中考数学——等腰三角形(练习)(含答案).docx

第四章 三角形
第18讲 等腰三角形

1

👉题型01 分类讨论思想在等腰三角形中的应用
👉题型02 根据等边对等角求解或证明
👉题型03 根据三线合一求解或证明
👉题型04 在格点图中画等腰三角形
👉题型05 根据等角对等边求边长
👉题型06 根据等角对等边证明
👉题型07 确定构成等腰三角形的点
👉题型08 等腰三角形性质与判定综合
👉题型09 利用等边三角形的性质求解
👉题型10 等边三角形的判定
👉题型11 等边三角形性质与判定综合
👉题型12 手拉手模型
👉题型13 与等腰三角形有关的折叠问题
👉题型14 与等腰三角形有关的动点问题
👉题型15 与等腰三角形有关的新定义问题
👉题型16 与等腰三角形有关的规律探究问题
👉题型17 与等腰三角形有关的多结论问题
👉题型18 探究等腰三角形中存在的线段数量关系

👉题型01 分类讨论思想在等腰三角形中的应用
1．（2024·云南昆明·一模）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2−6x+8=0的两根，则该等腰三角形的周长为 ．
2．（2024·江苏·模拟预测）若实数m，n满足|m−7+3−n|2=0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 ．
3．（2024·内蒙古赤峰·二模）学完等腰三角形的性质后，小丽同学将课后练习“一个等腰三角形的顶角是36°，求底角的度数”改为“等腰三角形的一个角是36°，求底角的度数”．下面的四个答案，你认为正确的是（    ）
A．36° B．144° C．36°或72° D．72°或144°
4．（2024·河南驻马店·三模）如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，D是边BC上的动点，连接AD，将△ABD沿AD折叠，点B的对应点为B'，若∠BDB'=120°，则BD的长为 ．

5．（22-23八年级上·河南南阳·期末）在等腰三角形中有一个角为40°，则腰上的高与底边的夹角为 ．
👉题型02 根据等边对等角求解或证明
6．（2024·陕西渭南·三模）如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，连接OA、OB，若OA=2，则该正八边形的面积为 ．（结果保留根号）

7．（2024·陕西·模拟预测）如图，在正五边形ABCDE中，AD,CE相交于点 F，连接BF，则∠CFB的度数是 ．

8．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，点P为直线BC上一点，且AC=CP，连接AP，则∠BAP的度数是（    ）

A．45° B．135° C．45°或135° D．30°或135°
9．（2024·广东河源·二模）如图，在四边形ABCD中，∠CAD=90°，∠B=30°，∠D=60°且AC=BC．

(1)求证：AB∥CD．
(2)若AD=1，求四边形ABCD的面积．
10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连接AF交EH于点G.若GE=GH，ABFH=56，AD=4，则EF= .

👉题型03 根据三线合一求解或证明
11．（2024·贵州黔东南·二模）如图，△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若AE=4，则BD的边长为（    ）

A．2.5 B．3.5 C．2 D．3+1
12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，点B、C在x轴上，BC=4OC，若△ABC的面积等于8，则k的值为 ．

13．（2024·山西·模拟预测）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，取AC的中点E，连接BE，过点C作BE的垂线，交BE的延长线于点D，若BD=8，DC=2，则DE的长为 ．

14．（2024·浙江·模拟预测）在劳动课上，小华同学所在小组进行了风筝框架设计比赛

(1)小华设计的风筝框架平面图如图1，已知. AB=AD，CB=CD， AC 与BD 交于点O，求证: BO=DO
(2)小明提出了改进建议：制作风筝框架只需要两个支架AC和BD (如图2)，当AC垂直平分BD时即可固定风筝.现在有总长度为120cm的细木条用于制作该风筝框架，小明同学想做面积最大的风筝，请你帮他设计：当AC为何值时，风筝的面积最大，面积最大值为多少？
15．（2024·山东聊城·三模）如图，△ABC中，点D是BC上一点，过点D作DE∥AB，点F是AD的中点，连接EF，并延长EF交AB于点G．

(1)连接DG，求证：四边形AGDE是平行四边形．
(2)若使四边形AGDE是菱形，△ABC应为什么特殊三角形？点D在BC的什么位置？证明你的猜想．
👉题型04 在格点图中画等腰三角形
16．（2024·贵州贵阳·二模）在如图所示的网格纸中，有A，B两个格点，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C有 个．

