优最化在数学建模中的应用--毕业设计.doc

最优化在数学建模中的应用
海 南 大 学
毕 业 论 文（设计）

题 目： 最优化在数学建模中的应用
学 号： 20081605B008
年 级： 2009级
学 院： 信息科学技术学
系 别： 数学系
专 业： 数学与应用数学
完成日期： 2013 年 4 月 19 日
摘 要

最优化方法是一种崭新的技术，它在自动控制、物质运输、机械设计、采矿冶金、工程规划等科学技术领域中有广泛应用，

关键词：最优化方法、线性规划，目标函数、约束条件、决策变量

Abstract

In the daily life and work we often encounter a variety of data need to be processed, we usually take the mathematical modeling approach to abstraction, the actual problems by using mathematical knowledge, mathematical model is established, and then by using the method of mathematics and computer technology to solve. So the complex practical problems are simplified, so that the practical problem can be solved.
The optimization method plays a more and more important role in solving practical problems, this paper through several practical to introduce how to through the establishment of mathematical model, to get the results. Through the establishment of mathematical model of the actual problem, and the optimal treatment method to explain and elaborate practical life, great to do with optimization method.

Keywords: optimization, linear programming, objective function, constraint condition, the decision variables

目 录
一、 引言 5
1.1 选题背景及意义 5
1.2 国内外研究进展 5
1.3 本文探讨的内容 5
二、 理论知识 6
2.1 线性规划模型 6
2.2 线性规划的几种解法 6
2.2.1图解法 6
2.2.2单纯形法 7
2.3 灵敏度分析 8
2.4 非线性规划模型 8
2.5 一维搜索法 8
2.6无约束最优化模型 9
2.7约束最优化模型 9
三、 应用实例 10
3.1 工程施工的土方运输问题 10
3.11 模型的建立 11
3.1.2数据的处理 12
3.1.3运用Excel求解的具体操作步骤 13
31.4模型的求解 14
3.2 公交车调度问题 17
3.2.1模型的建立 18
3.2.2模型的求解 19
3.2.3小结 22
3.3 资金最优使用方案 22
3.3.1 模型的建立 22
3.3.2 模型的求解 23
四、 总结 24
附录1 27
附录2 28

一、 引言
1.1 选题背景及意义
从理论上讲，通过学习最优化方法，不仅使我们处理实际问题更加方便快捷，而且可以训练我们的逻辑思维方式，体会最优化方法在数学建模中的巨大的实际意义，了解通过建模来解决实际问题的全过程，更可以使我们对最优化方法以及对Matlab软件的使用予以熟悉和巩固。在现实生活中，由于越来越趋于多元化发展的经济，使得数学的应用越来越广泛，其中越来越多的实际问题需要我们使用数学建模的思想来予以解决，而为了获得最优化的解决方式，从而获得最好的收益，最优化方法在数学建模中的应用也一步一步的被人们所了解，重视。人们通过对最优化思想的研究为今后处理各种各样实际问题，特别是愈来愈火的经济问题打下坚实的理论基础。
1.2 国内外研究进展
最优化问题的发展历史相当长久，最早开始于牛顿、拉格朗日时代，由于牛顿等对微积分的重要贡献，才使得差分方程法解决最优化问题的方法变成可行，先锋者包括贝诺利(Bemot)，欧拉(Eller)和拉格郎日等。20世纪50年代出现了高速计算机，最优化的发展进入蓬勃发展期，出现了大量的新型算法。Dantzig提出了解决线性规划问题的simplex方法；Bellman提出了动态规划的最优化最优性原理，使得约束最优化变为可能性；Kuhn和Tucher提出的最优化规划问题的充分和必要条件开创了非线性规划优化技术的基础。构成现代优化理论的相关技术是遗传算法GA、模拟退火SA、、禁忌搜索、蚁群算法、神经网络、EDA、CMA-ES等现代启发式最优化算法，他们均是从上世纪60年代发展起来的，这些算法同样是建模产生的.
1.3 本文探讨的内容
追求最优化目标基于人类的理想,最优化方法就是从众多可能方案中选择最佳者,以达到最优目标的科学方法。随着现代化生产的发展和科学技术的进步，人们越来越重视最优化方法。当求解一个实际的最优化问题时，首先要把这个问题进行转化，即建立数学模型，使得问题得到最优化的解决。而其中最难进行的就是模型的建立，万事开头难，建立一个好的模型是解决问题的关键，而好的模型的构造是一种创造，成功的模型往往是科学和艺术的结晶。
本文就是通过对最优化方法和数学模型的学习与建立，浅谈最优化的一些实际问题如何通过数学模型的建立来解决，以及建模过程中遇到的问题如何解决，从而提高对所学知识的认识和理解能力。
二、 理论知识
2.1 线性规划模型
线性规划问题的一般形式为：

