2025年高等代数教案北大版第二章.doc

授课内容
第二章 行列式 第一讲 引言、排列
教学时数
2
授课类型
讲授与互动
教学目的
使学生理解行列式的背景，规定学生纯熟掌握二、三级行列式的对角线计算法则，掌握有关排列的基本概念、并能纯熟掌握排列逆序数的计算与奇偶性的拟定。
教学重点
二、三元线性方程组的计算公式，二、三级行列式的对角线计算法则，有关排列的基本概念、排列的奇偶性。
教学难点
二、三级行列式的对角线计算法则，排列逆序数的计算与奇偶性的拟定
教学办法与手段
启发式 讲练相结合

教
学
过
程

解方程是代数中的一种基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位.这一章和下一章重要讨论普通的多元一次方程组，即线性方程组.
一、对于二元线性方程组

当时，此方程组有唯一解，即

我们称为二级行列式，用符号表达为
.
于是上述解能够用二级行列式叙述为：
当二级行列式

时，该方程组有唯一解，即
.
二、对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组

称代数式为三级行列式，用符号表达为：
.
当三级行列式

时，上述三元线性方程组有唯一解，解为

其中
.
三、元线性方程组

与否也有类似的结论呢？为此，首先给出级行列式的定义并讨论它的性质，最后来解决这一问题，这是本章的重要内容.
四、排列的定义
定义1 由构成的一种有序数组称为一种级排列.
级排列的总数是.
显然也是一种级排列，这个排列含有自然次序，就是按递增的次序排起来的；其它的排列或多或少地破坏自然次序.
定义2 在一种排列中，如果一对数的前后位置与大小次序相反，即前面的数不不大于背面的数，那么它们就称为一种逆序，一种排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.
排列的逆序数记为

例：排列53214的逆序数7
定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。
应当指出，我们同样能够考虑由任意个不同的自然数所构成的排列，普通也称为级排列。对这样普通的级排列，同样能够定义上面这些概念。
五、排列的奇偶性
把一种排列中某两个数的位置交换，而其它的数不动，就得到另一种排列.这样一种变换称为一种对换。显然，如果持续施行再次相似的对换，那么排列就还原了。由此得知，一种对换把全部级排列两两配对，使每两个配成对的级排列在这个对换下互变。
定理1 对换变化排列的奇偶性.
这就是说，通过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列.
推论 在全部级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有个.
定理2 任意一种级排列与排列都能够通过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相似的奇偶性.
结论：任意两个排列都能够通过一系列对换互变.

讨论、练习与作业

课后反思

授课内容
第二讲 n级行列式
教学时数
2
授课类型
讲授与互动
教学目的
使学生掌握行列式的定义，规定学生真正的理解行列式的定义以及行与列地位的对称
教学重点
普通行列式的定义、行与列的地位是对称的
教学难点
行列式的定义
教学办法与手段
讲授法 启发式

教
学
过
程

一、级行列式的概念
在给出级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义。我们有
(1)
(2)
从二级和三级行列式的定义中能够看出，它们都是某些乘积的代数和，而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由全部这种可能的乘积构成.另首先，每一项乘积都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的普通形式能够写成
(3)
其中是1，2，3的一种排列.能够看出，当是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当是奇排列时带有负号.
定义4 级行列式
(4)
等于全部取自不同行不同列的个元素的乘积
(5)
的代数和，这里是的一种排列，每一项(5)都按下面规则带有符号；当是偶排列时，(5)带有正号，当是奇排列时，(5)带有负号.这一定义可写成
(6)
这里表达对全部级排列求和.
定义表明，为了计算级行列式，首先作全部可能由位于不同行不同列元素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然次序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号.
由定义看出，级行列式是由项构成的.
例1 计算行列式
.
例2 计算上三角形行列式
. (7)
. (8)
这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积.特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积.
容易看出，当行列式的元素全是数域中的数，它的值也是数域中的一种数.
二、行列式的性质
在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，把元素按行指标排起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这些元素的次序是能够任意写的，普通地，级行列式中的项能够写成
, （11）