17．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是2×2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作格点图形，保留作图痕迹．

(1)在图①中，以AC为中线作△ABD，使AB=AD；
(2)在图②中，以AC为中线作Rt△AEF，使∠AEF=90°；
(3)在图③中，以AC为中线作△AMN，使∠AMN为钝角且tan∠MAC=12．
18．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1，已知格点P，请按要求完成以下问题．

(1)在图中画一个格点等腰三角形PEF，使得底边长为2；
(2)在图中再找一个格点G，使得P，E，F，G四点构成平行四边形，则该平行四边形的面积为__________．
19．（2024·河北邯郸·三模）如图中的点都在格点上，使△ABPn（n为1~4的整数）不是轴对称图形的点是 （      ）

A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
👉题型05 根据等角对等边求边长
20．（2024·广西桂林·一模）如图，在等边△ABC中，AB=6，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30°，则CE的长为 ．

21．（2024·贵州毕节·三模）如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90°， AC=BC， 点 D 在 AB上， AD=4， CD=10，则BD的长为 ．

22．（2024·海南海口·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若△ABE的面积是2，则点E到AB的距离为 ，DEEF的值是 ．

23．（2024·陕西·模拟预测）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的13处BE=13AB，已知试管AB=24cm，试管倾斜角α为10°，实验时，导气管BF交CD的延长线于点F，且ED⊥CF，测得DE=27.36cm，∠ABF=145°，求DF的长度．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）

24．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，且AD平分∠BAC，若AB=5，AC=4，则△ABD与△ACD的面积比为（    ）

A．5：4 B．4:5 C．16:25 D．25：16
25．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，AE⊥BC，交BC于点E，且AB=5，AE=BC=4，则CD的长为 ．

👉题型06 根据等角对等边证明
26．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在△ABC中，O是AB边的中点，D是CO上一点，AE ∥ BD交CO的延长线于点E．

(1)求证：AE=BD；
(2)若∠ACB=90°，∠BDO=∠CAO，AC=6，求BD的长．
27．（2024·江苏连云港·模拟预测）某学习小组在学习了正方形的相关知识后发现：正方形对角线上任意一点与正方形其他两个顶点相连形成的线段一定相等．该学习小组进一步探究发现：若过该点作其中一条线段的垂线与正方形的两边相交形成的较长线段和前面形成的两条线段也有关系．请根据下列探究思路完成作图和解答：

(1)尺规作图：过点E作EF⊥AE．分别交边AD、BC于点G、F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：EC=EF=AE．
👉题型07 确定构成等腰三角形的点
28．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．

(1)从A、D、E、F四点中任意取一点，以这点及点B、C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率；
(2)从A、D、E、F四点中任意取两点，以这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率．
29．（2023兰州市模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO=60°，在坐标轴上找一点P，使得ΔPAB是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8
30．（2020·江苏泰州·一模）已知点A(2，m)，点P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，则m= ．
31．（2024君山区一模）已知坐标原点O和点A(1,1)，试在x轴上找到一点P，使△AOP为等腰三角形，写出满足条件的点P的坐标
👉题型08 等腰三角形性质与判定综合
32．（2024通辽市模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是10．AB的垂直平分线ED分别交AC,AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为 ．

33．（2024·贵州·模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=45∘，∠C=60∘，BC=6，P为AC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为 ．

34．（2024·山西·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，到△AB'C'，连接CC'，交AB于点P，若AB=4，BC=2，则CP的长为 ．

35．（2024·湖南·模拟预测）如图，将等腰Rt△ABC的斜边BC向上平移至AD（点B和A重合），连接CD，M为线段CD上一点（不与点C重合），连接AM并将其绕点A顺时针旋转90°至AN，连接MN交BC于点E，连接BN．

(1)求证：△ABN≌△ACM；
(2)求证：EN=EM；
(3)如图2，分别取AM,CE的中点P,Q,连接PQ，试探究线段PQ和BE之间的数量关系，并说明理由．
👉题型09 利用等边三角形的性质求解
36．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于☉O，连接AO，DO，已知△AOD是等边三角形，DO是∠ADC的平分线，则∠ABC=（　　）

A．30° B．40° C．60° D．80°
37．（2024·山西大同·模拟预测）如图，等边△OAB的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，OA=2，将等边△OAB绕原点顺时针旋转105°至△OA'B'的位置，则点B'的坐标为 ．