min z =c1x1+……..+cnxn
s．t． ai1x1+ai2x2+…….+ainxn=bi ，i=1，…..，p
ai1x1+ai1x2+…….+ainxnbi i=p+1，……m

xj0 ， j=1，…..q

xj><0, j=q+1,…..n
其中xj，j=1，…n，为待定的决策变量，已知的系数aij组成的矩阵

a11 a12 …. a1n

A= a21 a22 …. a2n
……………….
am1 am2 …. amn

目标函数：z= ，如果原问题是求目标函数最大值，可等价转换为求 的最小值。一个满足所有约束条件的向量x=（x1，….，xn），称为问题的可行解，所有的可行点组成的集合称为问题的可行区域，记为D。
由现行代数和微积分中求条件极值可以知道，当D为空集时，称该问题无解，D不是空集，但目标函数在D上面无界时，该问题无界，当D不是空集，且目标函数有有限个最优值，此时该问题有最优解。求一个线性规划问题就是判断该问题是否有最优解，当有最优解时，还需要在可行区域中求出使目标函数打到最小值的点，也就是目标函数的最优值。
2.2 线性规划的几种解法
2.2.1图解法
如果一个线性规划只有两个变量，则它的可行区域在平面上具体的能够被画出，便于直接观察，同事又可以快捷的使用目标函数与可行区域的关系，那么我们采用图解法解决该问题

例：解线性规则

max z=-x1+x2

s．t． 2x1-x2

x1-2x2

x1+x2 x1 x2

解这一问题的可行区域如图所示，变量x1，x2的非负约束决定了图形在第一象限内，由3个不等式决定了可行区域的范围，即图上阴影部分，当移动到A2时，继续移动就不再相交，则A2为最优解，最优值为Z=-1+4=3.
求解上述过程的方法即为图解法

图1 图解法
2.2.2单纯形法
考虑标准形式的LP问题

min z =cTx
s．t． Ax=b

x

仍假设D非空，秩（A）=m<n，A为-m实矩阵，我们知道，如果他有最优解，则必可以在某一点达到，因而只需要在基本可行解集合中寻找即可，单纯形方法主要思想就是先找一个基本可行解，判别它是否最优，不是就继续找，直到找到或者判定无界。
直接用公式进行单纯形法是很不方便的，其中最复杂的就是进行基变换，但施行基变换所用的实际上是消元法，我们可以将单纯形法的全部过程在一个类似增广矩阵的数表上进行，这种表格称为单纯形表，利用单纯形表解决单纯形问题是非常简化的方法，这里就不赘述了。

2.3 灵敏度分析
在设计实际的线性规划模型时，所收集的数据不是很精确，另一方面在市场经济大环境下，信息瞬息万变，当研究数据发生变化时，考虑解的变化情况是很重要的，因此，灵敏度分析就相当重要。
改变价值向量，或者是改变右端向量，在同样的约束条件下求解，当原问题只有个别数据改变，特别是变化幅度不大的时候，用灵敏度分析要比对原问题从头求解简便许多，而这正是很多具体问题在修改数据时候经常碰到的。
2.4 非线性规划模型
关于非线性规划问题，这里举个简单的例子进行说明。
令x=（x1，……xn）T是n维欧式空间Rn中的一个点，f（x），gi（x），i=1，…..，p和j=1，….q是定义在Rn上的实值函数，我们称如下的模型为数学规划。

