中考数学——尺规作图与定义、命题、定理（含18种题型)(含答案).docx

第七章 图形的变化
第30讲 尺规作图与定义，命题，定理
（思维导图+2考点+2命题点18种题型）

1
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 尺规作图
考点二 定义、命题、定理
04题型精研·考向洞悉
命题点一 尺规作图
►题型01 作线段
►题型02 作一个角等于已知角
►题型03 尺规作角的和、差
►题型04 过直线外一点作已知直线的平行线
►题型05 作三角形
►题型06 作角平分线
►题型07 作垂线
►题型08 作等腰三角形
►题型09 画圆
►题型10 过圆外一点作圆的切线
►题型11 作正多边形
►题型12 格点作图
►题型13 无刻度直尺作图
►题型14 最短路径问题
命题点二 定义、命题、定理
►题型01 判断是否是命题
►题型02 判定命题的真假
►题型03 写成命题的逆命题
►题型04 反证法

01考情透视·目标导航
中考考点
考查频率
新课标要求
尺规作图
★★
Ø 能用尺规作图
定义、命题、定理
★
Ø 通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义.
Ø 结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
【命题预测】本考点内容以考查尺规作图和真假命题为主，年年考查，是广大考生的得分点，分值为6分左右．预计2024年各地中考还将继续考查这两个知识点. 中考对尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力，为避免丢分，学生应扎实掌握．

02知识导图·思维引航

03考点突破·考法探究
考点一 尺规作图
定义：最基本、最常用的尺规作图，通常称作基本作图,
五种基本作图：
1）作一条线段等于已知线段
已知
线段 a

求作
线段0A，使OA等于a
作法
1）任作一条射线OP；
2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求
依据
圆上的点到圆心的距离等于半径.
2）作一个角等于已知角
已知
∠AOB

求作
∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB
作法
1）作射线O'A'；
2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D；
3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E；
4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F；
5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求.
依据
1）三边分别相等的两个三角形全等；
2）全等三角形的对应角相等；
3）两点确定一条直线.
3）作已知角的角平分线
已知
∠AOB

求作
射线OP，使∠AOP=∠BOP
作法
1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N；
2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；
3）作射线OP，射线OP即为所求.
依据
1）三边分别相等的两个三角形全等；
2）全等三角形的对应角相等；
3）两点确定一条直线.
4）过一点作已知直线的垂线
已知
直线AB和AB上的一点M

求作
AB的垂线，使它经过点M
作法
作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线.
已知
直线AB和AB外一点M

求作
AB的垂线，使它经过点M
作法
1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁；
2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D；
3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E；
4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线.
依据
1）等腰三角形“三线合一”；
2）两点确定一条直线.
5）作线段的垂直平分线
已知
线段AB

求作
线段AB的垂直平分线
作法
1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；
2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线.
依据
1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；
2）两点确定一条直线.
尺规作图的关键:
1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；
2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；
3)切记作图中一定要保留作图痕迹；
4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键.

1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：
①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；
②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；
③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；
④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（　　）

A．∠AOM=∠B B．∠OMC+∠C=180∘
C．AM=CM D．OM=12AB
2．（2024·四川·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则∠ABG的大小为 度．

3．（2024·山东德州·中考真题）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线．下列作图痕迹不正确的是（   ）
A．B．C． D．
4．（2024·广东广州·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠B=90°．

(1)尺规作图：作AC边上的中线BO（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是矩形．
考点二 定义、命题、定理
1. 命题
定义：判断一件事情的语句，叫做命题.
组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
2.真命题、假命题

内容
举例
注意
真命题
如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题
‌对顶角不相等
说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论
假命题
命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题
‌相等的角是对顶角
判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可
3.逆命题
逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题.
互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．
4.公理、定理
公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短.
定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．
5.互逆定理
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
6.反证法
定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法.
反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．