38．（2024·安徽合肥·三模）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D是BC的中点，E，F分别在BC，AB上，连接AE，CF，两线交于点G，连接BG，DG，∠FGB=∠CGD，CE=1．
(1)求AE的长；
(2)求证：BG=2GD；
(3)求AG的长
39．（2024·湖南·模拟预测）平面图形的镶嵌往往给人以美的享受，如图1是用边长相等的正六边形与正三角形进行的无缝隙、不重叠的平面镶嵌．我们选取其中一个正六边形和三个与之相邻（正上方、左下方和右下方）的正三角形组成的图形部分，将其放在平面直角坐标系中．如图2，点A，B，C均为正六边形和正三角形的顶点．已知点A的坐标为2,0，反比例函数y=kxx>0的图象恰好经过点B，C，连接OB，OC，则△BOC的面积是 ．

👉题型10 等边三角形的判定
40．（2023·江西赣州·一模）在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2），△ABC和△DBC中，∠A=∠D=90°．试证明A、B、C、D四点在同一圆上．

小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取BC中点M，连接AM,DM，则有AM=BM=CM及DM=BM=CM，即AM=BM=CM=DM，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，MB为半径得圆上，根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：
(1)如图2，在△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H，若∠BAC=64°，则∠EDF= °．
(2)如图3，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，G为CD的中点，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F（E、F不重合），若∠EGF=60°，求证：CD=12AB．
41．（2023·甘肃平凉·模拟预测）某学习小组在学习时遇到了∠ACB=∠AED=90°下面的问题：
如图1，在△ABC和△ADE中，，∠CAB=∠EAD=60°，点E，A，C在同一直线上，连接BD，F是BD的中点，连接EF，CF，试判断△CEF的形状并说明理由．

问题探究
（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF的两条边是否相等，如EF=CF．以下是她的证明过程：
请根据以上证明过程，解答下列两个问题：
①在图1上作出证明中所描述的辅助线．
②在证明的括号中填写理由（请在SAS，ASA，AAS，SSS中选择）．
证明：延长线段EF交CB的延长线于点G．
∵F是BD的中点，∴BF=DF．
∵∠ACB=∠AED=90°，∴ED∥CG，∴∠BGF=∠DEF
又∵∠BFG=∠DFE，∴△BGF≌△DEF（    ）．
∴EF=FG，∴CF=EF=12EG．
问题拓展 在（1）在探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF的度数，并判断△CEF的形状．
👉题型11 等边三角形性质与判定综合
42．（2023·广东深圳·三模）综合与实践
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、B、C在半径为1的⊙O上静止不动，第四只蚂蚁P在⊙O上的移动，并始终保持∠APC=∠CPB=60°．

(1)请判断△ABC的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：△ABC是______三角形；
(2)“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁P在⊙O上的移动时，线段PA、PB、PC三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系：______，并加以证明；
(3)“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁M同时随着蚂蚁P的移动而移动，且始终位于线段PC的中点，在这个运动过程中，线段BM的长度一定存在最小值，请你求出线段BM的最小值是______（不写解答过程，直接写出结果）．
43．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠MAN=∠B，AM，AN分别交BC，CD于点M，N．

(1)【动手操作】如图①，若M是边BC的中点，根据题意在图①中画出∠MAN，则∠BAM=________度；
(2)【问题探究】如图②，当M为边BC上任意一点时，求证：AM=AN；
(3)【拓展延伸】如图③，在菱形ABCD中，AB=4，点P，N分别在边BC，CD上，在菱形内部作∠PAN=∠B，连接AP，若AP=13，求线段DN的长．
44．（2024·黑龙江鸡西·二模）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．

(1)如图1，若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE，AB，DE满足数量关系是 ；
(2)如图2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB，BD，DE，AE之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明；
(3)如图3，BC=8，AB=3，DE=7，若∠ACE=120°，则线段AE长度的最大值是 ．
45．（2024·山东·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上．

(1)如图1，当点E在边BC上时，求证DE=EB；
(2)如图2，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；
(3)如图1，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G， AG=5CG，BH=1．求CG的长．
46．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，⊙O为五边形ABCDE的外接圆，AB=BC，AE=DE，连接其对角线，交于点F，G，H，N，M．