min f（x）

s．t． gi（x），i=1，……，p

hj（x）=0 ，j=1，…..，q

令X=称X为（MP）的约束集，当目标函数f（x），约束函数gi（x），i=1，…..，p和hj（x），j=1，….，q皆为x的线性函数时，数学规划（MP）就是线性规划，若其中的目标函数和约束函数中至少有一个是x的非线性函数，则（MP）的可行域为非线性。当p=0，q=0，时，将可行域简记为minf（x）称其为无约束非线性规则或无约束最优化问题，如（MP）中X，则对应的称为约束非线性规划或约束最优化问题。
2.5 一维搜索法
一维搜索问题又称为线性搜索问题，它是指目标函数为单位变量的非线性规划问题，其数学模型为
其中t，对于t的取值为t的问题称为一维搜索问题，当t取值为0时的问题称为有效一维搜索问题。
按照求解问题不同原则，算法分为两大类：精确一维搜索或者最优一维搜索，以及非精确一维搜索。其中精确搜索的两种重要方法：不用倒数的0.618法和使用倒数的Newton法，这里就不详述了。
2.6无约束最优化模型
N元函数的无约束非线性规划问题min f（x）的求解，其中x=（x1，……xn）T ，f：Rn 。这些方法通常称为无约束最优化方法。
无约束最优化方法大体上分为两类：解析法与直接法，解析法就是在计算中要用到函数的一阶导数，或者二阶导数，直接法就是在计算过程中仅使用函数值的方法。其中两种解析法应用较为简单，最速下降法和共轭方向法。在这里不做过多叙述。
2.7约束最优化模型
设（MP）问题的可行域为
gi（x），i=1，…..，p

X= x

hj（x）=0 ，j=1，……，q

对该问题的一个可行点x* ，它满足所有的等式约束，若令j=，则
hj（x*）=0，j但它所满足的全部不等式约束则可能有两种情况，对某些不等式约束有gi(x*)=0,而其余的不等式约束有gi（x*）<0.这两种约束起的作用是不用的，对于前者，x在x*处的微小变动都可能导致约束条件被破坏：对于后者，x在x*处的微小变动不会破坏约束。因此我们称使gi（x*）=0的约束gi为点x*的一个积极约束。令I=，关于点x*的所有积极约束的下标集记为
I（x*）=
三、 应用实例
3.1 工程施工的土方运输问题
我国现阶段的国内投资主要是基础设施建设.某建筑公司在沿海某城市有个大型房产开发项目,而在房产项目的施工过程中,土方的运输占据了主要的成本,理想的节约成本的方式是利用项目内部的一个工地需要挖出的土方填入另一个需要填入的土方，而受到工期安排的约束以及工地间的道路限制，需要你为工程安排一个满足工期安排的土方运输方案，使得总运费尽可能低。
已知某房产项目有相邻的13个工地先后开工，工期规划（这里作一年的安排，给出的是年内起止时间，单位：天）、工程需要挖出的土方（单位：千立方）、工程需要填入的土方如表1所示：
表1 工地土方和工期的安排
工地编号
预计工期
需要填入土方
需要挖出土方
先后顺序
1
0-80
20
10
先填后挖
2
20-110
15
25
先挖后填
3
40-140
18
12
先填后挖
4
60-170
30
20
先填后挖
5
80-190
15
18
先挖后填
6
100-210
25
13
先挖后填
7
120-230
35
14
先填后挖
8
150-250
40
20
先填后挖
9
200-280
20
28
先挖后填
10
230-340
22
32
先挖后填
12
270-360
42
24
先填后挖
13
今年不开工
40
0
只填
（注:表中的先填后挖是指工程开工前先从其它地方运来土方填埋,工程竣工后再挖出多余的土方运走;先挖后填是指工程开工前先挖出土方运走,工程完工后需要从其它地方运来填入土方填埋.）
如果土方不能在自己项目的工地之间就地利用，需要运到城市郊区25公里指定的地方倒土，产生的单位运费是项目内部工地之间最大单位运费的3倍,同样,为了赶工期,如果自己的工地没有土方可用,必须从市政府指定的市郊30公里的地方取土并运回来填埋,单位运费同样是工地之间最大运费的3倍。空车运费忽略运费，且运费与运输量成比例。表2是各个工地间的距离：
表2 工地间的道路运费