1．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ．
2．（2024·山东潍坊·中考真题）下列命题是真命题的有（    ）
A．若a=b，则ac=bc
B．若a>b，则ac>bc
C．两个有理数的积仍为有理数
D．两个无理数的积仍为无理数
3．（2022·上海·中考真题）下列说法正确的是（   ）
A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
4．（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列命题中是假命题的是（    ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
04题型精研·考向洞悉
命题点一 尺规作图
►题型01 作线段
1．（2023·山西太原·模拟预测）已知线段a、b、c．

(1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕迹）
(2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长．
2．（2024·河北·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线MN分别交AB于点E，若AD=3,BE=1，则BC的长为（    ）

A．3 B．4 C．4.5 D．5
3．（2024·广东·模拟预测）如图，在等边△ABC中，AD为BC边上的高．

(1)实践与操作：利用尺规，以CD为边在CD下方作等边△CDE，延长ED交AB于点M；（要求：尺规作图并保留作图痕迹、不写作法，标明字母）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，证明CE=BM．
►题型02 作一个角等于已知角
1．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）作射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；以点C'为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D'；
（3）过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB.

上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'=∠AOB，其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是（    ）
A．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
2．（2024·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的延长线于点E．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM=∠A，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形
3（2021·山东青岛·中考真题）已知：∠O及其一边上的两点A，B．
求作：Rt△ABC，使∠C=90°，且点C在∠O内部，∠BAC=∠O．

►题型03 尺规作角的和、差
1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C．

(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ=2∠CAQ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在（1）、（2）的条件下，若sinA=35，CM=12，求BM的长．
2．（2022·江苏镇江·中考真题）操作探究题
(1)已知AC是半圆O的直径，∠AOB=180n°（n是正整数，且n不是3的倍数）是半圆O的一个圆心角．
操作：如图1，分别将半圆O的圆心角∠AOB=180n°（n取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

交流：当n=11时，可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=180n°所对的弧三等分吗？

探究：你认为当n满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=180n°所对的弧三等分？说说你的理由．
(2)如图2，⊙o的圆周角∠PMQ=2707°．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧CD（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

►题型04 过直线外一点作已知直线的平行线
1．（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形ABCD，E为DC边上一点．

求作：四边形内一点P，使EP∥BC，且点P到AB,AD的距离相等．
2．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，一次函数y=x−2的图象与反比例函数y=mx的图象交于A，B3,n两点，且直线AB与坐标轴分别交于P，Q两点．

(1)求m和n的值；
(2)已知点M0,2，请用无刻度的直尺和圆规过点M作直线AB的平行线（保留作图痕迹，不写作法）；
(3)若（2）中所作的平行线交x轴负半轴于点N，连接NP，QM，求四边形NPQM的面积．
►题型05 作三角形
1．（2022·广西贵港·中考真题）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．

2．（2023·江苏南京·中考真题）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度θ(0°<θ<180°)，再将旋转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作T(A，顺θ，k)；若逆时针旋转，记作T(A，逆θ，k)．
例如：如图①，先将△ABC绕点B逆时针旋转50°，得到△A1BC1，再将△A1BC1以点B为位似中心缩小到原来的12，得到△A2BC2，这个变换记作T(B，逆50°，12)．

(1)如图②，△ABC经过T(C，顺60°，2)得到△A'B'C，用尺规作出△A'B'C．（保留作图痕迹）
(2)如图③，△ABC经过T(B，逆α，k1)得到△EBD，△ABC经过T(C，顺β，k2)得到△FDC，连接AE，AF．求证：四边形AFDE是平行四边形．

(3)如图④， 在 △ABC中， ∠A=150°,AB=2,AC=1.若 △ABC经过（2） 中的变换得到的四边形AFDE是正方形．
①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
②直接写出AE的长．
►题型06 作角平分线
1．（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF=3，AF=5，则BF的长为 ．

2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于12BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF= ．

