二次函数知识点考点典型试题集锦带详细解析复习资料.doc

二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)
一、中考要求：
1．经历探索、分析与建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．
2．能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，开展有条理的思考与语言表达能力；能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系．
3．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进展分析，逐步积累研究函数性质的经历．
4．能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向，对称轴与顶点坐标．
5．理解一元二次方程及二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
6．能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进展预测．
二、中考卷研究
(一)中考对知识点的考察：
2021、2021年局部省市课标中考涉及的知识点如下表:
序号
所考知识点
比率
1
二次函数的图象与性质
2.5~3%
2
二次函数的图象及系数的关系
6%
3
二次函数解析式的求法
2.5~10.5%
4
二次函数解决实际问题
8~10%
(二)中考热点：
二次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，本章主要考察二次函数的概念、图象、性质及应用，这些知识是考察学生综合能力，解决实际问题的能力．因此函数的实际应用是中考的热点，与几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题．
三、中考命题趋势及复习对策
二次函数是数学中最重要的内容之一，题量约占全部试题的10％～15％，分值约占总分的10％～15％，题型既有低档的填空题与选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这局部试题包括了初中代数的所有数学思想与方法，全面地考察学生的计算能力，逻辑思维能力，空间想象能力与创造能力。
针对中考命题趋势，在复习时应首先理解二次函数的概念，掌握其性质与图象，还应注重其应用以及二次函数及几何图形的联系，此外对各种函数的综合应用还应多加练习.
★★★(I)考点突破★★★
考点1：二次函数的图象与性质
一、考点讲解：
1．二次函数的定义：形如〔a≠0，a，b，c为常数〕的函数为二次函数．
2．二次函数的图象及性质：
⑴ 二次函数2 (a≠0〕的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大．(x－h)2＋k的对称轴是，顶点坐标是〔h，k〕。
⑵ 二次函数的图象是一条抛物线．顶点为〔－，〕，对称轴－；当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞－，y随x的增大而增大，x＜－，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x＞－，y随x的增大而减小，x＜－，y随x的增大而增大．
注意：分析二次函数增减性时，一定要以对称轴为分界限。首先要看所要分析的点是否是在对称轴同侧还是异侧，然后再根据具体情况分析其大小情况。
解题小诀窍：二次函数上两点坐标为〔〕，〔〕，即两点纵坐标相等，那么其对称轴为直线。
⑶ 当a＞0时，当－时，函数有最小值；当a＜0时，当 －时，函数有最大值。
3．图象的平移：将二次函数2 (a≠0〕的图象进展平移，可得到2＋c，(x－h)2，(x－h)2＋k的图象．
⑴ 将2的图象向上(c＞0〕或向下(c< 0〕平移个单位，即可得到2＋c的图象．其顶点是〔0〕，形状、对称轴、开口方向及抛物线2一样．
⑵ 将2的图象向左〔h<0〕或向右(h＞0〕平移个单位，即可得到(x－h)2的图象．其顶点是〔h，0〕，对称轴是直线，形状、开口方向及抛物线2一样．
⑶ 将2的图象向左〔h<0〕或向右(h＞0〕平移个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移个单位，即可得到(x－h)2 的图象，其顶点是〔h，k〕，对称轴是直线，形状、开口方向及抛物线2一样．
注意：二次函数2 及－2 的图像关于x轴对称。平移的简记口诀是“上加下减，左加右减〞。
一、 经典考题剖析：
【考题１】.抛物线4(2)2+5的对称轴是
【考题2】函数 x2－4的图象及y 轴的交点坐标是〔 〕
A.〔2，0〕 B.〔－2，0〕
C.〔0，4〕 D.〔0，－4〕
【考题３】在平面直角坐标系内，如果将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后二次函数的关系式是〔〕
Ａ．
　Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｂ。
【考题４】〔2021、贵阳〕抛物线 的局部图象〔如图1-2-1〕，图象再次及x轴相交时的坐标是〔 〕
A．〔5，0〕 B.〔6，0〕
C．〔7，0〕 D.〔8，0〕
解：C 点拨：由，可知其对称轴为4,而图象及x轴已交于(1，0)，那么及x轴的另一交点为(7，0)。参考解题小诀窍。
【考题５】〔深圳〕二次函数
ｘ＝－３
y
O
图像如下图，假设点Ａ〔１，〕，Ｂ〔２，〕是它的图像上两点，那么及的大小关系是〔〕
Ａ．＜　　　　Ｂ．＝
Ｃ．＞　　　　Ｄ．不能确定
答案：Ｃ。点Ａ，Ｂ均在对称轴右侧。
三、针对性训练：( 分钟) (答案： )
1．直线及二次函数2 －2x－1的图象的一个交点 M的横标为1，那么a的值为〔 〕
A、2 B、1 C、3 D、 4
2．反比例函数 的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么二次函数22 －2的图象大致为图1－2－3中的〔 〕
4．抛物线2－４x＋5的顶点坐标是〔 〕
A．〔－2，1〕 B．〔－2，－1〕
C．〔2，l〕 D．〔2，－1〕
５．二次函数 2〔x－3〕2+5的图象的开口方向、对称轴与顶点坐标分别为〔 〕
A．开口向下，对称轴－3，顶点坐标为〔3,5〕
B．开口向下，对称轴x＝3，顶点坐标为〔3，5〕
C．开口向上，对称轴－3，顶点坐标为(－3,5)
D．开口向上，对称轴－3，顶点(－3,－5〕
６．二次函数的图象上有两点(3，－8)与(－5，－8)，那么此拋物线的对称轴是〔 〕
A． 　　 B.