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
1
1
2
4
3
5
3
2
4
1
2
3
2
1
3
4
2
3
4
5
1
2
3
1
4
5
3
2
1
3
4
3
2
4
2
3
1
3
2
1
4
2
3
4
4
3
2
3
2
4
1
5
2
3
5
2
3
2
3
2
3
4
1
4
2
2
3
1
6
2
3
1
4
1
4
2
3
4
2
3
4
1
7
2
1
2
1
3
4
2
1
4
3
3
2
2
8
2
3
4
3
2
2
2
3
3
2
3
2
4
9
2
3
4
2
3
4
2
3
4
2
3
4
1
10
1
2
3
4
1
2
3
4
2
3
3
2
1
11
3
4
5
2
3
4
4
3
2
3
4
3
2
12
2
3
3
4
3
4
3
4
2
2
4
2
4
13
3
3
4
1
3
2
4
2
3
3
3
2
1

3.11 模型的建立
土方调配问题是指从不同的挖方区向不同的填方区运送土方，每个填方区需要特定数量的土方。问题是如何分配每个挖方区的土方供给，以便在满足每个填方区需求的条件下，优化某个目标，如最小全部费用或最小总运输量。设有个挖方区，设计的待挖土方量分别为；有个填方区，设计需要填方量分别为；从到平均运输距离为。若用表示从挖方区运往填方区的土方量，则在挖填平衡的条件下，土方的总运输量最小(若为从到运输单位土方的单价，则为总运费最小)的调运方案的数学模型为：
目标函数：

其中，式(1)为目标函数，即使土方总运输量最小；式(2)为挖方区的供给约束；式(3)为填方区的需求约束；式(4)为变量非负约束。上述表达式为挖填平衡时的数学模型。当挖填不平衡时，依据挖、填方量的大小关系，土方调配问题的线性规划模型可分别表示如下。
1)挖方量大于填方量

2)挖方量小于填方量

3.1.2数据的处理
为了将问题简化，对每个工地的挖土量和填土量进行相减，得到每个工地的绝对挖土量和填土量。最后将这些工地进行分区，分为挖土区和填土区。即挖土量减去填土量为正值，则为挖土区。反之则为填土区。并且把郊区的挖土和填土的指定地点分别命名为A、B地区。通过对原表进行修改，可以得到下表。
表3 工地作业表
更改工地编号
需要填入土方(T)
需要挖出土方(W)
T-W
1T1
20
10
10
2W1
15
25
-10
3T2
18
12
6
4T3
30
20
10
5W2
15
18
-3
6T4
25
13
12
7T5
35
14
21
8T6
40
20
20
9W3
20
28
-8
10W4
22
32
-10
11T7
42
24
18
12T8
40
0
40

表4 工地间的道路运费

T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
A
W1
1
4
2
4
5
1
4
5
9
W2
2
2
3
3
4
1
3
1
12
W3
2
4
2
4
2
3
4
1
12
W4
1
3
4
2
3
4
2
1
12
B
9
12
12
12
15
12
12
15
1000

