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安徽省名校联盟2023-2024学年高二上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．点到直线的距离为（    ）
A． B． C． D．1
2．已知椭圆的焦距为4，则（    ）
A． B．4 C．或2 D．或4
3．在空间直角坐标系中，已知点，，若与方向相反，且，则（    ）
A． B．
C． D．
4．已知椭圆的左焦点为，若点P在椭圆C上，则的最大值为（    ）
A．1 B．5 C．7 D．
5．已知直线与圆交于M，N两点，若，则（    ）
A．4 B．2 C． D．
6．在空间直角坐标系中，已知点，，，则（    ）
A． B． C． D．
7．如图，已知某光线从点射出，经过直线上的点B后第一次反射，此反射光线经过直线上的点C后再次反射，该反射光线经过点，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．2
8．已知四点均在椭圆上，其中轴，轴，且，，，若点D在第一象限，则椭圆C的离心率为（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．已知直线，其中，，的图象如图所示，直线，的斜率分别为，，纵截距分别为，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．
C． D．
10．已知集合，若Ü，则可能是（    ）
A． B．
C． D．且
11．已知正方体中，，，，下列说法正确的是（    ）
A．若，，则直线与平面所成角的正弦值为
B．若，，则点到直线的距离为
C．若平面，则
D．若，则
12．已知圆过点、、，为圆上的动点，点，，O为坐标原点，，分别为线段，的中点，则（   ）
A．
B．面积的最小值为8
C．
D．的最小值为

三、填空题
13．已知圆，圆，其中．若圆，仅有2条公切线，则a的值可能是 （给出满足条件的一个值即可）．
14．在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为 ．
15．若直线过点且与椭圆仅有1个交点，则直线的斜率为 ．
16．已知直线（m为任意实数）过定点P，则点P的坐标为 ；若直线与直线，分别交于M点，N点，则的最小值为 ．

四、解答题
17．已知点在直线上，且________．
(1)在“①直线与直线平行；
②直线与直线垂直；
③直线的倾斜角为，直线的斜率是直线的斜率的2倍．”
三个条件中任选一个，填在横线上，求直线的方程；
(2)在（1）的条件下，若直线与直线的距离为，求实数m的值．

18．已知椭圆的上、下焦点分别为，，O为坐标原点．
(1)若点P在椭圆C上，且，求的余弦值；
(2)若直线与椭圆C交于A，B两点，记M为线段的中点，求直线的斜率．

19．已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点．

(1)若，求的值；
(2)求的值．

20．已知菱形如图①所示，其中，现沿进行翻折，使得平面平面，再过点B作平面，且，所得图形如图②所示．

(1)若点P满足，且平面，求的值；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．

21．一般地，平面内到两个定点P，Q的距离之比为常数（且）的动点F的轨迹是圆，此圆便是数学史上著名的“阿波罗尼斯圆”．基于上述事实，完成如下问题：
(1)已知点，，若，求动点M的轨迹方程；
(2)已知点N在圆上运动，点，探究：是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．

22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点在椭圆C上，且，直线过点且与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知，，若直线，交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．

试卷第7页，共7页

参考答案：
1．A
2．C
3．B
4．C
5．D
6．A
7．D
8．B
9．AC
10．ABD
11．ABC
12．ACD
13．5（答案不唯一，填写5，6，7，8，9均可）
14．/
15．
16． 42
17．(1)
(2)或

【分析】（1）若选①②根据已知设出直线方程，将点坐标代入方程，即可得出答案；若选③，先根据已知条件，求出直线的斜率，代入点斜式方程，即可得出答案；
（2）先判断，然后根据两条平行线之间的距离公式，列出方程，求解即可得出答案.
【解析】（1）若选①：
依题意，设直线，
将代入可得，，
故直线的方程为；
若选②：
依题意，设直线，
将代入可得，，
故直线的方程为；
若选③：
依题意，直线的斜率，
故直线的斜率.
又点在直线上，
代入点斜式方程，
整理可得.
（2）由（1）可得，直线的方程为，斜率为2.
又直线，
且，所以.
直线的方程可化为，
故直线、之间的距离，
整理可得，
解得或．
18．(1)
(2)．

【分析】（1）由椭圆的性质和余弦定理直接求出；
（2）设出交点坐标，带入曲线方程，作差，再结合条件得出.
【解析】（1）依题意，，
则，
而，
故；
（2）设，，则
两式相减可得，，
则，即，
即，
而直线的斜率，
故．
19．(1)，，
(2)3

【分析】（1）先根据空间向量得线性运算将用表示，再根据空间向量基本定理即可得解；
（2）先利用余弦定理求出，再根据数量积的运算律即可得解.
【解析】（1）

，
又，
∴，，；
（2）由余弦定理得，
易知；
故

，
∴．
20．(1)
(2)

【分析】（1）首先证明，，，然后以为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用平面，由即得. （2）分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，结合法向量的夹角即得.
【解析】（1）如图，取中点O，连接，；

由图①可知，、是正三角形，
所以，．
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以．
以为正交基底建立空间直角坐标系．
设平面的一个法向量．
因为平面等价于．
不妨设，则，，，，，
因为，，，，
故，．
因为平面的一个法向量，
所以，则，
令，则，，
所以．
由，
解得；
（2）因为，，
设平面的一个法向量，
所以即
令，则，，
所以．
平面的一个法向量，
所以平面与平面夹角的余弦值．
21．(1)
(2)存在，

【分析】（1）设，求出、，代入化简可得答案；
（2）设，，求出、，代入化简，再由点N在圆上，两个方程对比可得答案.
【解析】（1）设，则，，
故，
故，
化简得；
（2）设，，
故，，
∵，故，
即，
而点N在圆上，即，
对照可知，，解得，
故存在定点，使得．
22．(1)
(2)点D在直线上．

【分析】（1）利用两点距离公式可计算焦点坐标，待定系数法计算椭圆方程即可；
（2）由题意先确定M、N位置，设直线与、坐标，联立直线与椭圆方程利用韦达定理得出、纵坐标关系式，再利用点、坐标表示直线、，法一、求出D点横坐标化简计算即可；法二、直接利用直线、方程作比计算为定值，计算即可.
【解析】（1）设，，，
则，
则，解得（舍去），
则，①
代入点得，②
联立①②，解得，，
故椭圆C的标准方程为；
（2）
依题意，，，
设直线，联立，
整理得，
；
设，，
则，，
所以.
可设直线，直线，
法一：联立
得

，
故点D在直线上．
法二：故，
解得，
故点D在直线上．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.

答案第7页，共8页