其中是两个级排列.运用排列的性质，不难证明，(11)的符号等于
(12)
按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定每一项的符号，同样能够把每一项按列指标排起来，于是定义又能够写成
. (15)
由此即得行列式的下列性质：
性质1 行列交换，行列式不变.即
. (16)
性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之但凡有关行的性质，对列也同样成立. 例如由(8)即得下三角形的行列式

讨论、练习与作业

课后反思

授课内容
第三讲 n级行列式的性质
教学时数
2
授课类型
讲授与互动
教学目的
规定学生能纯熟掌握行列式性质及其应用
教学重点
行列式的性质及其应用
教学难点
行列式性质的应用
教学办法与手段
讲授法 启发式

教
学
过
程

行列式的计算是一种重要的问题，也是一种很复杂的问题.因此有必要进一步讨论行列式的性质.运用这些性质来简化行列式的计算.
在行列式的定义中，即使每一项是个元素的乘积，但是由于这个元素是取自不同的行与列，因此对于某一拟定的行中个元素(譬如)来说，每一项都含有其中的一种且只含有其中的一种元素.因之，级行列式的项能够分成组，第一组的项都含有，第二组的项都含有等等.再分别把行的元素提出来，就有
(1)
其中代表那些含有的项在提出公因子之后的代数和(至于终究是哪某些项的和暂且不管，到§6 再来讨论).从以上讨论能够懂得，中不再含有第行的元素，也就是全与行列式中第行的元素无关.由此即得.
性质2

这就是说，一行的公因子能够提出去，或者说以一数乘行列式的一行相称于用这个数乘此行列式.
令，就有如果行列式中一行为零，那么行列式为零.
性质3
.
这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行同样.
性质3显然能够推广到某一行为多组数的和的情形.
性质4 如果行列式中有两行相似，那么行列式为零.所谓两行相似就是说两行的对应元素都相等.
性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零.
性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变.
性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号.
例1 计算级行列式

例2 计算行列式
.
由于上(下)三角形行列式容易计算，因此计算行列式的一种基本办法是运用行列式的性质，把行列式化成上(下)三角形行列式进行计算.
例3 一种级行列式，假设它的元素满足
, (4)
证明，当为奇数时，此行列式为零.

讨论、练习与作业

课后反思

授课内容
第四讲 行列式的计算
教学时数
2
授课类型
讲授与互动
教学目的
通过本节学习，规定学生能纯熟掌握矩阵的初等变换在行列式的计算中的应用
教学重点
矩阵的初等变换、行列式计算
教学难点
行列式的计算
教学办法与手段
讲授法 启发式

教
学
过
程

在第二讲我们看到，一种上三角形行列式

就等于它主对角线上元素的乘积

这个计算是很简朴的.下面我们想方法把任意的级行列式化为上三角形行列式来计算.
定义5 由个数排成的行(横的) 列(纵的)的表
(1)
称为一种矩阵.
数,称为矩阵(1)的元素，称为元素的行指标，称为列指标.当一种矩阵的元素全是某一数域中的数时，它就称为这一数域上的矩阵.
矩阵也称为级方阵.一种级方阵

定义一种级行列式

称为矩阵的行列式，记作.
定义6 所谓数域上矩阵的初等行变换是指下列三种变换：
1）以中一种非零的数乘矩阵的某一行；
2）把矩阵的某一行的倍加到另一行，这里是中任意一种数；
3) 交换矩阵中两行的位置.
普通说来，一种矩阵通过初等行变换后，就变成了另一种矩阵.当矩阵通过初等行变换变成矩阵时，我们写成

若一种矩阵的任一行从第一种元素起至该行的第一种非零元素所在的下方全为零，则称这样的矩阵为阶梯形矩阵.
能够证明，任意一种矩阵通过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵.
现在回过来讨论行列式的计算问题.一种级行列式可当作是由一种级方阵决定的，对于矩阵能够作初等行变换，而行列式的性质2，6，7正是阐明了方阵的初等行变换对于行列式的值的影响.每个方阵总能够通过一系列的初等行变换变成阶梯形方阵.由行列式性质2，6，7，对方阵每作一次初等行变换，对应地，行列式或者不变，或者差一非零的倍数，也就是