(1)求证：∠AFG=∠AGF；
(2)当∠CAD=　　　时，△NED是等边三角形，并证明你的结论；
(3)在（2）的条件下，若AF=4，tan∠BAF=337．求证：S四边形ABNE=3S△EDN．
👉题型12 手拉手模型
47．（2023·甘肃张掖·模拟预测）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作：

(1)观察猜想：如图①，已知△ABC,△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，且不与点B、C重合，连接CE，易证△ABD≌△ACE，进而判断出AB与CE的位置关系是___________
(2)类比探究：如图②，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC=60°，试说明点B，D，E在同一直线上；
(3)解决问题：如图③，已知点E在等边△ABC的外部，并且与点B位于线段AC的异侧，连接AE、BE、CE．若∠BEC=60°,AE=3,CE=2，请求出BE的长．
48．（2023·河南洛阳·模拟预测）综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．

(1)操作判断  已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α0°<a<360°，连接BD，AE，如图1，若△ABC和△CDE均为等边三角形，请完成如下判断：
①线段BD与线段AE的数量关系是________；
②直线BD与直线AE相交所夹锐角的度数是________；
(2)迁移探究  如图2，若∠ABC=∠EDC=90°，∠BAC=∠DEC=30°，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；
(3)拓展应用：如图3，若∠BAC=∠DEC=90°，AB=AC，CE=DE，BC=2CD=42，当点B，D，E三点共线时，请直接写出BD的长．  
49．（2024·山东泰安·二模）【建立模型】

（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，且它们的们顶角∠BAE=∠DAC，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，△ABC中，AB=4cm，BC=3cm，∠ABC=30°，AC为边向外作等边△ACD，连接BD，求BD的长．
【模型变式】
（3）如图3，在（2）的条件下，以AC为腰在线段AC的左侧作等腰△ACD，AD=AC，∠CAD=120°，直接写出BD的长．
50．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠EAC，连接BC，DE交于点F，且B，A，E三点共线．

【模型建立】
（1）如图①，△ABD和△ACE是等腰三角形，AB=AD,AC=AE，
①求证：△ABC≌△ADE；
②判断∠BAD与∠BFE的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图②，△ABD和△ACE都是等边三角形，连接AF，求证：FA平分∠BFE；
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若AB=2AE=2，求AF的长．
51．（2024·山东临沂·模拟预测）几何探究与实践

(1)【模型认识】如图1所示，已知在△ABC中，∠BAC>90°，分别以AB、AC为直角边构造等腰直角三角形ABD和ACE，连接BE、CD，则BE与CD的关系是： ；
(2)【初步应用】如图2所示，连接DE，求证：S四边形BCED=12BE2；
(3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断△ABC和△ADE的面积有何关系，并加以证明；
(4)【拓广探索】如图3，在△ABC中，∠BAC=75°，AB=42，AC=2，以BC为直角边构造等腰直角三角形BCP，且∠PBC=90°，连接AP，试直接写出AP的长度．
👉题型13 与等腰三角形有关的折叠问题
52．（2024·湖北十堰·一模）如图，已知△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，F，G分别为边AB，AC边上的点，将△AFG沿FG折叠，点A的对应点恰好落在BC的中点D处，则CG的长为 ．

53．（2024·山东日照·二模）如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，D为边AC的中点，E为边AB上的一个动点，连接DE，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点为A'．当A'E⊥AC时，BE的长度为 ．

54．（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.折一折：把边长为6的正△AND三角形纸片，其沿直线GH折叠，使点A落在点A'处，分别得到图①、图②.
填一填，做一做：

(1)图①中阴影部分的周长为 .
(2)图①中， 若∠A'GN=80°， 则∠A'HD= °.
(3)图①中的相似三角形(包括全等三角形)共有 对；
(4)如图②， 点A'落在边AD上， 若A'NA'D=2，则AGAH=
55．（2024·河南周口·二模）综合与实践
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边上的动点BD<12AB．

(1)操作发现
按下列步骤操作：
第一步：将△BCD沿CD折叠，点B落在点G处，CG与AB相交于点O；
第二步：取AD上一点E，连接CE，将△ACE沿CE折叠，使点A与点G重合．
根据以上操作，∠DCE与∠DGE之间的数量关系为__________；线段DE与BD,AE之间的数量关系为__________．
(2)深入探究
如图2，在（1）的基础上，过点D作DF∥BC交CG于点F，连接EF．试判断△DEF的形状，并说明理由．
(3)问题解决
在（2）的条件下，当AB=12,CF:FG=5:7时，请直接写出折痕CD的长．
👉题型14 与等腰三角形有关的动点问题
56．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

