，恒过定点坐标为〔0，0〕，往左走图象只有一个交点．
当g〔x〕过〔1，﹣2〕时，可得a=，恒过定点坐标为〔，0〕，往右走图象只有一个交点．
∴a＞1或a≤﹣．
故选：D．

【点评】本题考查了分段函数画法和对数函数性质的运用．数形结合的思想．属于中档题．

二、填空题〔共5小题，每小题5分，满分25分〕
11．〔5分〕已知直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为　〔x﹣2〕2+〔y﹣2〕2=8　．
【分析】根据题意，求出直线与坐标轴的交点坐标，分析可得经过O、A、B三点的圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，求出圆的半径与圆心，代入圆的标准方程即可得答案．
【解答】解：根据题意，直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于〔4，0〕、〔0，4〕两点，
即A、B的坐标为〔4，0〕、〔0，4〕，
经过O、A、B三点的圆，即△AOB的外接圆，
而△AOB为等腰直角三角形，则其外接圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，
则有2r=|AB|=4，即r=2，
圆心坐标为〔2，2〕，
其该圆的标准方程为〔x﹣2〕2+〔y﹣2〕2=8，
故答案为：〔x﹣2〕2+〔y﹣2〕2=8．
【点评】本题考查圆的标准方程，注意直角三角形的外接圆的性质．

12．〔5分〕某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为　　．

【分析】由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥．
∴该几何体的体积V==．
故答案为：．

【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

13．〔5分〕在[0，a]〔a＞0〕上随机抽取一个实数x，若x满足＜0的概率为，则实数a的值为　4　．
【分析】求解分式不等式得到x的范围，再由测度比为测度比得答案．
【解答】解：由＜0，得﹣1＜x＜2．
又x≥0，∴0≤x＜2．
∴满足0≤x＜2的概率为，得a=4．

故答案为：4．
【点评】本题考查几何概型，考查了分式不等式的解法，是基础的计算题．

14．〔5分〕已知抛物线y2=2px〔p＞0〕上的一点M〔1，t〕〔t＞0〕到焦点的距离为5，双曲线﹣=1〔a＞0〕的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为　2　．
【分析】设M点到抛物线准线的距离为d，由已知可得p值，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则=，解得实数a的值．
【解答】解：设M点到抛物线准线的距离为d，
则丨MF丨=d=1+=5，则p=8，
所以抛物线方程为y2=16x，M的坐标为〔1，4〕；
又双曲线的左顶点为A〔﹣a，0〕，渐近线为y=±，
直线AM的斜率k==，由=，解得a=3．
∴a的值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，是抛物线与双曲线的综合应用，属于中档题．

15．〔5分〕已知f〔x〕，g〔x〕分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f〔x〕+g〔x〕=2x，若存在x0∈[1，2]使得等式af〔x0〕+g〔2x0〕=0成立，则实数a的取值范围是　[，]　．
【分析】根据函数奇偶性，解出奇函数g〔x〕和偶函数f〔x〕的表达式，将等式af〔x〕+g〔2x〕=0，令t=2x﹣2﹣x，则t＞0，通过变形可得a=t+，讨论出右边在x∈[1，2]的最大值，可以得出实数a的取值范围．
【解答】解：解：∵g〔x〕为定义在R上的奇函数，f〔x〕为定义在R上的偶函数，
∴f〔﹣x〕=f〔x〕，g〔﹣x〕=﹣g〔x〕，
又∵由f〔x〕+g〔x〕=2x，结合f〔﹣x〕+g〔﹣x〕=f〔x〕﹣g〔x〕=2﹣x，
∴f〔x〕=〔2x+2﹣x〕，g〔x〕=〔2x﹣2﹣x〕．
等式af〔x〕+g〔2x〕=0，化简为〔2x+2﹣x〕+〔22x﹣2﹣2x〕=0．
∴a=2﹣x﹣2x
∵x∈[1，2]，∴≤2x﹣2﹣x≤，
则实数a的取值范围是[﹣，﹣]，
故答案为：[﹣，﹣]．
【点评】题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，属于难题．合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键．属于中档题

