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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,一,数学建模引例,第三节 数学建模介绍,二,数学模型、数学建模概念,三,数学建模意义,四,数学建模步骤,五、数学建模举例,第1页,数学建模引例,引例,（航行问题）：甲乙两地相距75公里，船从甲地到乙地，顺水航行需要3小时，从乙地到甲地，逆水航行需要5小时，问船速、水速各为多少？,用,x、y,分别代表船速和水速，可列出方程,（,x+y,）3=75，（,x y,）5=75,实际上，这组方程就是上述航行问题数学模型。,列出方程，原问题已转化为纯粹数学问题。,方程解：x=20（公里/小时），y=5（公里/小时），是该航行问题答案。,第2页,数学建模引例,当然真正实际问题数学模型通常要复杂得多，但数学模型基本内容已包含在解这个代数应用题过程中了。,也就是说：依据建立数学模型目标和问题背景作出必要简化假设（航行中设船速和水速为常数）。,用字母表示待求未知量（x、y分别代表船速和水速）。,利用对应物理或其它规律（匀速运动距离等于速度乘以时间）,列出数学式子（二元一次方程组）。,求出数学上解答（x=20，y=5）。,用这个答案解释原问题（船速和水速分别为20公里/小时、5公里/小时）。,最终还要用实际现象来验证上述结果。,第3页,一,数学模型、数学建模概念,1.原型,2.模型,人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理实际对 象叫做原型。,现实一个模拟称为模型,。,模型是指为了某个特定目标将原型某一部分信息简缩、提炼而组成原型替换物。,3.数学模型,对于现实世界一个,特定对象,，为了一个,特定目标,，依据特有,内在规律,，做一些必要,简化假设,，利用适当,数学工具,，得到一个,数学结构,。,第4页,建立数学模型过程称为数学建模。,也就是将数学方法应用到一个实际问题中去，把这个问题,内在规律,用数字、图表、公式、符号表示出来，然后经过数学处理得到定量结果，以供人们作分析、预报、决议或控制过程。,现实对象,信息,数 学,模 型,现实对 象,解答,数学模型,解答,表述,（归纳）,求解,解释,验证,（演绎）,4.数学建模,5.数学建模过程：,表述 求解 解释 验证,第5页,6.数学建模分类,（1）按所用数学知识分类：,初等模型、几何模型、微积分模型、微分方程模型、图论模型、概率统计模型、规划论模型等。,（2）按所处理问题领域分类：,物理模型：自然科学领域内问题。,非物理模型：经济、交通、人口、生态、环境、污染、医学、社会学等。,（3）按所建模目标分类：,描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决议模型、控制模型等。,（4）按所模型表现特征分类：,确定模型、随机模型。,静态模型、动态模型。,离散模型、连续模型。,第6页,数学在各门科学中被应用水平标志着这门科发展水平。,三 数学建模意义,数学应用领域,:物理领域和非物理领域（经济、交通、人口、生态、医学、社会学）。,数学教育不但要使学生学会并掌握一些数学工具,更应着眼于提升学生数学素质。数学素质包含了许多方面，而“数学建模”能力是其中一个主要、也是长久未被重视一个方面。,数学模型所要研究问题是：怎样把现实世界与数学世界结合起来。自然科学、工程技术、经济管理、生态环境以及人文社会科学等领域现实问题，能够建立数学模型来进行研究。,当实际问题需要我们对所研究现实对象提供分析、预报、决议、控制等方面定量结果时，都离不开数学。,数学建模是这个过程关键步骤,。,伴随科学进步，尤其是电子计算机技术发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工、农业生产建设，从经济活动到社会各个领域。,第7页,四,数学建模步骤,模型准备,模型假设,模型组成,模型检验,模型分析,模型求解,模型应用,第8页,四,数学建模步骤,模型准备,：,了解问题实际背景，明确建模目标，搜集建模各种必要 信息，搞清对象特征，初步确定模型类型。,模型假设：,依据对象特征和建模目标，对问题进行必要、合理化简化，用准确语言作出假设。,模型组成,：,依据假设，分析对象因果关系，利用对象内在规律和适当数学工具，结构各个量之间等式（或不等式）关系或其它数学结构。这一步不但要数学知识，还需要有相关专业知识。,模型求解,：,采取解方程（组）、画图形、数值运算、符号运算、逻辑运算等各种数学方法求解。尤其是要用计算机技术来求解。（用计算机技术来求解数学问题就是数学试验）,第9页,四,数学建模步骤,模型分析,：,对模型解答进行数学上分析，有时要依据问题性质分析变量间依赖关系和稳定情况，有时是依据所得结果给出数学上预报，有时是给出数学上最优决议或控制。不论哪种情况都要进行误差分析、模型对数据稳定性。,模型检验,：,把数学上分析结果翻译回到实际问题，并用实际现象、数据与之比较，检验模型合理性和实用性。,模型应用,：,应用方式取决于问题性质和建模目标。,第10页,五、数学建模举例,问题1：椅子在不平地面上放稳问题：,把椅子往不平地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，就能够使四只脚同时着地，放稳了。请证实。,问题2：警察们怎样安全渡河：,三名警察各带一个犯人乘船渡河，一只小船只能容纳2人，由他们自己划船，犯人们密约，在河任一岸，一旦犯人人数比警察多，就要逃跑。不过怎样乘船掌握在警察们手中。问怎样才能安全渡河？