　C. 　 D.
7．在平面直角坐标系内，如果将抛物线 向右平移3个单位，向下平移4个单位，平移后二次函数的关系式是〔 〕
Ａ．
　Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
8..，点A〔－1，〕，B〔，〕，C〔－5，〕在函数的图像上，那么，，的大小关系是〔〕
A . ＞＞ B. ＞＞
C. ＞＞ D. ＞＞
9．二次函数(a≠0〕及一次函数(k≠0〕的图象相交于点A〔－2，4〕(8，2)，如图1－2－7所示，能使y1＞y2成立的x取值范围是
3
1

10.〔襄樊〕抛物线的图像如下图，那么抛物线的解析式为。
的顶点坐标是〔2，－1〕，那么，。
12直线2及抛物线2 +2x的交点坐标为．
13读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．
例如：由抛物线①，有②，所以抛物线的顶点坐标为〔m，2m－1〕，即③④。
当m的值变化时，x、y的值随之变化，因而y值也随x值的变化而变化，将③代人④，得2x—1l⑤．可见，不管m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x都满足2x－1，答复以下问题：〔1〕在上述过程中，由①到②所用的数学方法是，其中运用了公式，由③④得到⑤所用的数学方法是；〔2〕根据阅读材料提供的方法，确定抛物线顶点的纵坐标及横坐标x之间的关系式.
14抛物线经过第一、三、四象限，那么抛物线的顶点必在〔 〕
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
15 M、N两点关于 y轴对称，且点 M在双曲线 上，点 N在直线上，设点M的坐标为(a，b)，那么抛物线－2+(a＋b〕x的顶点坐标为.
16当b＜0时，一次函数与二次函数2＋＋c在同一坐标系中的图象大致是图1－2－9中的〔 〕
考点2：二次函数的图象及系数的关系
一、考点讲解：
1、a的符号：a的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，那么a＞0；抛物线开口向下，那么a＜0．
2、b的符号由对称轴决定，假设对称轴是y轴，那么0；假设抛物线的顶点在y轴左侧，顶点的横坐标－＜0，即＞0，那么a、b为同号；假设抛物线的顶点在y轴右侧，顶点的横坐标－＞0，即＜0．那么a、b异号．间“左同右异〞．
3．c的符号：c的符号由抛物线及y轴的交点位置确定．假设抛物线交y轴于正半，那么c＞0，抛物线交y轴于负半轴．那么c＜0；假设抛物线过原点，那么0．
4．△的符号：△的符号由抛物线及x轴的交点个数决定．假设抛物线及x轴只有一个交点，那么△=0；有两个交点，那么△＞0．没有交点，那么△＜0 ．
5、及a－的符号：是抛物线(a≠0〕上的点(1，〕的纵坐标，a－是抛物线(a≠0〕上的点〔－1，a－b＋c〕的纵坐标．根据点的位置，可确定它们的符号.