3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在△ABC中，AB>AC．

(1)尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DB=DC；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠BAC=90°，AB=7，AC=5，则AD的长是多少？（请直接写出AD的值）
►题型07 作垂线
1．（2021·江苏南京·中考真题）如图，已知P是⊙O外一点．用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．要求：
（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

►题型08 作等腰三角形
1．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=4，C是直线BO上一个动点，若△ABC是等腰三角形．

(1)用直尺和圆规作出点C的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)求OC的长．
►题型09 画圆
1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°．
求作：Rt△ABC的外接圆．
作法：如图2．
（1）分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线PQ，交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O即为所求作的圆．

下列不属于该尺规作图依据的是（    ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
2．（2024·甘肃·中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知⊙O和圆上一点M．作法如下：
①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙O于A，B两点；
②延长MO交⊙O于点C；
即点A，B，C将⊙O的圆周三等分．

(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将⊙O的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）画出的图形，连接AB，AC，BC，若⊙O的半径为2cm，则△ABC的周长为______cm．
3．（2022·甘肃武威·中考真题）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
原文
释义
甲乙丙为定直角．
以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；
以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；
再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；
乙与己及庚相连作线．
如图2，∠ABC为直角．
以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA，BC分别于点D，E；
以点D为圆心，以BD长为半径画弧与DE交于点F；
再以点E为圆心，仍以BD长为半径画弧与DE交于点G；
作射线BF，BG．

(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）完成的图，直接写出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小关系．
►题型10 过圆外一点作圆的切线
1．（2023·黑龙江绥化·中考真题）已知：点P是⊙O外一点．

(1)尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点F．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，若点D在⊙O上（点D不与E，F两点重合），且∠EPF=30°．求∠EDF的度数．
2．（2023·北京东城·模拟预测）下面是小明设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及圆上一点A．
求作：直线AB，使得AB为⊙O的切线，A为切点．
小明的作法如下：

①连接OA并延长到点C；
②分别以点A,C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点D（点D在直线OA上方）；
③以点D为圆心，DA长为半径作⊙D；
④连接CD并延长，交⊙D于点B，作直线AB．则直线AB就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，完成下列问题：
(1)使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接AD．
∵___________=AD
∴点C在⊙D上，CB是⊙D的直径．
∴___________=90°．（___________）
∴AB⊥________．
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．（___________）∵CD=AD
►题型11 作正多边形
1．（2024·甘肃临夏·中考真题）根据背景素材，探索解决问题．
平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形ABCDEF
背景素材
六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．

已知条件
点C与坐标原点O重合，点D在x轴的正半轴上且坐标为2,0
操作步骤
①分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P；
②以点P为圆心，PC长为半径作圆；
③以CD的长为半径，在⊙P上顺次截取DE=EF=FA=AB；
④顺次连接DE，EF，FA，AB，BC，得到正六边形ABCDEF．

问题解决
任务一
根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）
任务二
将正六边形ABCDEF绕点D顺时针旋转60°，直接写出此时点E所在位置的坐标：______．

2．（2024·上海闵行·二模）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动．
活动一：如图1，展示了一种用尺规作⊙O的内接正六边形的方法．
①在⊙O上任取一点A，以A为圆心、AO为半径作弧，在⊙O上截得一点B；
②以B为圆心，AO为半径作弧，在⊙O上截得一点C；再如此从点C逐次截得点D、E、F；
③顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA．

(1)根据正多边形的定义，我们只需要证明__________，________
（请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形ABCDEF是正六边形．
活动二：如图2，展示了一种用尺规作⊙O的内接正五边形的方法．
①作⊙O的两条互相垂直的直径PQ和AF；
②取半径OP的中点M；再以M为圆心、MA为半径作弧，和半径OQ相交于点N；
③以点A为圆心，以AN的长为半径作弧，与⊙O相截，得交点B．
如此连续截取3次，依次得分点C、D、E，顺次连接AB、BC、CD、DE、EA，那么五边形ABCDE是正五边形．
(2)已知⊙O的半径为2，求边AB的长，并证明五边形ABCDE是正五边形．
（参考数据：sin22.5°=2−22，cos22.5°=2+12，sin36°=10−254，cos36°=5+14，sin72°=10+254．）
►题型12 格点作图
1．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD，使其是轴对称图形且点C、D均在格点上．

