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河南省实验中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知直线：，则在轴上的截距为（    ）
A． B． C．1 D．
2．已知点M（1，2，3），N（2，3，4），P（﹣1，2，3），若3，则Q的坐标是（    ）
A．（﹣3，﹣2，﹣5） B．（3，4，1）
C．（﹣4，﹣1，0） D．（2，5，6）
3．已知三点A(1,0)，B(0， )，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)
A． B．
C． D．
4．若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ）
A． B． C． D．
5．已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（    ）
A． B．6 C． D．
6．若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ）
A． B．
C． D．
8．已知，直线，为直线上的动点，过点作的切线，切点为，当四边形的面积取最小值时，直线的方程为（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．已知椭圆，，分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ）
A．短轴长是3 B．的周长为15
C．离心率 D．若，则的面积为9
10．给出下列命题正确的是（    ）
A．直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平行
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．点到直线的最大距离为
D．已知三点不共线，对于空间任意一点O，若，则四点共面
11．已知点在圆上，点、，则（    ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
12．如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．若保持，则点在底面内运动路径的长度为
B．三棱锥体积的最大值为
C．若，则二面角的余弦值的最大值为
D．若则与所成角的余弦值的最大值为

三、填空题
13．已知直线，，若，则实数 ．
14．己知，则点到平面的距离为 ．
15．在平面直角坐标系中，点是圆上的两个动点，且满足，记中点为，则的最小值为 ．
16．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点P都满足，则的离心率的取值范围是 ．

四、解答题
17．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为．
(1)求直线的方程；
(2)若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程．

18．如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上.

（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.

19．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．

(1)若，，求的斜60°坐标；
(2)在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①求的斜60°坐标；
②若，求与夹角的余弦值．

20．给出双曲线.
（1）求以为中点的弦所在的直线方程；
（2）若过点的直线l与所给双曲线交于，两点，求线段的中点P的轨迹方程.

21．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．

(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．

22．已知椭圆的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于点，两点，证明：为定值．

试卷第5页，共6页

参考答案：
1．D 2．D 3．B 4．B
5．A 6．C 7．D 8．B
9．CD 10．BCD 11．ACD 12．ABD
13．
14．/
15．
16．
17．【详解】（1）解：因为边上的高所在的直线方程为，可得斜率为，
可得直线的斜率，又因为的顶点，
所以直线的方程为，即；
所以直线的方程为.
（2）解：直线边上的中线所在的直线方程为，
由方程组，解得，所以点，
设点，则的中点在直线上，所以，即，
又点在直线上，，解得，所以，
所以的斜率，所以直线的方程为，
即直线的方程为．
18．【详解】（1）由得圆心，
∵圆的半径为1，
∴圆的方程为：，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即．
∴，
∴，∴或．
∴所求圆的切线方程为或．
（2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为，
则圆的方程为．
又∵，
∴设为，则，整理得，设为圆．
所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，
∴，
由，得，
由，得．
综上所述，的取值范围为．
19．【详解】（1）由，，
知，，
所以，所以；
（2）设，，分别为与，，同方向的单位向量，
则，，，
①，
.                                       
②因为，所以，
则，
∵，                               .
∴，
，
所以与的夹角的余弦值为
20．【详解】（1）设弦的两端点为，，则，
两式相减得到，又，，
所以直线斜率.
以为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：，整理得．
故求得直线方程为.
（2）设，，，按照（1）的解法可得，①
由于，，P，A四点共线，得，②
由①②可得，整理得，检验当时，，也满足方程，故的中点P的轨迹方程是.
21．【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，
因为，，所以与均为等边三角形，
，从而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
（2）不妨设，，．
，，又，平面平面．
以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设，
设平面与平面的一个法向量分别为，
二面角平面角为,而，
因为，所以，即有，
，取，所以；
，取，所以，
所以，，从而．
所以二面角的正弦值为．

22．【详解】（1）根据题意，解得，故椭圆的方程为；
（2）要使过点的直线交于点，两点，则的斜率存在且大于0，

设，即，，，，
联立，得．
且时，（时，或不存在），，
，，
计算得，，

，
故为定值．
答案第5页，共5页