2025年相似三角形综合题中考.docx

相似三角形综合题（中考）
1．已知：直角梯形OABC中，CB∥OA，对角线OB和AC交于点D，OC=2，CB=2，OA=4，点P为对角线CA上的一点，过点P作QH⊥OA于H，交CB的延长线于点Q，连接BP，如果△BPQ∽△PHA，则点P的坐标为．

2． 如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是（0，3），点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（4，3），P、Q分别是x、y轴上的两个动点，点P从C出发，在线段CB上以1个单位/秒的速度向点B移动，点Q从A出发，在线段AO上以2个单位/秒的速度向点O 移动．设点P、Q同时出发，运动的时间为t（秒）
3． （1）当t为什么值时，PQ平分四边形OABC的面积？
4． （2）当t为什么值时，PQ⊥OB？
5． （3）当t为什么值时，PQ∥AB？
6． （4）当t为什么值时，△OPQ是等腰三角形？

7． 如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒．
8． （1）用含x的代数式表达P的坐标（直接写出答案）；
9． （2）设y=S四边形OMPC，求y的最小值，并求此时x的值；
10． （3）与否存在x的值，使以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请阐明理由．

11． （•镇江）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重叠），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）．
12．
13． （1）求证：AM=AN；
14． （2）设BP=x．
15． ①若BM=3/8，求x的值；
16． ②求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式以及S的最小值；
17． ③连接DE分别与边AB、AC交于点G、H（如图2）．当x为什么值时，∠BAD=15°？此时，以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请阐明理由．
5．（•漳州）如图，在▱OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60°，0C=4cm．OA=8cm．动点P从点0出发，以1cm/s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以acm/s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先达成终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：点C的坐标是（ ， ），对角线OB的长度是 cm；
（2）当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为什么值时，S的值最大？
（3）当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M．若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范畴．

6．（•玉林）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P，Q，点P从点O出发沿线段OC（不涉及端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不涉及端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=2．
（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范畴．
（2）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则△AEF的面积S与否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值．
（3）在（2）的条件下，t为什么值时，四边形APQF是梯形？

7．（•宜昌）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．
（1）点E能够是AD的中点吗？为什么？
（2）求证：△ABG∽△BFE；
（3）设AD=a，AB=b，BC=c
①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；
②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．

8． （•威海）探索发现
9． 已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N．
10． （1）如图①，如果AD=BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线．
11． （2）如图②，如果AD≠BC，那么线段AM与BM与否相等？请阐明理由．
12． 学以致用
13． 仅用直尺（没有刻度），试作出图③中的矩形ABCD的一条对称轴．（写出作图环节，保存作图痕迹）
14．
9．（•三明）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=1/2∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点
（1）当点P与点C重叠时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；
（2）通过观察、测量、猜想：BF/PE = ,并结合图2证明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF/PE的值．（用含α的式子表达）

10． （•莆田）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2=AD•AC；
11． （2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．AB/BC=BD/DC=1,求AF/FC的值；
12． （3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重叠），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．若AB/BC= BD/DC=n，请探究并直接写出AF/FC的全部可能的值（用含n的式子表达），不必证明．
13．
14． （•哈尔滨）已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．
15． （1）如图1，当∠ACB=90°时，则线段DE、CE之间的数量关系?
16． （2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；
17． （3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG有关直线DG对称（点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H．若BH=10，求CE的长．
18．
12（•长春）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm．D、E分别为边AB、BC的中点，连接DE．点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动，到点B停止．点P在线段AD上以1/5cm/s的速度运动，在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重叠时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M在线段AQ上．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为 cm（用含t的代数式表达）．
（2）当点N落在AB边上时，求t的值．
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．
（4）连接CD，当点N与点D重叠时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M持续做来回运动，直至点P与点E重叠时，点H停止来回运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中点处，直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范畴．

13.（•哈尔滨）已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ=MN．
（1）如图1，求证：PC=AN；
（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长．

14.（•河南）类比、转化、从特殊到普通等思想办法，在数学学习和研究中经惯用到，以下是一种案例，请补充完整．
原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若AF/EF=3，求CD/CG的值．

（1）尝试探究
在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 . CD/CG的值是 ．
（2）类比延伸,如图2，在原题的条件下，若AF/EF=m（m＞0），则CD/CG的值是 （用含有m的代数式表达），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F．若AB/CD=a，BC/BE=b，（a＞0，b＞0），则AF/EF的值是 （用含a、b的代数式表达）．