江苏省南京市2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题.docx

江苏省南京市2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．记为等差数列的前n项和，若则的公差为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（    ）
A． B．
C． D．
3．若，则可导函数在处的导数为（    ）
A． B． C．1 D．2
4．若直线与圆相交于A、B两点，且(其中O是原点)，则k的值为（    ）
A． B． C．- D．
5．已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（    ）
A． B． C． D．
6．已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为(    )
A．3 B．2 C． D．
7．已知，则的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
8．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与曲线的左、右两支分别交于，两点.若，，，成等差数列，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是（    ）
A． B．
C．的最大值为 D．的前10项和为
10．下列说法正确的有（    ）
A．直线过定点
B．过点作圆的切线，则的方程为
C．圆上存在两个点到直线的距离为2
D．若圆与圆有唯一公切线，则
11．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（    ）

A．椭圆的离心率是 B．线段长度的取值范围是
C．面积的最大值是 D．的周长存在最大值
12．若直线与两曲线、分别交于、两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论正确的有（    ）
A．存在，使 B．当时，取得最小值
C．没有最小值 D．

三、填空题
13．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则 ．
14．若直线将圆的周长分为2∶1两部分，则直线的斜率为 .
15．数列中，，且，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为 ．
16．已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围是 .

四、解答题
17．已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线与圆相交于两点．
(1)求圆的标准方程；
(2)当时，求直线的方程．
18．某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克．
(1)求的解析式；
(2)若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大．
19．在等差数列中，为的前n项和，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
20．已知数列的前n项和为，．
(1)求；
(2)若，对任意的，，，求 的取值范围．
21．已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程有两个不同的实数根，证明：.
22．已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点．
(1)若，求证：；
(2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值．

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．C
2．D
3．A
4．A
5．C
6．D
7．D
8．C
9．BCD
10．AC
11．AC
12．ABD
13．4
14．0或
15．
16．
17．(1)；
(2)或．
【详解】（1）设圆A的半径为r，由题意知，
圆心到直线l的距离为，即，
所以圆A的方程为；
（2）当直线与x轴垂直时，直线方程为，即，
点A到直线的距离为1，此时，符合题意；
当直线与x轴不垂直时，设，即，
取的中点Q，连接，则，

因为，所以，
又点A到直线的距离为，
所以，解得，所以直线方程为．
综上，直线的方程为或．
18．(1)，
(2)元千克
【详解】（1）由题意可知，当时，，
当时，，
即，解得，
所以，，
（2）设每日销售该商品获利元，则
，
则，
令，得或舍去，
所以时，，为增函数，
时，，为减函数，
所以时，取得最大值，
，
所以销售价格定为元千克，商家每日获利最大．
19．(1)，
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
所以，解得，所以，
，①
则当时，②
①②得：，则，
而当时，，则，满足上式．
所以．
（2）记，

，
.
20．(1)；
(2).
【详解】（1）由，
，
可得，即，
所以，
所以，
令，可得，令，可得，
所以为奇数时，，
当为偶数时，，
即；
（2）因为，，
当时，，
令，则
当时，

，
所以，当时，，
所以的最小值为，
所以.
21．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）令，得，即.
设，则，则时，时，.
故在时取最大值.
又时，时，，从而，得；
（2）由得，，
从而，
又，

,
即，
设，易知，
故当时，，
所以当时，，即，
所以.
22．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：设、，因为椭圆的焦距为，所以，解得．
又因为椭圆的离心率，所以，所以，
所以椭圆的方程为.
因为直线经过、，，
所以，直线的方程为，
设点、，联立可得，
由，得，.        
所以，
，
因此，.
（2）证明：若直线、中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线平行，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，
则直线方程为，其中．
联立可得，
设、，则，
由韦达定理可得，，
易知且，将代入直线的方程可得，即点，
所以

，
同理可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为.
答案第5页，共6页