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江西省南昌市江西师大附中2023-2024学年高二上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，则的值为（    ）
A． B．
C．2 D．4
2．设圆，圆，则圆的位置关系（ ）
A．内含 B．外切 C．相交 D．相离
3．用1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为（   ）
A．16 B．24 C．36 D．48
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l交C于A、B两点，则的周长为（    ）
A．2 B．4 C． D．
5．直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．已知动圆C与圆外切，与圆内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．双曲线一支
7．一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ）

A． B．1 C．2 D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，O为坐标原点，倾斜角为的直线l过右焦点且与双曲线的左支交于M点，若，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．已知点P在圆上，点.则（    ）
A．点P到直线AB的距离小于10 B．圆上到直线AB的距离等于1的点只有1个
C．当最小时， D．当最大时，
10．已知椭圆，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ）
A．存在P使得 B．椭圆C的弦MN被点平分，则
C．，则的面积为9 D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值
11．设M为双曲线上一动点，为上下焦点，O为原点，则下列结论正确的是（    ）
A．若，则或6
B．双曲线C与双曲线的离心率相同
C．若点，M在双曲线C的上支，则最小值为
D．过的直线l交C于G、H不同两点，若，则l有2条
12．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（    ）
A．若，则点到轴的距离为
B．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条
C．是准线上一点，是直线与的一个交点，若，则
D．

三、填空题
13．以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 .
14．现有4名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组，若每个小组至少要有1人参加，则共有 种不同的安排方法.
15．已知椭圆的左、右焦点分别是，AB是椭圆C的任意两点，四边形是平行四边形，且，则椭圆C的离心率的最大值是 .
16．已知F是抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为，则的最小值是 .

四、解答题
17．三角形三个顶点是
(1)求AB边上的高所在直线的方程；
(2)直线l过点A，且B，C两点到直线l的距离相等，求直线l的方程.
18．已知以为圆心的圆，过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为.
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与圆相交于，两点，求两个圆公共弦AB的长.
19．如图，在四棱锥中，平面，，，是棱上一点，且，.

(1)若，求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.
20．已知椭圆焦距为，离心率为.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交曲线于、两个不同的点，记的面积为，求的最大值.
21．已知抛物线上有两点，且直线过点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若抛物线上有一点，纵坐标为4，抛物线上另有两点，且直线与的斜率满足重心的横坐标为4，求直线的方程．
22．已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点.
(1)求双曲线的方程.
(2)若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．B
2．C
3．B
4．D
5．C
6．D
7．B
8．A
9．ACD
10．ABC
11．ABC
12．CD
13．
14．
15．  
16．
17．(1)
(2)或

【分析】（1）先根据两点斜率公式求解斜率，再利用垂直关系求出高的斜率，代入点斜式化为一般式方程即可；
（2）设出直线方程，利用点到直线距离公式建立方程求解即可.
【详解】（1）直线的斜率，
边上的高与垂直，所以高所在的直线斜率为，
故AB边上的高所在直线的方程为，即.
（2）易知直线斜率存在，设直线：，即.
因为B，C两点到直线l的距离相等，所以，
化简得，平方得，解得或，
所以直线的方程为或，即或.
18．(1)
(2)

【分析】（1）求出圆心到直线，即可求出圆的半径，从而得到圆的标准方程；
（2）首先判断两圆相交，两圆方程相减即可得到公共弦方程，再求出弦长.
【详解】（1）因为圆心到直线的距离，
设圆的半径为，
又过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为，
所以，则圆的标准方程为.

（2）圆：的圆心，半径，
圆的圆心为，半径，
所以，则，所以两圆相交，
则相交弦：，
则圆心到 距离，
所以.

19．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接交于点，连接，证明出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，结合求出的值，即可得解.
【详解】（1）证明：连接交于点，连接，
因为，且，所以，，
又因为，则，所以，，
因为平面，平面，故平面.
（2）解：因为平面，，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为，，则、、、，
设，其中，
则，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
由题意可得，
整理可得，解得，此时点为的中点，故.
20．(1)
(2)

【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，求出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）分析可知，直线直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用基本不等式可求出的最大值.
【详解】（1）解：由题意可得，解得，
所以，椭圆的方程为.
（2）解：当直线与轴重合时，、、三点重合，不符合题意，
易知点，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
则，

由韦达定理可得，，
所以，

，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
21．(1)
(2)

【分析】（1）根据题意，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，再由，即可得到结果；
（2）根据题意，由三角形重心坐标公式结合，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）  
由题意知直线的斜率不可能为0，
设，直线的方程为，
由得，，即，
即，即，
将代入，得，
则，则，
则，由，解得，
故所求抛物线的标准方程为．
（2）  
由抛物线方程可得点坐标为，设，
则，
则，且，则，
故．又，
则，又，可得直线的中点坐标为，
故由点斜式得直线的方程为5），即．
22．(1)
(2)存在，使得以线段为直径的圆恒过点

【分析】（1）由渐近线夹角得或，结合双曲线所过点可求得，由此可得双曲线方程；
（2）假设存在点满足题意，可知；假设直线方程，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，结合向量数量积的坐标运算可化简整理，根据等式恒成立的求解方法可得的值.
【详解】（1）两条渐近线的夹角为，渐近线的斜率或，即或；
当时，由得：，，双曲线的方程为：；
当时，方程无解；
综上所述：双曲线的方程为：.
（2）由题意得：，
假设存在定点满足题意，则恒成立；
方法一：①当直线斜率存在时，设，，，
由得：，，
，，
，
，
整理可得：，
由得：；
当时，恒成立；
②当直线斜率不存在时，，则，，
当时，，，成立；
综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.
方法二：①当直线斜率为时，，则，，
，，，
，解得：；
②当直线斜率不为时，设，，，
由得：，，
，，
；
当，即时，成立；
综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆锥曲线综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理；
④由所得等式恒成立可整理得到定点.

答案第9页，共9页