3.1.3运用Excel求解的具体操作步骤
Excel表具有强大的规划求解功能，具体操作步骤如下：

(1) 建立表4的单元格。其中，单元格B9：J13与线性规划模型中变量相对应，为可变单元格，保持原始值0空置不填；单元格B14：J14和K9：K13为约束条件的部分表达式，在K9单元格中输入公式“=SUM (B9：J9)”，在K10单元格中输入公式“=SUM(B10：J10)”，在K11单元格中输入公式“=SUM (B11：J11)”，在K12单元格中输入公式“=SUM(B12：J12)”，在K13单元格中输入公式“=SUM(B13：J13)”，在B14单元格中输入公式“= SUM (B9：BI3)”，在C13单元格中输入公式“=SUM (C9：C13)”，一直到 J13单元格中输入公式“=SUM (J9：J13)”；单元格L2与线性规划模型中目标函数的表达式相对应，是目标单元格，输入公式“=SUMPRODUCT(B2：J6，$B$9：$J$13)”，数学含义为“ ”，实际含义为“土方总运输量”。计算式中$B $9：$J $13为绝对地址，这样做是为了方便计算式的复制。
(2) 加载“规划求解”程序。一般情况下，Microsoft Excel软件中规划求解的功能都尚未安装，需要加载。单击“工具”菜单，然后点击“加载宏”，然后在弹出菜单中选中“规划求解”项，最后单击“确定”即可，见图2。
(3) 设置“规划求解参数”。点击“工具”中的“规划求解”选项打开规划求解参数设置页面。在“设置目标单元格中”填入“$L$2”，在“等于”选项中选择“最小值”，在“可变单元格”选项中填人“$B$9：$J$13”。在“约束”选项中点击“添加”按纽，添加约束条件“$B$14：$J$14= $B$7：$J$7、$K$9：$K$13= $K $2：$K$6和$B$9：$J$130”。点击“选项”按钮出现“规划求解选项”对话框，选定“采用线性模型”和“假定非负”复选项，其中的“迭代次数”选项参数可以随着精度的要求决定。
(4) 求解。规划求解参数全部设置好之后，即可点击“求解”按钮进行计算，弹出“规划求解结果”对话框后，点击“确定”后便得到求解结果(见表4所示)。

图2 Excel规划求解功能
31.4模型的求解
根据本题的要求，并结合上述理论模型。可以给出适合本题的具体线性规划数学模型。
(1)模型一：
目标函数：
约束条件：
(4.1.1)

通过Excel的规划求解步骤对其进行求解，得到下表。

表5 模型一的求解结果
填土区

挖土区
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
挖方量
总运费
W1
1
4
2
4
5
1
4
5
10
62
W2
2
2
3
3
4
1
3
1
3
W3
2
4
2
4
2
3
4
1
8
W4
1
3
4
2
3
4
2
1
10
填方量
10
6
10
12
21
20
18
40

调配方案
W1
0
5
5
0
0
0
0
0
10
W2
2
1
0
0
0
0
0
0
3
W3
8
0
0
0
0
0
0
0
8
W4
0
0
0
0
0
0
0
10
10
填方量
10
6
5
0
0
0
0
10

显然不是题目所要求的结果。因为填土量和挖土量并不相等，不能通过各工地之间的运输完成土方的周转。因此必须要在郊区A、B地区运输土方，以保证各工地如期完成任务。将模型一进行改进。

(2)模型二：
目标函数：
约束条件：
(4.1.2)

再次运用Excel对其进行求解，得到下表。

表6 模型二的求解结果
填土区

挖土区
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
A
挖方量
总运费
W1
1
4
2
4
5
1
4
5
9
10
1393
W2
2
2
3
3
4
1
3
1
12
3
W3
2
4
2
4
2
3
4
1
12
8
W4
1
3
4
2
3
4
2
1
12
10
B
9
12
12
12
15
12
12
15
1000
106
填方量
10
6
10
12
21
20
18
40
0
137
调配方案
W1
0
0
0
0
0
10
0
0
0
10
W2
0
0
0
0
0
0
0
3
0
3
W3
0
0
0
0
0
0
0
8
0
8
W4
0
0
0
0
0
0
0
10
0
10
B
10
6
10
12
21
10
18
19
0
106
填方量
10
6
10
12
21
20
18
40
0
137

如果将A地区的填土量分别取0、10、20、30、40和50，分别计算得以下结果。

0
10
20
30
40
50
1393
1593
1853
2113
11139
21139
可以看出，A区不进行填土时，运输费用最小。即，各工地挖出来的土方可以互相填充，不够的工地可从郊区运输进来。
为了更进一步验证计算结果的准确性，再运用Lingo软件进行一次计算。下图是Lingo程序及其运行结果。
然后点击工具条上的求解按钮即可求得结果。经检验，所求得结果与用Excel求解得到的结果一样。而运用Lingo的程序求解更方便，它可以用于一切的土方调配和运输问题。如果是小型土方平整，也可以不输入程序，直接输入前面提到的线性规划数学模型，即可求得结果。