二、经典考题剖析：
【考题1】〔2021、潍坊〕二次函数的图象如图 l－2－2所示，那么a、b、c满足〔 〕
A．a＜0，b＜0，c＞0
B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0
D．a＞0，b＜0，c＞0
解：A 点拨：由抛物线开口向下可知a＜0；及y轴交于正半轴可知c＞0；抛物线的对称轴在y轴左侧，可知－ ＜0，那么b＜0．应选A．
【考题2】〔2021、天津〕二次函数 (a≠0〕且a＜0，a－＞0，那么一定有〔 〕
A．b2－4＞0 B．b2－4＝0
C．b2－4＜0 D．b2－4≤0
解：A 点拨：a＜0，抛物线开口向下，经过〔－1，a－〕点，因为a－＞0，所以〔－1，a－〕在第二象限，所以抛物线及x轴有两个交点，所以b2－4＞0，应选A．
【考题３】〔2021、重庆〕二次函数的图象如图1－2－10，那么
点〔b，〕在〔 〕
A．第一象限　　B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解： 点拨：抛物线开口向下，所以a ＜0, 顶点在y轴右侧，a、b为异号，所以b＞0，抛物线交y轴于正半轴，所以c＞0，所以＜0，所以 M在第四象限．
三、针对性训练：( 60分钟)
1．函数的图象如图1－2－11所示，给出以下关于系数a、b、c的不等式：①a＜0，②b＜0，③c＞0，④2a＋b ＜0，⑤a＋b＋c＞0．其中正确的不等式的序号为
2．抛物线及x轴交点的横坐标为－1，那么a＋.
3．抛物线中，a：b：：2：3，最小值为6，那么此抛物线的解析式为
4．二次函数的图象开口向下，且及y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式： .
5．抛物线如图1－2－12 所示，那么它关于y轴对称的抛物线的解析式是.
6．假设抛物线过点(1，0)且其解析式中二次项系数为1，那么它的解析式为．〔任写一个〕
7．二次函数的图象及x轴交于点〔－2，0〕，(x1，0)且1＜x1＜2，及y·轴正半轴的交点连点(0，2〕的下方，以下结论：①a＜b＜0；②2a＞0；③4a< 0，④2a－＞0．其中的有正确的结论是〔填写序号〕．
8．假设二次函数的图象如图，那么0〔“＜〞“＞〞或“=〞〕
第8题图
9．二次函数的图象如图 1－2－14所示，那么以下关于a、b、c间的关系判断正确的选项是〔〕
A．＜0 B、＜0
C．＋c＞0 D．a－b十c＜0
10．抛物线〔a＞0〕的顶点在x轴上方的条件是〔 〕
A．b2－4ac＜0 B．b2－4ac＞ 0 C．b2－4ac≥0 D． c ＜0
11 二次函数⑴3x2；⑵ x2；⑶ x2的图象的开口大小顺序应为〔 〕
A．〔1〕＞〔2〕＞〔3〕B．〔1〕＞〔3〕＞〔2〕
C．〔2〕＞〔3〕＞〔1〕D．〔2〕＞〔1〕＞〔3〕
考点3：二次函数解析式求法
一、考点讲解：
1．二次函数的三种表示方法：
⑴表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；
⑵图象法：可以直观地表示出函数的变化过程与变化趋势；
⑶表达式：可以比拟全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系．
2．二次函数表达式的求法：
⑴一般式法：假设抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得；将的三个点的坐标分别代入解析式，得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可。
⑵顶点式法：假设抛物线的顶点坐标或对称轴方程，那么可采用顶点式：其中顶点为(h，k)，对称轴为直线；
⑶交点式法：假设抛物线及x轴的交点坐标或交点的横坐标，那么可采用交点式：,其中及x轴的交点坐标为〔x1，0〕，〔x2，0〕。
解题小诀窍：在求二次函数解析式时，要灵活根据题目给出的条件来设解析式。例如，二次函数的顶点在坐标原点可设；顶点〔0，c〕，即在y轴上时可设；顶点〔h，0〕即顶点在x轴上可设.
注意：当涉及面积周长的问题时，一定要注意自变量的取值范围。
二、经典考题剖析：
【考题1】〔2021、长沙〕如图1－2－16所示，要在底边160，高120的△铁皮余料上，截取一个矩形，使点H在上，点G在上，点E、F在上，交于点M，此时。
(1)设矩形的长，宽，确定y及x的函数关系式；
(2)当x为何值时，矩形的面积S最大？
(3)以面积最大的矩形为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样围时，才能使铁桶的体积较大？请说明理由(注：围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备)。
解：⑴∵△ ∽△，所以，所以=，所以
⑵∵矩形的面积，
所以60, S最大=4800㎝2.
⑶围圆柱形铁桶有两种情况：当60㎝时，
第一种情况：以矩形的宽60作铁桶的高，长80作铁桶的底面周长，那么底面半径
第二种情况：以矩形的长80作铁桶的高，宽60作铁桶的底面周长，那么底面半径.