三、解答题〔共6小题，满分75分〕
16．〔12分〕已知向量=〔sinx，﹣1〕，=〔cosx，〕，函数f〔x〕=〔+〕•．
〔1〕求函数f〔x〕的单调递增区间；
〔2〕将函数f〔x〕的图象向左平移个单位得到函数g〔x〕的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，若a=3，g〔〕=，sinB=cosA，求b的值．
【分析】〔1〕运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及二倍角公式和正弦公式，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；
〔2〕运用图象变换，可得g〔x〕的解析式，由条件可得sinA，cosA，sinB的值，运用正弦定理计算即可得到所求值．
【解答】解：〔1〕向量=〔sinx，﹣1〕，=〔cosx，〕，
函数f〔x〕=〔+〕•=〔sinx+cosx，〕•〔sinx，﹣1〕
=sin2x+sinxcosx﹣=sin2x﹣〔1﹣2sin2x〕=sin2x﹣cos2x=sin〔2x﹣〕，
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，
可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
即有函数f〔x〕的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；
〔2〕由题意可得g〔x〕=sin〔2〔x+〕﹣〕=sin2x，
g〔〕=sinA=，
即sinA=，cosA=±=±，
在△ABC中，sinB=cosA＞0，
可得sinB=，
由正弦定理=，
可得b===3．
【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，考查正弦函数的图象和性质，以及图象变换，考查解三角形的正弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．

17．〔12分〕某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：

物理及格
物理不及格
合计
数学及格
28
8
36
数学不及格
16
20
36
合计
44
28
72
〔1〕根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；
〔2〕从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率．
附：x2=．
P（X2≥k）
0.150
0.100
0.050
0.010
k
2.072
2.706
3.841
6.635
【分析】〔1〕根据表中数据，计算观测值X2，对照临界值得出结论；
〔2〕分别计算选取的数学及格与不及格的人数，
用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．
【解答】解：〔1〕根据表中数据，计算X2==≈8.416＞6.635，
因此，有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；
〔2〕选取的数学及格的人数为7×=2人，
选取的数学不及格的人数为7×=5人，设数学及格的学生为A、B，
不及格的学生为c、d、e、f、g，则基本事件为：
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg、
cd、ce、cf、cg、de、df、dg、ef、eg、fg共21个，
其中满足条件的是
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg共11个，
故所求的概率为P=．
【点评】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是基础题．

18．〔12分〕在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC．
〔1〕求证：PA⊥平面CMN；
〔2〕求证：AM∥平面PBC．

【分析】〔1〕推导出MN∥AD，PC⊥AD，AD⊥AC，从而AD⊥平面PAC，进而AD⊥PA，MN⊥PA，再由CN⊥PA，能证明PA⊥平面CMN．
〔2〕取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，推导出MQ∥PC，从而MQ∥平面PBC，再求出AQ∥平面，从而平面AMQ∥平面PCB，由此能证明AM∥平面PBC．
【解答】证明：〔1〕∵M，N分别为PD、PA的中点，
∴MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD，
∵PC⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PC⊥AD，
又∵AD⊥AC，PC∩AC=C，∴AD⊥平面PAC，
∴AD⊥PA，∴MN⊥PA，
又∵PC=AC，N为PA的中点，∴CN⊥PA，
∵MN∩CN=N，MN⊂平面CMN，CM⊂平面CMN，
∴PA⊥平面CMN．
解〔2〕取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，
∵MQ是△PCD的中位线，∴MQ∥PC，
又∵PC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC，
∵AD⊥AC，∠ACD=60°，∴∠ADC=30°．
∴∠DAQ=∠ADC=30°，∴∠QAC=∠ACQ=60°，
∴∠ACB=60°，∴AQ∥BC，
∵AQ⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AQ∥平面PBC，
∵MQ∩AQ=Q，∴平面AMQ∥平面PCB，
∵AM⊂平面AMQ，∴AM∥平面PBC．