3.1.5小结
表上作业法是解决土方调配和运输问题的传统方法，在土方工程中用广泛。然而有着步骤多、操作复杂、计算量大的缺点。土方调配和运输问题借助线性规划模型和Excel软件的规划求解功能以及Lingo软件来实现，快速、准确，且操作简单，在挖、填区较多的大工程中优势明显。通过对“线性规划”数学模型和Lingo模型的分析，详细说明了如何快速解决土方调配和运输问题。
本文介绍了借助线性规划模型和Excel“规划求解功能”求解以及Lingo求解土方工程中土方调配问题的方法，与传统的表上作业法相比，这两种方法具有方便、快捷、准确的优点，尤其在挖、填区较多情况下，这样的优势将更加明显。同时，这两种方法也可推广应用于所有线性运输问题(LTP)和最短路径问题的求解。
3.2 公交车调度问题
公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。公交公司制定一个公交车调度方案需要考虑各方面的因素。我国一座特大城市某条公交线路情况，一个工作日两个方向各个站上下车的乘客数量统计图如图1所示。已知运营情况与调度要求如下：
公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100 人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时，车辆满载率不应超过 120%，一般也不要低于50%。

图1.最大客容量的直方图
3.2.1模型的建立
很明显此问题可看作是一个排队随即服务系统，我们把汽车看作是“顾客”，将各个车站看作是“服务台”，则此公交车系统可看作是一个顾客不消失的、单通道多级服务台串联的排队系统。因此，这里所遇到的，主要是排队问题。归纳起来，需要考虑三种活动。
(1) 首站发车活动：根据发车时刻表确定。
(2) 到达中途站活动：在中途站主要考虑和计算上下车人数、车上的总人数和上下车时间。
(3) 到达终点站掉头活动：在终点站根据发车时刻确定。
我们先考虑上行时乘客在站的逗留时间，即乘客在站的等待时间，它包括相邻两趟车到达站的时间间隔(即发车间隔)，和乘客上下车的服务时间。因此假设每个乘客上下车时间 不计，即=0，可以得出=60/，。故此问题可以转化为：满足下列条件下的公交车公司全天的总利益取最大的规划问题：
l 乘客等待时间在一般时间段不超过10分钟。
l 早高峰时间段不超过5分钟。
l 各个时间段内的最大满载率不超过120%。
l 各个时间段内的最小满载率不低于50%。
公交车公司全天的总利益为全天所有车辆运行公里数最小，因为线路长度一定，只要考虑发车车次即可得出目标函数：

(4.2.1)
这个模型是整数规划模型，在满足各种约束条件的情形下，寻求全天发车车次的最小值，我们可以用Lingo编程求解。
3.2.2模型的求解
上述模型是把这一类公交车调度问题抽象成数学模型来表达，从考虑发车车次最小出发，满足各项约束条件，寻求最优解，于是可以利用这个模型来分析此问题，对条件分析可知，约束条件满足两方面，一方面要满足乘客的等车时间早高峰不超过5分钟，其余时段不超过10分钟。对于公交公司方面，也要满足客车的载客率在50%~120%之内。对于题中的客流量，我们筛选出不合要求的时段，如：上行第17时段、第18时段、下行第1时段。于是我们利用Lingo编程。得到的发车车次情况：
上行：6，25，42，23，13，10，12，10，9，8，8，18，24，8，6，6，5，4。
下行：3，9，23，27，16，10，9，8，8，9，11，19，31，21，10，7，7，6。
一天总发车车次为471辆，因此次解法是在满足乘客的情况下求的最优解，所以乘客的等待时间的满意度为100%，但是从舒适度考虑，上行和下行分别有11和9人不满意。故此模型的建立是合理的。以下是Lingo程序：
(1)上行程序：
Model:
Min=z;
z=c1+c2+c3+c4+c5+c6+c7+c8+c9+c10+c11+c12+c13+c14+c15+c16+c17;
c1>=6;
c2>=12;
c3>=12;
c4>=12;
c5>=6;
c6>=6;
c7>=6;
c8>=6;
c9>=6;
c10>=6;
c11>=6;
c12>=6;
c13>=6;
c14>=6;
c15>=6;
c16>=6;
c17>=6;
50*c1<=701;
50*c2<=2943;
50*c3<=5018;
50*c4<=2705;
50*c5<=1528;
50*c6<=1193;
50*c7<=1355;
50*c8<=1200;
50*c9<=1040;
50*c10<=881;
50*c11<=871;
50*c12<=2133;
50*c13<=2772;
50*c14<=897;
50*c15<=464;
50*c16<=410;
50*c17<=275;
120*c1>=701;
120*c2>=2943;
120*c3>=5018;
120*c4>=2705;
120*c5>=1528;
120*c6>=1193;
120*c7>=1355;
120*c8>=1200;
120*c9>=1040;
120*c10>=881;
120*c11>=871;
120*c12>=2133;
120*c13>=2772;
120*c14>=897;
120*c15>=464;
120*c16>=410;
120*c17>=275;
@gin(c1);@gin(c2);@gin(c3);@gin(c4);@gin(c5);@gin(c6);@gin(c7);@gin(c8);@gin(c9);@gin(c10);@gin(c11);@gin(c12);@gin(c13);@gin(c14);@gin(c15);@gin(c16);@gin(c17);
End