因为V1＞V2，所以以矩形的宽60作铁桶的高，长80作铁桶的底面周长围成的圆柱形铁桶的体积较大．
点拨：作铁桶时要分两种情况考虑，通过比拟得到哪种情况围成的铁桶的体积大
【考题2】在直角坐标系中，△的顶点坐标分别为A〔0，2〕，O〔0，0〕，B〔4，0〕，把△绕O点按逆时针方向旋转900到△。
〔1〕求C，D两点的坐标；
〔2〕求经过C，D，B三点的抛物线解析式。
解：〔1〕C点〔－2,0〕，D点〔0，4〕。
〔2〕设二次函数解析式为，由点C，B两点的坐标，得。
将点D〔0,4〕代入得，
即二次函数解析式为。
【考题3】如图，抛物线的对称轴是直线1，它及x轴交于两点，及y轴交于C点。点的坐标分别是(－1，0)，(0，)。
〔1〕求此抛物线对应的函数解析式；
〔2〕假设点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△的面积的最大值。
解：〔1〕抛物线的对称轴为1，设抛物线解析式为，将点A(－1，0)，C(0，)代入解析式，得
解得， ，
即。
〔2〕A点横坐标为－1，对称轴为1，那么点B的横坐标为3，设点P横坐标是m〔－1＜m＜3〕，那么点P纵坐标。〔＞0〕
当1时，S有最大值，为4。
解题小诀窍：当二次函数图像上出现动点时，可以先设出动点的横坐标，然后利用二次函数的解析式将动点的纵坐标表示出来，如上面点P的纵坐标的表示方法。
【考题4】〔2021、南宁〕目前，国内最大跨江的钢管混凝土拱桥——永与大桥，是南宁市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一局部〔如图 1－2－18〕，在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为350米，拱高为8．5米。
⑴在所给的直角坐标系中〔如图1－2－19〕，假设抛物线的表达式为，请你根据上述数据求出、的值，并写出抛物线的表达式〔不要求写自变量的取值范围，、的值保存两个有效数字〕。
⑵七月份汛期将要降临，当邕江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上涨4时，位于水面上的桥拱跨度有多大？〔结果保存整数〕
解：〔1〕因为桥拱高度8．5m，抛物线过点C 〔0，8．5〕，所以8．5．又由，得350m，即点A、B的坐标分另为〔－175，0〕， 〔175，0〕．那么有0= 1752 · 8．5，解得a≈0．00028，所求抛物线的解析式为0．00028x2＋8．5；
〔2〕由1－2－20所示，设为水位上升4m后的桥拱跨度，即当 4时，有4=0．00028x2＋8．5，所以x≈±126．77．所以 D、E两点的坐标为〔－12 6.7 7， 4〕，〔12 6.7 7， 4〕．所以≈12 6．7 7+12 6．77≈254米.
答：当水位上涨4m时，位于水面上的桥拱跨度为254m．
点拨：理解桥拱的跨度即为抛物线及x轴两交点之间的距离 .
【考题5】〔2021、海口〕抛物线2+(2n－1)2－1 (n为常数).
(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；
(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作⊥x轴于B，⊥x轴于C.
①当1时，求矩形的周长；
②试问矩形的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.
解：由抛物线过原点，得n2－1=0。解这个方程，
得n1=1, n2=－1。
当1时，得2, 此抛物线的顶点不在第四象限；当－1时，得2－3x, 此抛物线的顶点在第四象限.∴所求的函数关系为2－3x.
(2) 由2－3x，令0, 得x2－30，
解得x1=02=3。∴抛物线及x轴的另一个交点为(3,0)，∴它的顶点为(,), 对称轴为直线, 其大致位置如下图。
①∵1，由抛物线与矩形的对称性易知×(3－1)=1.∴B(1,0)，∴点A的横坐标1， 又点A在抛物线2－3x上，∴点A的纵坐标12－3×1=－2.
∴－22.∴矩形的周长为：2()=2×(2+1)=6.
②∵点A在抛物线2－3x上，故可设A点的坐标为(x，x2－3x),
∴B点的坐标为(x,0). (0＜x＜)
∴3－2x, A在x轴下方，∴x2－3x＜0，∴2－33x－x2 ，∴矩形的周长
2[(3x－x2)+(3－2x)]= －2(x－)2+
∵－2＜0,∴当时，矩形的周长P最大值为. 此时点A的坐标为A(,).