【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．

19．〔12分〕已知等差数列{an}的首项a1=2，前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．
〔1〕求数列{an}和{bn}的通项公式；
〔2〕数列{cn}满足cn=bn+〔﹣1〕nan，记数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn．
【分析】〔1〕设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．根据a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．
可得2+d=q2，3×2+=6q，联立解得d，q．即可得出．．
〔2〕cn=bn+〔﹣1〕nan=2n﹣1+〔﹣1〕n•2n．可得数列{cn}的前n项和为Tn=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+〔﹣1〕n•2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+〔﹣1〕n•2n]．对n分类讨论即可得出．
【解答】解：〔1〕设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．
∵a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．
∴2+d=q2，3×2+=6q，
联立解得d=q=2．
∴an=2+2〔n﹣1〕=2n，bn=2n﹣1．
〔2〕cn=bn+〔﹣1〕nan=2n﹣1+〔﹣1〕n•2n．
∴数列{cn}的前n项和为Tn=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+〔﹣1〕n•2n]=+[﹣2+4﹣6+8+…+〔﹣1〕n•2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+〔﹣1〕n•2n]．
∴n为偶数时，Tn=2n﹣1+[〔﹣2+4〕+〔﹣6+8〕+…+〔﹣2n+2+2n〕]．
=2n﹣1+n．
n为奇数时，Tn=2n﹣1+﹣2n．
=2n﹣2﹣n．
∴Tn=．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20．〔13分〕已知函数f〔x〕=ex﹣1﹣，a∈R．
〔1〕若函数g〔x〕=〔x﹣1〕f〔x〕在〔0，1〕上有且只有一个极值点，求a的范围；
〔2〕当a≤﹣1时，证明：f〔x〕＜0对任意x∈〔0，1〕成立．
【分析】〔1〕求出导函数，由题意可知f〔x〕在〔0，1〕上有且只有一个极值点，相当于导函数有一个零点；
〔2〕问题可转换为〔x﹣1〕〔ex﹣1〕﹣ax＞0恒成立，构造函数G〔x〕=〔x﹣1〕〔ex﹣1〕﹣ax，通过二次求导，得出结论．
【解答】解：〔1〕g〔x〕=〔x﹣1〕〔ex﹣1〕﹣ax，
g'〔x〕=xex﹣a﹣1，g''〔x〕=ex〔x+1〕＞0，
∵f〔x〕在〔0，1〕上有且只有一个极值点，
∴g'〔0〕=﹣a﹣1＜0，g'〔1〕=e﹣a﹣1＞0，
∴﹣a＜a＜e﹣1；
〔2〕当a≤﹣1时，f〔x〕＜0，
∴〔x﹣1〕〔ex﹣1〕﹣ax＞0恒成立，
令G〔x〕=〔x﹣1〕〔ex﹣1〕﹣ax，
G'〔x〕=xex﹣a﹣1，G''〔x〕=ex〔x+1〕＞0，
∴G'〔x〕在〔0，1〕单调递增，
∴G'〔x〕≥G'〔0〕=﹣a﹣1≥0，
∴G〔x〕在〔0，1〕单调递增，
∴G〔x〕≥G〔0〕=0，
∴〔x﹣1〕〔ex﹣1〕﹣ax≥0，
∴当a≤﹣1时，f〔x〕＜0对任意x∈〔0，1〕成立．
【点评】本题考查了极值点的概念和导函数的应用，难点是对导函数的二次求导．

21．〔14分〕已知椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的离心率是，点P〔1，〕在椭圆E上．
〔1〕求椭圆E的方程；
〔2〕过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q〔xQ，yQ〕〔点Q异于点P〕，若0＜xQ＜1，求直线l斜率k的取值范围；
〔3〕若以点P为圆心作n个圆Pi〔i=1，2，…，n〕，设圆Pi交x轴于点Ai、Bi，且直线PAi、PBi分别与椭圆E交于Mi、Ni〔Mi、Ni皆异于点P〕，证明：M1N1∥M2N2∥…∥MnNn．
【分析】〔1〕根据椭圆的离心率求得a2=4b2，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
〔2〕设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求得xQ，由0＜xQ＜1，即可求得k的取值范围；
〔3〕由题意可知：故直线PAi，PBi的斜率互为相反数，分别设直线方程，代入椭圆方程，即可求得xi，xi′，根据直线的斜率公式，即可求得=，==…=，则M1N1∥M2N2∥…∥MnNn．
【解答】解：〔1〕由椭圆的离心率e===，则a2=4b2，
将P〔1，〕代入椭圆方程：，解得：b2=1，则a2=4，
∴椭圆的标准方程：；
〔2〕设直线l的方程y﹣=k〔x﹣1〕，
则，消去y，整理得：〔1+4k2〕x2+〔4k﹣8k2〕x+〔4k2﹣4k﹣1〕=0，
由x0•1=，由0＜x0＜1，则0＜＜1，
解得：﹣＜k＜，或k＞，经验证，满足题意，
直线l斜率k的取值范围〔﹣，〕∪〔，+∞〕；
〔3〕动圆P的半径为PAi，PBi，故PAi=PBi，△PAiBi为等腰三角形，故直线PAi，PBi的斜率互为相反数，设PAi的斜率ki，则直线PBi的斜率为﹣ki，
设直线PAi的方程：y﹣=ki〔x﹣1〕，则直线PBi的方程：y﹣=﹣ki〔x﹣1〕，
，消去y，整理得：〔1+4ki2〕x2+〔4ki﹣8ki2〕x+〔4ki2﹣4ki﹣1〕=0，设Mi〔xi，yi〕，Ni〔xi′，yi′〕，
则xi•1=，则xi=，
将﹣ki代替ki，则xi′=，
则xi+xi′=，xi﹣xi′=﹣，yi﹣yi′=ki〔xi﹣1〕++ki〔xi﹣1〕﹣=ki〔xi+xi′〕﹣2ki，
=ki×﹣2ki，
=，
则==，
故==…=，
∴M1N1∥M2N2∥…∥MnNn．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．

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