山东省日照市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次单元过关测试（12月）数学试题.docx

山东省日照市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次单元过关测试（12月）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若复数，则（　  ）
A． B． C．4 D．5
2．设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P

又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于（    ）
A． B． C． D．
3．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则（    ）
A． B． C． D．
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于（    ）
A．BD B．AC C．A1D D．A1A
5．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（    ）
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0
6．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率为(　  　)
A． B． C． D．
7．7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（　　）
A．60 B．120
C．240 D．360
8．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则的中点到准线的距离为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．下列关于的说法，正确的是（    ）
A．展开式的各二项式系数之和是1024 B．展开式各项系数之和是1024
C．展开式的第5项的二项式系数最大 D．展开式的第3项为45x
10．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则下列结论中正确的是（ ）
A．取出的白球个数X服从二项分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．取出球总得分最大的概率为
11．甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以，，表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则（    ）
A．B与相互独立 B．，，两两互斥
C． D．
12．在正方体中，，分别为的中点，是上的动点，则（    ）

A．平面
B．平面截正方体的截面面积为18
C．三棱锥的体积与点的位置无关
D．过作正方体的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为

三、填空题
13．如果直线：y＝kx﹣5与圆x2+y2﹣2x+my﹣4＝0交于M、N两点，且M、N关于直线2x+y＝0对称，则直线被圆截得的弦长为_____
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M．若，且，则的离心率为 ．
15．若的展开式中的系数为，则实数 ．
16．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行
（1）小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；
（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛（每两队主客场各赛一场决出胜者）；
（3）决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
则全部赛程共需比赛 场．

四、解答题
17．在二项式的展开式中，______给出下列条件：
①若展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为7：2；
②所有偶数项的二项式系数的和为256；
③若展开式前三项的二项式系数的和等于46．
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求展开式的常数项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
18．如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件（）表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”．

(1)求的值：
(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．
19．学校在军训过程中要进行打靶训练，给每位同学发了五发子弹，打靶规则：每个同学打靶过程中，若连续两发命中或者连续两发不中则要停止射击，否则将子弹打完.假设张同学在向目标射击时，每发子弹的命中率为.
(1)求张同学前两发只命中一发的概率；
(2)求张同学在打靶过程中所耗用的子弹数X的分布列与期望.
20．如图，平面，，，，，.

（1）直线与平面所成角的正弦值；
（2）若二面角的余弦值为，求线段的长.
21．据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，市从该地区小学生中随机抽取容量为的样本，其中因近视佩戴眼镜的有人(其中佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生).
（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
（2）从这名戴角膜塑形镜的学生中，选出个人，求其中男生人数的分布列；
（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数的期望和方差.
22．已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．

(1)求椭圆的方程；
(2)如图，、是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点．记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？

试卷第5页，共6页

参考答案：
1．D 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C
9．AD 10．BD 11．BC 12．ABC
13．4 14． 15．2 16．
17.【详解】由二项式知：展开式通项为，
①第5项与第3项的二项式系分别为、，故，
∴，整理得，又，解得.
②所有偶数项的二项式系数的和为，可得.
③前三项的二项式系数为，解得.
（1）由上知：展开式通项为，
当，有时，常数项为.
（2）由上知：的展开项通项为，
∴故展开式中系数绝对值为，由题设，解得，
∴，即第7项系数绝对值最大，.
18．【详解】（1）由已知得：,而
由全概率公式可得：
（2）因“小明取出的球是黑球，该黑球来自1号箱”可表示为：,其概率为,
“小明取出的球是黑球，该黑球来自2号箱”可表示为：,其概率为,
“小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱”可表示为：,其概率为.
综上，最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自3号箱的概率最大.
19．【详解】（1）记“第发子弹命中目标”为事件，则相互独立，
且，其中，
张同学前两发子弹只命中一发的概率为
；
（2）的所有可能取值为，
，
，
，

综上，的分布列为

2
3
4
5

故.
20．【详解】以为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：

（1）由题意得：，，，
，，
设平面的法向量
，令，则，    
设直线与平面所成角为

即直线与平面所成角的正弦值为：
（2）设，则    
设平面的法向量
，令，则，    
由（1）知，平面的法向量

又二面角的余弦值为    ，解得：
线段的长为：
21．【详解】解：（1）根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，
故所求的概率为： ，
所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；
（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，
其中：；
；
.
所以男生人数的分布列为：

（3）由已知可得：
则：，
所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.
22．【详解】（1）解：抛物线的焦点为，
由题意可得，，，故，
因此，椭圆的方程为.
（2）解：设、，设直线的方程为，其中，
联立，得，，
由韦达定理可得，，
所以，
易知点、，，
所以，直线的方程为，
将代入直线的方程可得，即点，
，，
所以，，
所以，.

答案第5页，共5页