7.江西省宜春市上高二中2023-2024学年高二上学期期末数学试题.docx

江西省宜春市上高二中2023-2024学年高二上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若在区间上单调递增，则实数a的最大值为（    ）
A． B． C． D．π
2．加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么有（    ）种加工方法．
A．24 B．32 C．48 D．64
3．某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为（    ）
A．24 B．36 C．60 D．240
4．的展开式中，含的系数为（    ）
A．51 B．8 C．9 D．10
5．的展开式中的常数项为（    ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点在直线上,则此抛物线的标准方程是（    ）
A． B．
C．或 D．或
7．已知直线是圆在点处的切线，则直线的方程为（    ）
A． B． C． D．
8．双曲线与椭圆焦点相同且离心率是椭圆离心率的倍，则双曲线的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．已知直线，，则（    ）
A．直线m恒过点 B．若，则
C．若m⊥n，则 D．当时，直线n不经过第三象限
10．已知圆，则下列说法正确的是（    ）
A．圆的半径为
B．圆截轴所得的弦长为
C．圆上的点到直线的最小距离为
D．圆与圆相离
11．已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于M，N两点，且，，则的取值可以为（    ）
A． B． C．2 D．3
12．已知双曲线）的左，右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的一点，给出下列结论，其中正确的是（    ）
A．存在点，使
B．存在点，使得直线的斜率的绝对值之和
C．使得应为等腰三角形的点有且仅有四个
D．若，则

三、填空题
13．若，则x的可能的值是 .
14．已知是双曲线的左、右焦点，双曲线上一点P满足，则△的面积是 ．
15．双曲线C：(，)的焦点为、，P在双曲线右支上，且，为C的渐近线方程，若的面积为，则双曲线C的焦距长为 ．
16．设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为 ．

四、解答题
17．已知直线l过点A（﹣3，1），且与直线4x﹣3y+t＝0垂直．
(1)求直线l的一般式方程；
(2)若直线l与圆C：x2+y2＝m相交于点P，Q，且|PQ|＝8，求圆C的方程．
18．（1）已知点在圆上运动，定点，点为线段的中点，求点的轨迹方程；
（2）已知两定点，动点满足，求点的轨迹方程.
19．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
20．已知抛物线，其中，过B的直线l交抛物线C于M，N两点．

(1)当直线l垂直于x轴，且为直角三角形，求实数m的值；
(2)若四边形是平行四边形，当点P在直线l上时，求实数m，使得．
21．已知抛物线的焦点为坐标原点，是抛物线C上异于O的两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
22．已知椭圆方程E：的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D．
(1)设直线，的斜率分别为，，证明：为常数；
(2)求面积的最大值．

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．A
2．A
3．C
4．A
5．A
6．C
7．D
8．C
9．BD
10．BC
11．BC
12．AD
13．1或2或3.
14．2
15．
16．
17．(1)3x+4y+5＝0
(2)x2+y2＝17

【分析】（1）由垂直关系得过直线l的斜率，由点斜式化简即可求解l的一般式方程；
（2）结合勾股定理建立弦心距（由点到直线距离公式求解），半弦长，圆半径的基本关系，解出，即可求解圆C的方程．
【详解】（1）因为直线l与直线4x﹣3y+t＝0垂直，所以直线l的斜率为，
故直线l的方程为，即3x+4y+5＝0，
因此直线l的一般式方程为3x+4y+5＝0；
（2）圆C：x2+y2＝m的圆心为（0，0），半径为，
圆心（0，0）到直线l的距离为，
则半径满足m＝42+12＝17，即m＝17，所以圆C：x2+y2＝17．
18．（1）；（2）
【分析】（1）设，根据题意得代入圆的方程解决即可；（2）设，得，，根据题意解决即可.
【详解】（1）由题知，点在圆上运动，定点，
设，
因为点为线段的中点，
所以，即，
因为点在圆上，即，
所以，化简得
所以点的轨迹方程为；
（2）由题知，两定点，动点满足，即，
设，
所以，
因为，
所以，化简得，
所以点的轨迹方程为；
19．(1)证明见解析；(2).
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；
(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.
【详解】（1）因为，O是中点，所以，
因为平面，平面平面，
且平面平面，所以平面．
因为平面，所以.
（2）[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则，设,

所以，
设为平面的法向量，
则由可求得平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，
所以，解得．
又点C到平面的距离为，所以，
所以三棱锥的体积为．
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作，垂足为点G．
作，垂足为点F，连结，则．

因为平面，所以平面，
为二面角的平面角．
因为，所以．
由已知得，故．
又，所以．
因为，
．
[方法三]：三面角公式
考虑三面角，记为，为，，
记二面角为．据题意，得．
对使用三面角的余弦公式，可得，
化简可得．①
使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②
将①②两式平方后相加，可得，
由此得，从而可得．

如图可知，即有，
根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，
结合的正切值，
可得从而可得三棱锥的体积为．
【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；
方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.
方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.
20．(1)
(2)

【分析】（1）根据向量垂直，即可利用坐标运算求解，
（2）根据平行得斜率关系，进而联立方程得韦达定理，结合向量垂直由坐标运算即可求解.
【详解】（1）由题意，代入中，解得，
不妨取，
则，
为直角三角形,故只能是为直角，
即，
故或1，易知不合题意，舍去，故．
（2）由题意四边形为平行四边形，则，
设直线，
联立得，
由题意，判别式，
，
要使，则，
又，
即，
化简，得，
即，代入得故．
故时，有．

21．（1），（2）证明见解析，定点
【解析】（1）利用抛扔线的焦点坐标，求出，然后求抛物线的方程；
（2）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可
【详解】解：（1）因为抛物线的焦点坐标为，
所以，得，
所以抛物线的方程为，
（2）①当直线的斜率不存在时，设，
因为直线的斜率之积为，所以，化简得，
所以，此时直线的方程为，
②当直线的斜率存在时，设其方程为，，
由，得，则，
因为的斜率之积为，所以，
即，即可，
解得（舍去），或，
所以，即，所以，即，
综上所述，直线过轴上的一定点
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，解题的关键是将直线方程与抛物线方程联立方程组可得，再利用根与系数的关系可得，再结合直线的斜率之积为，可得到的关系，从而可得答案，考查计算能力，属于中档题
22．(1)证明见解析
(2)3

【分析】（1）设出，，则，表达出，，由点差法得到证明；
（2）三角形面积等于三角形的面积2倍，设直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案.
【详解】（1）由题意知，，若，此时直线的斜率不存在，不合要求，舍去，
设，，，此时，
则，，，
又①，②，
式子①－②得，
所以；
（2）由题意可知，三角形面积等于三角形的面积2倍，
椭圆左焦点F为，可设直线方程为，
联立方程组，
即，
故，，

所以三角形的面积为
，
令，，
由对勾函数性质可得在单调递增，
故，当且仅当取得最小值成立，
所以，当且仅当，即时成立，
三角形的面积的最大值为，
所以面积的最大值为3.
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．

答案第7页，共8页