,第11页,问题1：“椅子在不平地面上放稳”解答,1.椅子四条腿一样长，椅子与地面接触处可视为一个点，四角 连线成正方形。,2.地面高度是连续改变，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样情况），即地面可视为数学上连续曲面。,3.对椅子间距和椅腿长度而言，地面是相对平坦，使椅子在任何位置最少有三只脚同时着地。,模型假设,（对椅子和地面作一些必要假设）,第12页,模型组成,中心问题是用数学语言把椅子四只脚同时着地条件和结论表示出来。,首先用变量表示椅子位置：椅子脚连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心旋转恰好代表椅子位置改变，于是用旋转角度,这一变量表示椅子位置。如图,问题1：“椅子在不平地面上放稳”解答,第13页,其次 要把椅脚着地用符号表示出来。假如用变量表示椅脚与地面竖直高度，那么当这个高度为0时就是椅脚着地了。椅子在不一样位置时椅脚与地面距离不一样，所以这个高度是变量函数。,问题1：“椅子在不平地面上放稳”解答,模型组成,第14页,当=0时，不防设，,f,()0，,g,()=0。这么改变椅子位置使四只脚着地问题归结为以下数学问题：,问题1：“椅子在不平地面上放稳”解答,模型组成,即使椅子有四只脚，但因为正方形中心对称性，因而只设两个高度函数就行了。,记A、C两脚与地面距离之和为,f,()，B、D两脚与地面距离之和为,g,()。显然,f,()0，,g,()0。由假设2可知函数,f,()、,g,()都是连续函数。,由假设3，椅子在任何位置最少有三只脚同时着地，所以对任意，,f,()和,g,()中最少有一个为0。,第15页,椅子在不平地面上放稳问题解答,模型组成,已知函数f()、g()都是连续函数，,对任意，f(,)g()=0，且 f(0)0，g(0)=0。,则存在,0,使 f(,0,)=g(,0,)=0,第16页,椅子在不平地面上放稳问题解答,依据连续函数性质（根存在定理）知：,必存在 0（0 0 0，,g,(0)=0，可得，,f,(/2)=0，,g,(/2)0,令,h,()=,f,()-,g,(),则,h,(0)0，,h,(/2)0。由,f,()、,g,()都连续函数可知：,h,()也是连续函数。,因为这个问题非常简单，,模型解释和验证略去。,第17页,问题,:,三名警察各带一个犯人乘船渡河，一只小船只能容纳2人，由他们自己划船，犯人们密约，在河任一岸，一旦犯人人数比警察多，就要逃跑。不过怎样乘船掌握在警察们手中。问怎样才能安全渡河？,模型准备,安全渡河问题能够视为一个多步决议过程。第一步，船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶向此岸，都要对船上人员（警察、犯人各几人）作出决议，在确保安全条件下（两岸警察都不比犯人少），在有限步内使人员安全过河。用状态（变量）表示某一岸人员情况，决议（变量）表示船上人员情况，能够找出状态随决议改变规律。问题转化为：在状态允许范围内（安全渡河条件），确定每一步决议，到达渡河目标。,因为这个虚拟问题已经理想化了，所以无须再作假设。,警察们怎样安全渡河解答,第18页,警察们怎样安全渡河解答,记第,k,次渡河前此岸警察人数为,x k,，犯人人数为,y k,，,k=,1，2，,x,k,、y,k,=0，1，2，3。,将二维向量S,k,=（,x,k,，,y,k,）定义为状态。安全渡河条伯下状态集合称为允许状态集合，记 S。,S=（,x,，,y,）|,x,=0，,y,=0，1，2，3；,x,=3，,y,=0，1，2，3；,x,=,y,=1，2=（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），（1，1），（2，2）,记第k次渡船上警察人数为,u,k,，犯人人数为,v,k,，,模型组成,：,第19页,将二维向量,d k,=（,u k,，,v k,）定义为决议。允许状态集合记为D。由小船容量可知：,D=（,u,，,v,）|,u+v=,1，2=（0，1），（0，2），（1，0），（2，0），（1，1）,因为,k,为奇数时，船从此岸驶向彼岸，,k,为偶数时，船从彼岸驶向此岸，所以状态S,k,随决议,d,k,改变规律是：,S,k+,1,=S,k,+(1),k,d,k,式称为状态转移律。这么制订安全渡河方案归结为：,求决议 d,k,D，使状态 S,k,S按转移律 S,k+1,=S,k,+(1),k,d k ，由初始状态 S,1,=（3，3）经过有限步抵达终止状态 S,n+1,=（0，0）。,警察们怎样安全渡河解答,模型组成,：,第20页,警察们怎样安全渡河解答,模型求解：,依据、式可编一段程序用计算机求解上述多步决议决议问题。不过对警察、犯人人数不多简单情况，可用图解法解这个模型。,在XOY平面上，画出一个三行三列方格图，方格点表示状态 S=（,x,，,y,），允许状态集合S用小黑点表示。允许决议,d k,是沿方格称动1或2格。,模型分析：,这里介绍方法，能够用计算机求解，从而含有推广价值，对警察、犯人人数及小船容量增加时，也能够求解。此时仍用逻辑思索就困难了。,k,为奇数时，向左、下方向移动，,k,为偶数时，向右、上方向移动。要确定一系列,d k,，使由,s,1=（3，3）经过那些小黑点最终移到原点（0，0）。图中给了一个移动方案，经过决议,d,1,，,d,2,，,d,3,，,d,11最终有,s,1=（0，0）。这个结论很轻易翻译成渡河方案。,第21页,
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