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安徽省合肥市普通高中联盟2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．经过，两点的直线的倾斜角为（    ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，则向量（   ）
A． B． C． D．
3．在等差数列中，，，则的值是（   ）
A．13 B．14 C．16 D．17
4．如果直线与互相垂直，那么a的值等于（   ）
A．－1 B． C． D．2
5．直线被圆截得的弦长为（    ）
A． B．2 C． D．4
6．大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则该数列第18项为　　
A．200 B．162 C．144 D．128
7．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为

A． B． C． D．3

二、多选题
9．满足下列条件的数列是递增数列的为（    ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（    ）
A．直线必过定点
B．直线在y轴上的截距为1
C．过点且垂直于直线的直线方程为
D．直线的倾斜角为120°
11．已知曲线C：，则（    ）
A．存在m，使C表示圆
B．当时，则C的渐近线方程为
C．当时，则C的焦点是，
D．当C表示双曲线时，则或
12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M、N分别为PC、PB的中点.则（    ）

A． B． C．平面ANMD D．BD与平面ANMD所在的角为30°

三、填空题
13．已知为坐标原点，，若，则的坐标是 ．
14．已知抛物线 上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为 ．
15．已知等差数列的公差，若成等比数列，则的值为 .
16．光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为 ．

四、解答题
17．已知数列的前n项和为，，其中．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.

(1)试用表示向量；
(2)求BM的长.
19．已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线C过点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值.
20．如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．

(1)求证：BE∥平面DCF；
(2)求点B到平面DCF的距离．
21．已知数列满足，
(1)证明是等比数列，并求的通项公式
(2)若，求数列的前项和．
22．已知椭圆（）的离心率，椭圆过点
（1）求椭圆的方程；
（2）直线的斜率为，直线与椭圆交于两点，已知，求面积的最大值.

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．C
2．C
3．B
4．C
5．B
6．B
7．D
8．C
9．BD
10．AC
11．AD
12．CD
13．
14．
15．
16．
17．(1)，
(2)
【解析】（1）因为，
当时，有，
当时，有，
所以，
经检验，满足上式，
所以，；
（2）因为，；
所以，
因此.
18．(1)
(2)
【解析】（1）

（2）
，所以，则BM的长为.
19．(1)
(2)或
【解析】（1）由题意得，解得
所以双曲线方程为.
（2）由，得，
由题意得，解得.
当，即时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线l与双曲线C只有一个公共点，
所以或.
20．(1)证明见解析
(2)2

【解析】（1）证明：∵得AB∥CD，平面DCF；平面DCF，∴AB∥平面DCF；
∵AE∥DF，平面DCF；平面DCF，∴AE∥平面DCF，
∵平面ABE, 平面ABE,
∴平面ABE∥平面DFC，
∵BE⊂平面ABE，∴BE∥平面DCF．
（2）如图，以D为原点，建立空间直角坐标系．

∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，则△ADB∽△BCD⇒，
∵CD＝1，BC＝2．∴BD＝，∴AD＝2，AB＝5，
∴F(0，0，1)，D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，，0)，C，
，,．
设平面DCF的法向量为，
则，∴，
令x＝1，y＝2，z＝0．∴.
∴．
∴B到平面DCF的距离为2．
21．(1)证明见解析，
(2)

【解析】（1）∵数列满足，，
∴，
又，
∴是首项为，公比为3的等比数列.
∴，
∴的通项公式.
（2）.
∴数列的前项和：
，①
，②
①-②，得：
，
∴.
22．(1) ;(2)2.
【解析】（1）∵∴
∵椭圆过点∴

（2）

答案第5页，共5页