(1)填空：∠AEB的度数为______；②线段AD，BE之间的数量关系为______；
(2)如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=6，平面上一动点P到点B的距离为4，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连DA，DB，PB，则BD是否有最大值和最小值？若有，直接写出，不需要说明理由．
57．（2024·全国·模拟预测）如图，在等边△ABC中，点D为AC边上一动点，点E为BC上一点，且满足AD=CE，连接AE，BD，当线段CF的长度最小时，S△ABFS△ABC的值为 ．

58．（2024·吉林长春·一模）【感知】如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连结BE．由ED=AD，∠ADC=∠EDB，BD=CD，可证△ACD≌△EBD．

【迁移】如图②，AD是△ABC的中线，点E在边AC上，连结BE交AD于点F，AE=EF，求证：AC=BF．
下面是小明同学的部分证明过程，请补全余下的证明过程．
证明：延长AD至点M，使DM=FD，连结MC．
【拓展】如图③，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连结AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，连结BE，F是线段BE的中点，连结DF、AF．若AD=6，则AF=______．
👉题型15 与等腰三角形有关的新定义问题
59．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”．

(1)①如图1，在△ABC中，CA=CB，D是AB上任意一点，则△ACD与△BCD “融通三角形”；（填“是”或“不是”）
②如图2，△ABC与△DEF是“融通三角形”，其中∠A=∠D，AC=DF，BC=EF，则∠B+∠E= ．
(2)若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数．
(3)如图3，在四边形ABCD中，对角线AC=4，∠CAB=30°，∠B=105°，∠D+∠B=180°，且△ACD与△ABC是“融通三角形”，AD>CD，求AD的长．
60．（2024·辽宁大连·模拟预测）点M在四边形ABCD内，点M和四边形的一组对边组成两个三角形，如果这两个三角形都是以对边为斜边的等腰直角三角形，那么定义该四边形ABCD 为蝴蝶四边形．例如，如图1，在四边形ABCD中， ∠AMB=∠CMD=90°， MA=MB，MC=MD，则四边形ABCD 为蝴蝶四边形．

【概念理解】如图2，正方形ABCD 中，对角线 AC，BD相交于点 M．判断正方形ABCD 是否为蝴蝶四边形，说明理由．
【性质探究】如图3，在蝴蝶四边形ABCD中，∠AMB=∠CMD=90°．求证：AC=BD．
【拓展应用】在蝴蝶四边形ABCD中， ∠AMB=∠CMD=90°，MA=MB=2,MC=MD=1，当△ACD 是等腰三角形时，求此时BD2的值．
61．（2024·广东深圳·模拟预测）【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的正对sad．在△OMN中，OM=ON，顶角O的正对记作sad∠O=底边腰=MNON．由此可知一个角的大小与这个角的正对也是相互唯一确定的，所以我们可按上述方式定义的正对，例如，sad60°=1,sad90°=2，请根据材料，完成以下问题：如图1，P是线段AB上的一动点（不与点A,B重合），点C,D分别是线段AP,BP的中点，以AC,CD，DB为边分别在AB的同侧作等边三角形△ACE,△CDF,△DBG，连接PE和PG．

(1)【阅读应用】①若等边三角形△ACE,△CDF,△DBG的边长分别为a,b,c，则a,b,c三者之间的关系为______；
②sad∠EPG=______；
(2)【猜想证明】如图2，连接EF,FG，猜想sad∠EFG的值是多少，并说明理由；
(3)【拓展应用】如图3，连接EF,EG，若AB=12,EF=27，则△EPG的周长是多少？此时AP的长为多少？（直接写出上述两个结果）
👉题型16 与等腰三角形有关的规律探究问题
62．（2022·宁夏银川·一模）如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1=1，以斜边OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3， 再以OA3为直角边作等腰Rt△OA3A4，…，按此规律作下去便得到了一个海螺图案，则OAn的长度为 ．  （用含n的式子表示）

63．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形OBA，∠OAB=90°，直角边OA在x轴正半轴上，且OA=1，将Rt△OBA绕原点O顺时针旋转90°，同时扩大边长的1倍，得到等腰直角三角形OB1A1（即A1O=2AO），同理，将Rt△OB1A1顺时针旋转90°，同时扩大边长1倍，得到等腰直角三角形OB2A2，依此规律得到等腰直角三角形OB2023A2023，则点B2023的坐标为（    ）

