5.安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高二上学期期末测试数学试题.docx

安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高二上学期期末测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在空间直角坐标系中，已知，，则点B的坐标是
A． B．
C． D．
2．由点向圆引的切线长是（    ）
A．3 B． C． D．5
3．已知等差数列的公差为1，，则（    ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
4．抛物线的焦点坐标为（    ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的焦点为，等轴双曲线的焦点为，，若四边形是正方形，则该椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
6．已知正项等比数列中，，，则（    ）
A． B． C． D．
7．三棱锥中，点面，且，则实数（    ）
A． B． C．1 D．
8．已知为坐标原点，双曲线：（，）的左焦点为，右顶点为，过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．若三条直线l1：，l2：，l3：有2个公共点，则实数a的值可以为（    ）
A． B． C．1 D．2
10．平面直角坐标系数Oxy中，已知，则使得动点P的轨迹为圆的条件有（    ）
A． B． C． D．
11．已知曲线C：，则下列结论正确的是（    ）
A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若，则C是圆，其半径
C．若，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若，则C是两条直线
12．已知数列中，，，则下列结论正确的是（    ）
A．当时，数列为常数列
B．当时，数列单调递减
C．当时，数列单调递增
D．当时，数列为摆动数列

三、填空题
13．过点作直线与交于A，B两点，若，则直线的倾斜角为 .
14．设是数列的前项和，且，，则 ．
15．设是椭圆（）的两个焦点，P为椭圆上任一点，若且的面积为，则该椭圆的短轴长为 .
16．设集合，若A中任意3个元素均不构成等差数列，则集合A中元素最多有 个．

四、解答题
17．棱长为2的正四面体中，设，，．M，N分别是棱的中点．
(1)用向量，，表示；
(2)求．
18．已知公差不为0的等差数列的首项，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，是的前n项和，求使成立的最大的正整数n.
19．在三棱台中，，平面ABC，．
(1)求证：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
20．已知椭圆：（）．
(1)若椭圆的焦距为6，求的值；
(2)设，若椭圆上两点M，N满足，求点N横坐标取最大值时的值．
21．已知数列的前n项和为，点在函数的图象上．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，
（i）求数列的前n项和；
（ii）求数列的前n项和．
22．过点作直线l与双曲线C：交于A，B两点，P是双曲线C的左顶点，直线与y轴分别交于．
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)求证：线段的中点M为定点，并求出点M的坐标．

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．C
2．A
3．B
4．C
5．C
6．B
7．D
8．B
9．BD
10．AC
11．ABD
12．ABC
13．
14．
15．10
16．8
17．(1)
(2)
【解析】（1）连接，所以
，
因为，，，
所以.

（2）
因为正四面体的边长为，所以的夹角为，
，所以，
.
18．(1)
(2)8
【解析】（1）设等差数列的公差为，，
由，，成等比数列，得，
即，解得或0（舍），
所以；
（2）因为，
所以，
由，得，解得，
所以使成立的最大的正整数.
19．(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为平面ABC，且平面ABC，可知，，
在中，可得，
在中，可得，
即，且，
可得，则，
又因为，，平面，
可得平面，且平面，则．
且，平面，可得平面，
且平面，所以．

（2）如图，以B为坐标原点，分别为轴所在直线，过B平行于直线的直线为z轴所在直线，建立空间直角坐标系
则，

可得，
设平面的法向量为，则，
令，解得，可得，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．(1)12
(2)20
【解析】（1）设焦距为，则，解得．
（2）
要使点的横坐标最大，需直线斜率存在．
设，与椭圆联立得，
由韦达定理：．
由知，故，
要使点的横坐标最大，在这里不妨取，
所以，当且仅当时，等号成立．
当时，，即，此时．
21．(1)
(2)（i）；（ii）
【解析】（1）点在函数的图象上，所以．
当时，；当时，．
故．
（2）由（1）知，．
（i）①，②，
①－②得：，
故．
（ii）③，④，
③－④得：，
故．
22．(1)
(2)证明见解析，
【解析】（1）由题意可知直线的斜率存在，设，
与双曲线联立得：．
因为直线与双曲线交于两点，所以且，
由，得，
由，得，
解得直线斜率的取值范围为．
（2），设，则，
令得，同理可得．
于是，

，
由韦达定理有，
代入上式可得：
所以线段的中点为定点．
.

答案第5页，共6页