显然，阶梯形方阵的行列式都是上三角形的，因此是容易计算的.
例 计算

不难算出，用这个办法计算一种级的数字行列式只需要做次乘法和除法.特别当比较大的时候，这个办法的优越性就更加明显了.同时还应当看到，这个办法完全是机械的，因而能够用电子计算机按这个办法来进行行列式的计算.
对于矩阵同样能够定义初等列变换，即
1）以中一种非零的数乘矩阵的某一列；
2）把矩阵的某一列的倍加到另一列，这里是中任意一种数；
3) 交换矩阵中两列的位置.
为了计算行列式，也能够对矩阵进行初等列变换.有时候，同时用初等行变换和列变换，行列式的计算能够更简朴些.
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.

讨论、练习与作业

课后反思

授课内容
第五讲 行列式按一行(列)展开
教学时数
2
授课类型
讲授与互动
教学目的
规定学生会应用行列式展开性质来计算行列式
教学重点
行列式按一行展开的性质、展开性质的应用
教学难点
展开性质的应用
教学办法与手段
讲授法 启发式

教
学
过
程

在第三讲看到，对于级行列式，有
(1)
现在来研究这些,终究是什么.
三级行列式能够通过二级行列式表达：
(2)
定义7 在行列式

中划去元素所在的第行与第列，剩余的个元素按原来的排法构成一种级行列式
(3)
称为元素的余子式，记作
下面证明
. (4)
为此先证明级行列式与级行列式的下面这个关系，
(5)
另首先,在(1)中令即可得证
定义8 上面所谈到的称为元素的代数余子式.
这样，公式(1)就是说，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.在(1)中，如果令第行的元素等于另外一行，譬如说，第行的元素，也就是

于是

右端的行列式含有两个相似的行，应当为零，这就是说，在行列式中，一行的元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积之和为零.
定理3 设

表达元素的代数余子式，则下列公式成立：
(6)
(7)
用连加号简写为

在计算数字行列式时，直接应用展开式(6)或(7)不一定能简化计算，由于把一种级行列式的计算换成个()级行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用公式(6)或(7)才故意义.但这两个公式在理论上是重要的.
例1 计算行列式

例2 行列式
(8)
称为级的范德蒙德(Vandermonde)行列式.证明对任意的，级范德蒙德行列式等于这个数的全部可能的差的乘积.
用连乘号，这个成果能够简写为.
.
由这个成果立刻得出，范德蒙德行列式为零的充要条件是这个数中最少有两个相等.
例3 证明
.

讨论、练习与作业

课后反思

授课内容
第六讲 Cramer法则
教学时数
2
授课类型
讲授与互动
教学目的
通过本节的学习，规定学生会运用Gramer法则求线性方程组的解
教学重点
Gramer法则的应用
教学难点
Gramer法则的应用
教学办法与手段
讲授法 启发式

教
学
过
程

现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.
定理4 如果线性方程组
(1)
的系数矩阵
(2)
的行列式

那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解能够通过系数表为
, (3)
其中是把矩阵中第列换成常数项所成的矩阵的行列式，即
(4)
定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的环节是：
1. 把代入方程组，验证它确是解.
2. 如果方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出.
定理4普通称为克拉默法则.
例1 解方程组

应当注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的普通情形中一并讨论.
常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，由于就是一种解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题经常是，它除了零解以外，尚有无其它解，或者说，它有无非零解.对于方程个数与未知量个数相似的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有
定理5 如果齐次线性方程组
(5)
的系数矩阵的行列式，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(5)有非零解，那么必有.
例2 求在什么条件下，方程组

有非零解.
克拉默法则的意义重要在于它给出理解与系数的明显关系，这一点在后来许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，由于按这一法则解一种个未知量个方程的线性方程组就要计算个级行列式，这个计算量是很大的.

讨论、练习与作业

课后反思