(2)下行程序：
Model:
Min=z;
z=c1+c2+c3+c4+c5+c6+c7+c8+c9+c10+c11+c12+c13+c14+c15+c16+c17;
c1>=6;
c2>=12;
c3>=12;
c4>=12;
c5>=6;
c6>=6;
c7>=6;
c8>=6;
c9>=6;
c10>=6;
c11>=6;
c12>=6;
c13>=6;
c14>=6;
c15>=6;
c16>=6; 图3 下行程序求解结果
c17>=6;
50*c1<=1039;
50*c2<=2752;
50*c3<=3223;
50*c4<=1822;
50*c5<=1093;
50*c6<=986;
50*c7<=860;
50*c8<=891;
50*c9<=1017;
50*c10<=1302;
50*c11<=2196;
50*c12<=3612;
50*c13<=2417;
50*c14<=1091;
50*c15<=781;
50*c16<=774;
50*c17<=337;
120*c1>=1039;
120*c2>=2752;
120*c3>=3223;
120*c4>=1822;
120*c5>=1093;
120*c6>=986;
120*c7>=860;
120*c8>=891;
120*c9>=1017;
120*c10>=1302;
120*c11>=2196;
120*c12>=3612;
120*c13>=2417;
120*c14>=1091;
120*c15>=781;
120*c16>=774;
120*c17>=337;
@gin(c1);@gin(c2);@gin(c3);@gin(c4);@gin(c5);@gin(c6);@gin(c7);@gin(c8);@gin(c9);@gin(c10);@gin(c11);@gin(c12);@gin(c13);@gin(c14);@gin(c15);@gin(c16);@gin(c17);
End

3.2.3小结
1. 普适性，模型对任意客流量调查和运营资料都可以给出较优的调度方案。
2. 模型不仅接触了较优的调度，而且还得出了该方案照顾到乘客和公交车公司双方利益的程度（即灵敏度）。
3. 该模型较稳定，不随某一控制量的微小变化而导致方案的较大改变。
4. 易操作性，一方面公交公司的时刻表比较合理可行，另一方面驾驶员能容易记住自己的上班时间，以避免时间表混乱而引起误车现象。
不足之处是用光滑曲线拟合的方法无法模拟真实的客流量曲线。

3.3 资金最优使用方案
设有400万元资金，要求在4年内使用完，若在一年内使用资金万元，则可获得效益万元（设效益不再投资），当年不用的资金可存入银行，年利率为10%，试制定出这笔资金的使用方案，以使4年的经济效益总和为最大。

3.3.1 模型的建立
针对现有的资金400万元，对于不同的使用方案，4年内所获得的效益的总和是不相同的。例如，第一年就将400万元全部用完，这获得的效益总和为万元；若前三年均不用这笔资金，而将它存入银行，则第四年时的本息和为万元，再将它全部用完，则效益总和为23.07万元，比第一种方案效益多3万元。所以用最优化方法