A．−22023,22023 B．22023,−22023 C．−22022,22022 D．22022,−22022
64．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5扫过的面积记为S3；…；按此规律，则S2024为（    ）

A．22020π B．22021π C．22022π D．22023π
65．（2024·四川广安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，所有三角形均为等边三角形，已知点A13,0，A32,0，A54,0，A71,0，A95,0，依据图形所反映的规律，则A2024的坐标是 ．

👉题型17 与等腰三角形有关的多结论问题
66．（2024·吉林长春·二模）如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连结MN，给出下面四个结论：①MN∥AB；②∠DPM=60°；③∠AEB=90°；④△ACM≌△DCN．上述结论中，一定正确的是 （填所有正确结论的序号）．

67．（2024·黑龙江·二模）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接FN，NE．下列结论：①AE=AF；②AB2=BM⋅BE；③△AEF是等边三角形；④BF=AN；⑤四边形AENF是菱形，正确结论的序号是 （   ）

A．②④⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②④⑤
68．（2024·北京·模拟预测）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为斜边BC上的中点，点E，F分别在直角边AB，AC上运动（不与端点重合），且保持BE=AF，连接DE，DF，EF．设BE=a，CF=b，EF=c．在点E，F的运动过程中，给出下面三个结论：①a+b>c；②a2+b2=c2；③c≥2(a+b)2，且等号可以取到．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
69．（2024·江苏苏州·二模）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，PQ=12，有下列结论：①CP与QD可能相等；②△AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为31316；④四边形PCDQ周长的最小值为3+372，其中，正确结论的序号为 .

👉题型18 探究等腰三角形中存在的线段数量关系
1．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践
【思考尝试】（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，D是BC边上的一点，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连接CE．用等式写出线段CD，BD，AD的数量关系，并说明理由；
【实践探究】（2）小睿受此问题启发，思考提出新的问题：如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为边BC上的点，且∠EAF=45°．用等式写出线段EF，BE，CF的数量关系，并说明理由；
【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的问题，发现并提出新的探究点：如图3，在△ABC中，∠BAC为直角，∠ABC=45°，平面内存在一点D，使CD⊥BD．若AD=42，CD=2，求△ABC的面积．

2．（2024·贵州黔南·模拟预测）已知△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC，BE=BD．

【问题发现】
（1）如图1，当点B，C，E在同一条直线上时，AE与CD的数量关系是______，位置关系是______；
【问题探究】
（2）如图2，当点A，C，E在同一条直线上时，BE，CD交于点F，若AB=BC=2，BE=BD=32，求CFBF的值；
【拓展延伸】
（3）如图3，连接CE，AD，G是线段CE的中点，连接BG，求BGAD的值．
3．（2024·山西大同·模拟预测）综合与实践：
如图1，已知点D是等边三角形△ABC边BC上的一点（不与点B，C重合）．
动手操作：
第一步：连接AD，以A为旋转中心，将线段AD顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE；
第二步：以D为旋转中心，将线段DC逆时针旋转120°，得到线段DF，连接BF，交DE于点M．
特例探究：
（1）如图2，当点D为BC中点时，点F恰好在AB上，请写出线段EM与DM的数量关系，并说明理由；
探索发现：
（2）如图1，当点D不是BC中点时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当BC=6，CD=2时，请直接写出AM的长．

4．（2024·重庆江津·模拟预测）在等腰Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，D，E分别为AB，BC边上的动点且满足AD=BE，连接DE，AE．

(1)如图1，AD<DB，当DE=5，AC=32时，求AE的长；
(2)如图2，AC上有一点F满足∠EDF=45°时，试探究DE与DF的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，连接CD，AE交于点O，当AE+CD取最小值时，直接写出S△AOCS△ABC的值．

1．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．

等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
图序
角平分线AD的长
∠BAD的度数
腰长
两腰之和
两腰之积
图①
1
60°
2
4
4
图②
1
45°
2
22
2
图③
1
30°
______
______
______
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知△ABC的角平分线AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB⋅AC之间的数量关系：______．
【变式思考】
（2）已知△ABC的角平分线AD=1，∠BAC=60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB⋅AC之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，△ABC中，AB=AC=1，点D在