(1)在图①中，四边形ABCD面积为2；
(2)在图②中，四边形ABCD面积为3；
(3)在图③中，四边形ABCD面积为4．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．

(1)在方格纸中画出△ABE，且AB=BE，∠ABE为钝角（点E在小正方形的顶点上）；
(2)在方格纸中将线段CD向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到线段MN（点C的对应点是点M，点D的对应点是点N），连接EN，请直接写出线段EN的长．
3．（2021·湖北荆州·中考真题）如图，在5×5的正方形网格图形中小正方形的边长都为1，线段ED与AD的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图：

(1)以线段AD为一边画正方形ABCD，再以线段DE为斜边画等腰直角三角形DEF，其中顶点F在正方形ABCD外；
(2)在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD和△DEF面积之和，其它顶点也在格点上．
►题型13 无刻度直尺作图
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是6×7的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆ACB上的点A，B，C，O均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹．

(1)在图中作出弧BC的中点D．
(2)连结AC，作出∠BAC的角平分线．
(3)在AB上作出点P，使得AP=AC．
2．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．

(1)在图（1）中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积；
(2)在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB=∠ACB；
(3)在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G；
(4)在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN（点A与点M对应，点B与点N对应）．
3．（2023·湖北·中考真题）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．

(1)在图1中作出以BE为对角线的一个菱形BMEN；
(2)在图2中作出以BE为边的一个菱形BEPQ．    
►题型14 最短路径问题
1．（2020·江苏南京·中考真题）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．

（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线A'B与直线l的交点C的位置即为所求， 即在点C处建气站， 所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在l直线上另外任取一点C'，连接AC'，BC'， 证明AC+CB<AC'+C'B， 请完成这个证明．

（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由），
①生市保护区是正方形区域，位置如图③所示
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

2．（2024·广东·模拟预测）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，请问怎样走才能使总路程最短？
【分析问题】
如图1，取点A关于河岸线的对称点A'，连接AP，A'P，当A'，P，B三点共线时，点P为饮马的地方，PA+PB=A'B，此时所走的路程就是最短的．

【解决问题】
（1）当A'，P，B三点共线时路程最短的依据是 ；
【迁移应用】
（2）如图2，A，B两个村庄在河岸CD 的同侧，两村到河岸CD的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，(CD=3千米，现要在河岸CD上建一水厂P，从P处向A，B铺设管道以输送自来水，使得铺设所需的管道长度和最少．
①请在河岸CD上作出水厂P的位置，并写出作图过程；
②若铺设水管的工程费用为20000元/千米，求出铺设水管最节省的总费用．
命题点二 定义、命题、定理
►题型01 判断是否是命题
1．（2020·四川雅安·中考真题）下列四个选项中不是命题的是（    ）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果a=b，a=c，那么b=c
2．（2023·广西南宁·模拟预测）下列语句中，不是命题的是（    ）
A．如果b+1<a+1，那么a+1>b+1 B．对顶角相等
C．两点之间，线段最短 D．过一点作已知直线的垂线
3．（2023·广东揭阳·二模）下列句子中哪一个是命题（    ）
A．你的作业完成了吗？ B．美丽的天空．
C．猴子是动物． D．过直线l外一点作l的平行线．
►题型02 判定命题的真假
1．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若a>b，则a−3<b−3”是 命题．（填“真”或“假”）
2．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（    ）
A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为720° D．直角三角形是轴对称图形
3．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下列命题：
①a3⋅a2=a5；
②−π>−3.14；
③圆周角等于圆心角的一半；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
►题型03 写成命题的逆命题
1．（2022·江苏无锡·中考真题）请写出命题“如果a>b，那么b−a<0”的逆命题： ．
2．（2022·浙江湖州·中考真题）“如果a=b，那么a=b”的逆命题是 ．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）《原本》是古希腊数学家欧几里得的著作，它以公理和原名为基础推演出更多的结论，是流传最广、影响最大的一部世界数学名著．请写出命题“如果a=b，那么a2=b2”的逆命题： ．
►题型04 反证法
1．（2023·湖南·中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．则三角形的三个内角的和大于180°，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．上述推理使用的证明方法是（    ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
2．（2024·山西长治·三模）请阅读以下关于“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明过程．
已知：直线l与⊙O相切于点C．
求证：OC与直线l垂直．
证明：如图，假设OC与直线l不垂直，过点O作OM⊥直线l于点M．
∴OM<OC，即圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径．
∴直线l与⊙O相交．
这与已知“直线l与⊙O相切”相矛盾．
∴假设不成立．
∴OC与直线l垂直．
这种证明方法为（　　）
A．综合法 B．归纳法 C．枚举法 D．反证法
3．（2024·江苏南京·模拟预测）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”第一步应假设直角三角形中 ．

