辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部2023-2024学年高一上学期期中数学试题.docx

辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部2023-2024学年高一上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．设全集是实数集，，都是的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B．
C． D．
2．关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（    ）
A．或 B．或
C．或 D． 或
3．若，且，则的值为（    ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若在R上是减函数，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
5．若方程的两实根均在区间内，求的取值范围（    ）.
A． B．
C． D．
6．设，若恒成立，则的最大值为（    ）
A．9 B．18 C．20 D．27
7．已知函数，函数是定义在上的奇函数，若的图象与的图象交于四点，则的值为（    ）
A． B． C． D．
8．函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则（    ）
A．615 B．616 C．1176 D．2058

二、多选题
9．下列函数中，值域为的是（    ）
A．， B．
C．， D．
10．下列命题中，真命题是（    ）
A．若、且，则、至少有一个大于
B．，
C．“”是“”的必要条件
D．“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件
11．下列说法中正确的是（    ）
A．存在，使得不等式成立
B．若，则函数的最大值为
C．若，，，则有最小值4
D．函数的最小值为4
12．已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ）
A．为奇函数 B．
C．， D．若的值域为，则

三、填空题
13．已知集合，，，则a的值为 ．
14．若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
15．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为 ．
16．已知正实数满足，则的最大值为 .

四、解答题
17．已知.
(1)当时，若同时成立，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．已知
(1)在上恒成立，求x的范围．
(2)在上恒成立，求a的范围．
19．某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍．
(1)求k的值；
(2)将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；
(3)该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）．
20．已知关于x的不等式的解集为或（）.
(1)求a，b的值；
(2)当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围.
21．已知定义域为的函数满足对任意，都有．
(1)求证：是偶函数；
(2)设时，
①求证：在上是减函数；
②求不等式的解集．
22．“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．函数的图象关于点对称，且当时，．
(1)求的值；
(2)设函数．
（i）证明函数的图象关于点对称；
（ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．C 2．A 3．B 4．B 5．B 6．B 7．B 8．B
9．AC 10．AD 11．ABC 12．BCD
13．-2 14． 15． 16．
17．【详解】（1）当时，，即，
，即，
若同时成立，则，
即实数的取值范围为.
（2）由（1）知，，
，
即，
①当时，，
若是的充分不必要条件，则，解得；
②当时，，此时不可能是的充分不必要条件，不符合题意.
综上，实数的取值范围为.
18．【详解】（1）在上恒成立，
令，
则，即，即，
因为，
所以不等式的解为或，
所以x的范围是或；
（2）因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
在上恒成立，
令，
因为，所以，
所以，则，
所以a的范围是.
19．【详解】（1）由已知，当时，，
∴，解得：，
（2）由（1）知，
故
，
化简得：．
（3），
∵，∴，即，则，
当且仅当即时等号成立，
此时，，
答：当促销费用约为3.7万元时，利润最大为19.7万元．
20．【详解】（1）方法一：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根且，
所以，解得
方法二：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根且，
由1是的根，有，
将代入，
得或，
∴；
（2）由（1）知，于是有，
故，
当且仅当时，等号成立，
依题意有，即，
得，
所以k的取值范围为.
21．【详解】（1）取得，即，
取得，即，
取，得，即是偶函数；
（2）①设，则，
由时，得，
则，
即在上为减函数，
②由是偶函数且在上是减函数，
则不等式等价为，
即得，
得得，
即或或，
即不等式的解集为或或..
22．【详解】（1）因为函数的图象关于点对称，所以，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得，即，
则.
（2）（i）由函数，
可得，
即，所以函数的图象关于点对称；
（ii）当时，为单调递增函数，可得，
函数的值域为，
若对任意，总存在，使得成立，等价于,
当时，，
①当时，即时，函数在上单调递增，
由对称性知在上单调递增，则函数在上单调递增，
则，又由，所以，
则，所以，
因为，可得，解得，因为，此时.
②当时，即时，函数在上单调递减，在单调递增，结合对称性，可得或，
因为，可得，
又，所以，
即当时，满足，此时，
又由，
因为，则，
此时满足，
所以当时，成立.
③当时，即时，函数在上单调递减，
由对称性知在上单调递减，则函数在上单调递减，
则，且，则，所以，
因为，可得，解得，
综上可得，，即实数的取值范围为.

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