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甘肃省酒泉市四校联考期中2023-2024学年高二上学期期中数学试题
一、单选题
1．已知数列的一个通项公式为，且，则实数等于（    ）
A．1 B．3 C． D．
2．直线的一个方向向量是（    ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列中，，则公差（    ）
A．4 B．3 C． D．
4．直线，若，则实数的值为（    ）
A．0 B．3 C．0或 D．0或3
5．在等比数列中，，则（    ）
A．8 B．6 C．4 D．2
6．已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
7．“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，该数列满足递推关系：，．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若，则（    ）
A． B． C． D．
8．若圆上存在点，点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．已知等比数列的前项和为，若，则数列的公比可能是（    ）
A．1 B． C．3 D．
10．下列各直线中，与直线平行的是（    ）
A． B．
C． D．
11．下列关于直线与圆的说法正确的是（    ）
A．若直线与圆相切，则为定值
B．若，则直线被圆截得的弦长为定值
C．若，则圆上仅有两个点到直线的距离相等
D．当时，直线与圆相交
12．已知数列满足，且数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ）
A．数列是等差数列 B．
C． D．若，则实数的取值范围为

三、填空题
13．已知直线l经过点．直线l的倾斜角是 ．
14．已知等比数列的前项和为，则 ．
15．已知圆与圆只有一条公切线，则 .
16．已知数列中，，若对任意，则数列的前项和 ．

四、解答题
17．已知直线经过点．
(1)求直线的一般式方程；
(2)若直线与直线垂直，且在轴上的截距为2，求直线的方程．

18．已知等差数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值及取得最小值时的值．

19．已知圆经过，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程.

20．已知等差数列中，，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和．

21．直线，圆.
(1)证明：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
(2)当直线被圆截得的弦最短时，求此时的方程；
(3)设直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线方程.

22．已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，，求数列的前2n项和；
(3)设，求数列的前项和.

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．B 2．C 3．B 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A
9．AB 10．ABC 11．ABD 12．ABD
13．/ 14．12 15．16 16．
17．(1)
(2)
【详解】（1）∵直线的斜率为，
∴直线的方程为，
∴直线的一般式方程为．
（2）∵直线与直线垂直，由（1）知：直线的斜率为2，
∴直线存在斜率，设直线的方程为，且，即，
∴直线的方程为，即．
18．(1)
(2)当时，最小，最小值为．
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，得，
解得，
所以．
（2）由（1）知，
又，所以当时，取最小，最小值为．
19．(1)
(2)
【详解】（1）由题知中点为，，
所以的垂直平分线方程为，即，
联立，解得，即圆心为，
所以圆的半径为，
故圆的方程为.
（2）设关于的对称点为，
则直线与垂直，且的中点在直线上，
则，解得，
由题意知反射光线过圆心，故，
即.

20．(1)
(2)
【详解】（1）因为为等差数列，设公差为，
又因为成等比数列，即，
即，解得，
所以；
（2），
所以.
21．(1)证明见解析，
(2)
(3)
【详解】（1）证明：由题意知可化为，
故解得直线恒过定点.
（2）因为
所以圆的圆心为，半径，
如图所示：

，
当直线被圆截得的弦长最短时，与垂直，
，
，即.
（3）方法1（几何法）
，且为钝角，
当时有最大值，即面积有最大值，
此时同（2），即.
方法2
设圆心到直线的距离为，则，
，
当时有最大值，此时同（2），
或者由，，解得，
.
22．(1)，
(2)+n
(3)
【详解】（1）由题可知数列是公差为1的等差数列，且，
则，解得，
所以，
设等比数列的公比为q，且，，
则，解得，
所以，
所以和的通项公式为，.
（2）由（1）得为，则，
所以数列的前项和

.
（3）由（1）得为，，
所以，
因为当为奇数时，则，
所以求列的前项和为

故.

答案第5页，共5页