第七章 图形的变化
第30讲 尺规作图与定义，命题，定理
（思维导图+2考点+2命题点18种题型）

99
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 尺规作图
考点二 定义、命题、定理
04题型精研·考向洞悉
命题点一 尺规作图
►题型01 作线段
►题型02 作一个角等于已知角
►题型03 尺规作角的和、差
►题型04 过直线外一点作已知直线的平行线
►题型05 作三角形
►题型06 作角平分线
►题型07 作垂线
►题型08 作等腰三角形
►题型09 画圆
►题型10 过圆外一点作圆的切线
►题型11 作正多边形
►题型12 格点作图
►题型13 无刻度直尺作图
►题型14 最短路径问题
命题点二 定义、命题、定理
►题型01 判断是否是命题
►题型02 判定命题的真假
►题型03 写成命题的逆命题
►题型04 反证法

01考情透视·目标导航
中考考点
考查频率
新课标要求
尺规作图
★★
Ø 能用尺规作图
定义、命题、定理
★
Ø 通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义.
Ø 结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
【命题预测】本考点内容以考查尺规作图和真假命题为主，年年考查，是广大考生的得分点，分值为6分左右．预计2024年各地中考还将继续考查这两个知识点. 中考对尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力，为避免丢分，学生应扎实掌握．

02知识导图·思维引航

03考点突破·考法探究
考点一 尺规作图
定义：最基本、最常用的尺规作图，通常称作基本作图,
五种基本作图：
1）作一条线段等于已知线段
已知
线段 a

求作
线段0A，使OA等于a
作法
1）任作一条射线OP；
2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求
依据
圆上的点到圆心的距离等于半径.
2）作一个角等于已知角
已知
∠AOB

求作
∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB
作法
1）作射线O'A'；
2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D；
3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E；
4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F；
5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求.
依据
1）三边分别相等的两个三角形全等；
2）全等三角形的对应角相等；
3）两点确定一条直线.
3）作已知角的角平分线
已知
∠AOB

求作
射线OP，使∠AOP=∠BOP
作法
1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N；
2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；
3）作射线OP，射线OP即为所求.
依据
1）三边分别相等的两个三角形全等；
2）全等三角形的对应角相等；
3）两点确定一条直线.
4）过一点作已知直线的垂线
已知
直线AB和AB上的一点M

求作
AB的垂线，使它经过点M
作法
作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线.
已知
直线AB和AB外一点M

求作
AB的垂线，使它经过点M
作法
1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁；
2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D；
3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E；
4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线.
依据
1）等腰三角形“三线合一”；
2）两点确定一条直线.
5）作线段的垂直平分线
已知
线段AB

求作
线段AB的垂直平分线
作法
1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于