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辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题.docx

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辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题 1.以下四个命题中,正确的是(    ) A.向量与向量平行 B.已知,则 C. D.若为空间的一个基底,则,,构成空间的另一基底 2.已知直线的一个方向向量为,且经过点,则直线的方程为(    ) A. B. C. D. 3.如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱中,,则异面直线与所成角的余弦值为(    )      A. B. C. D. 4.已知椭圆,直线,则与的位置关系为(    ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上选项都不对 5.已知,若共面,则实数的值为(    ) A.6 B.5 C.4 D.3 6.已知是椭圆上一点,分别是椭圆的左、右焦点、若的周长为6,且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1,则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 7.已知圆是圆上的两点,点,且,则的值为(    ) A. B.7 C. D.8 8.如图,在正四面体中,点分别为和的重心,为线段上点,且平面,设,则的值为(    )    A. B. C. D. 二、多选题 9.下列命题中是假命题的为(    ) A.若非零向量与平面平行,则所在直线与平面也平行 B.若平面的法向量分别为,则 C.已知为直线的方向向量,为平面的法向量,则 D.若两个空间非零向量满足,则 10.圆和圆的交点为,则有(    ) A.公共弦所在直线方程为 B.线段中垂线方程为 C.公共弦的长为 D.为圆上一动点,则到直线距离的最大值为 11.如图,在棱长为1的正方体中,是棱上的动点,则下列说法正确的是(    )    A.存在点,使得 B.存在点,使得 C.对于任意点Q,Q到的距离的取值范围为 D.对于任意点,都是钝角三角形 12.已知椭圆的左、右焦点分别为,过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点,下列结论正确的是(    ) A.椭圆离心率的取值范围是 B.若,且,则 C.若,则 D.若,则 三、填空题 13.已知空间向量两两夹角均为,其模均为1,则 . 14.已知圆,直线.当直线被圆截得弦长取得最小值时,直线的方程为 . 15.已知点是椭圆的左焦点,是椭圆上任意一点.则的取值范围为 . 16.如图,在四棱锥中,底面是矩形,为棱的中点,且为棱上的一点,若与平面所成角的正弦值为,则 .    四、解答题 17.已知圆心为的圆经过两点,且圆心在直线上. (1)求圆的方程: (2)求过点且与圆相切的直线方程. 18.如图,直二面角中,四边形是边长为2的正方形,为上的点,且平面, (1)求二面角的正弦值: (2)求点到平面的距离. 19.已知的顶点边上的高所在的直线方程为. (1)求直线的方程; (2)在两个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答. ①角的平分线所在直线方程为; ②边上的中线所在的直线方程为. 若__________.求直线的方程. 注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分. 20.已知椭圆的中心是坐标原点,它的短轴长为,一个焦点的坐标为,过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点,. (1)求椭圆的方程; (2)若过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程. 21.如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,为等边三角形,平面平面.    (1)求直线与平面所成角的正弦值. (2)为线段上一点.若直线与平面所成的角的正弦值为,求平面与平面夹角的余弦值. 22.已知椭圆经过点为椭圆的右焦点,为坐标原点,的面积为. (1)求椭圆的标准方程: (2)椭圆的左、右两个顶点分别为,过点的直线的斜率存在且不为0,设直线交椭圆于点,直线过点且与轴垂直,直线交直线于点,直线交直线于点,则是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 试卷第5页,共5页 参考答案: 1.D 2.D 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.C 9.ABC 10.BD 11.BC 12.ACD 13. 14. 15. 16./ 17.【详解】(1)设圆心 依题意,的中点为,直线的斜率,则线段的垂直平分线方程为, 显然圆心在线段的垂直平分线上,由,解得, 因此圆心的坐标是,圆的半径, 所以圆的方程是. (2)依题意,过点且与圆相切的直线斜率存在,设该切线方程为,即, 于是,解得或, 所以所求切线方程为和.    18.【详解】(1)连接,连接,如图, 由四边形是边长为2的正方形,得,且为的中点,, 由平面,平面,得,而平面, 则平面,又平面,于是,因此是二面角的平面角, 由二面角为直二面角,得平面平面,而平面平面, 又,平面,则有平面,平面, 则,由平面,平面,得,平面, 于是平面,而平面,则,又,因此, 显然,从而,由平面,平面,得, 于是,则, 所以二面角的正弦值为. (2)由(1)知,,为线段的中点,即平面经过线段的中点, 因此点到平面的距离等于点到平面的距离,而平面, 即点到平面的距离为线段长, 所以点到平面的距离为. 19.【详解】(1)由边上的高所在的直线方程为,得直线的斜率,而的顶点, 所以直线的方程为:,即. (2)选①,角的平分线所在直线方程为,令该直线与边交于点, 由,解得,即点A坐标为, 设点B关于的对称点为, 则,解得,即坐标为, 显然点在直线上,则直线的斜率, 所以直线的方程为,即. 选②,边上的中线所在的直线方程为, 由,解得,即点A坐标为, 设点,则的中点在直线上,即, 整理得,又点在直线上,即, 由,解得,即点,直线的斜率, 所以直线的方程为,即. 20.【详解】(1)因为短轴长为,所以, 由题意可知:,解得, 所以椭圆方程为. (2)因为点在椭圆外,所以过该点的直线PQ的斜率必然存在, 可设直线PQ的方程为,, 联立方程,消去y得, 则,解得, 由根与系数的关系可知:, 可得. 由得,即, 解得:,符合, 所以直线PQ的方程为. 21.【详解】(1)取AD中点O,连接OB,OP, 因为为等边三角形,则,且, 又因为平面平面ABCD,平面平面,平面PAD, 所以平面ABC, 由平面ABCD,可得, 又因为,且,可得, 且,平面POB,平面POB,, 所以平面POB. 由平面POB,可知,则,,, 在中,可知, 由余弦定理可得, 设点A到平面PBC的距离为h, 则即,解得, 所以直线与平面所成角的正弦值为.    (2)由(1)可知:分别以OA,OB,OP为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, 则,,,,, 可得,,,, 设,则,, 得,则, 因为平面ABC,则取平面ABCD的法向量., 设AE与平面ABCD所成的角为,则 ,解得, 则,. 设平面ADE的法向量,则, 令,则取平面ADE的法向量, 设平面的法向量,则, 令,则取平面的法向量, 故平面ADE与平面夹角的余弦值为.    22.【详解】(1)由题意可得,解得, 所以椭圆的标准方程. (2)因为在椭圆内,则直线m与椭圆必相交, 且直线m的斜率存在且不为0, 设过点K的直线m的方程为, 联立方程,消去x得, 则, 可知, 又因为,直线, 直线AM的方程为,则, 同理可得, 所以, 其中, 所以(定值). 答案第5页,共6页
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