解题小诀窍：在此类求三角形面积、四边形周长与面积的最值问题时，解题的关键是如何用一个未知数将其表示出来
【考题6】〔2021、郸县〕如图1－2－24，△是边长为2＋的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将△ B折叠，使点A落在边上，记为A′，折痕为．
〔1〕当A′E∥x轴时，求点A′与E的坐标；
〔2〕当A′E∥x轴，且抛物线经过点A′与E时，求该抛物线及x轴的交点的坐标；
〔3〕当点A′在上运动但不及点O、B重合时，能否使△A′成为直角三角形．假设能，请求出此时点A′的坐标；假设不能，请你说明理由．
解：〔1〕当A′E∥x时，∠′90○ ，因为△为等边三角形，所以∠A′60○ ，　　∠A′30○，A′ ，设′，那么2a，由勾股定理得A′ａ ，由题意意可知ΔA′≌Δ，所以A′ E，
所以A′，因为2+，
所以′=1，A′，
所以A′(0,1)，E(，1)
⑵由题意知，点A′(0,1)，E(，1)在
的图象上，那么方程组
所以，当0时，得
所以，抛物线及x轴的交点坐标为(2，0)，　(－，0)
⑶不能．理由：因为要使△A’为直角三角形，那么90°角只能是∠A′或∠A′．假设　　　∠A′90○ ，因为△′Ｅ及△关于 对称，所以∠A′∠＝90○ ，∠′=180○．此时A、E、A ′应在同一直线上，点A’应及O点重合，这及题设矛盾．所以∠A′＝90○，即△A′不能为直角三角形．同理，　　∠A′＝90○也不成立，即△A′不能为直角三角形．
点拨：此题是代数、几何综合题，注意利用几何图形之间的关系．
【考题７】如图，二次函数图像的顶点坐标为C(1,0)，直线及二次函数的图像交于A、B两点，其中A点的坐标为〔3,4〕，B点在y轴上。
〔1〕求m的值及二次函数的解析式；
〔2〕P为线段上的一个动点〔点P及不重合〕，过点P做x轴的垂线及二次函数图像交于点E，设线段的长度为h，点P的横坐标为x，求h及x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
〔3〕D为直线及这个二次函数图像对称轴的交点，在线段上是否存在一点P，使得四边形是平行四边形？假设存在，请说明理由。
解：〔1〕∵点A〔3,4〕在直线上，
∴4=3，∴1。
设所求二次函数为
∵点A〔3,4〕在二次函数为上，
∴，∴1.
所求二次函数为,即
〔2〕设P、E两点的纵坐标是，
所以，(1)－
即(0＜x＜3).
(3)存在。要使四边形是平行四边形，必有，点D在直线上，点D的坐标为〔1,2〕。所以=2，解得〔不合题意舍〕，所以点P坐标为〔2,3〕时符合题意。
三、针对性训练：(45 分钟)
1．二次函数的图象经过点〔－3，2〕，〔2，7〕，〔0，－1〕，求其解析式．
2．抛物线的对称轴为直线－2，且经过点　〔－l，－1〕，〔－4，0〕两点．求抛物线的解析式．
3．抛物线及 x轴交于点〔1，0〕与(2，0)且过点 (3，4)，求抛物线的解析式．
4．二次函数的图象经过点A〔0，1〕B(2，－1〕两点．〔1〕求b与c的值；(2〕试判断点P〔－1，2〕是否在此抛物线上？
5．一个二次函数的图象如图1－2－25所示，请你求出这个二次函数的表达式，并求出顶点坐标与对称轴方程．
6．抛物线过三点〔－1，－1〕、〔0，－2〕、〔1，l〕．
〔1〕求抛物线所对应的二次函数的表达式；
〔2〕写出它的开口方向、对称轴与顶点坐标；
〔3〕这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？
7．当 4时，函数的最小值为－8，抛物线过点〔6，0〕．求：
〔1〕顶点坐标与对称轴；〔2〕函数的表达式；
〔3〕x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．
8．在Δ中，∠＝90○ ，点C在x轴正半轴上，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上(图1－2－26所示〕，假设 ∠ ，求经过 A、B、C点的抛物线的解析式．
9．：如图1－2－27所示，直线－3及x 轴、
y轴分别交于点B、C，抛物线－x2＋＋c经过点B、C，点A是抛物线及x轴的另一个交点．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕假设点P在直线上，且SΔSΔ，求点P的坐标．
10 四边形为△的内接矩形(图1－2－28)，为边上的高，长为x，矩形的面积为y，请写出y及x之间的函数关系式，并判断它是不是关于x的二次函数.
考点4：根据二次函数图象解一元二次
方程的近似解
一、考点讲解：
1．二次函数及一元二次方程的关系：
〔1〕一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况．
〔2〕二次函数的图象及x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象及x轴有交点时，交点的横坐标就是当0时自变量x的值，即一元二次方程2＋＋0的根．
〔3〕当二次函数的图象及 x轴有两个交点时，那么一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象及x轴有一个交点时，那么一元二次方程2＋＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝2+ 的图象及 x轴没有交点时，那么一元二次方程没有实数根．
解题小诀窍：抛物线及x轴的两个交点间的距离可以用| x1－x2|来表示。
二、经典考题剖析：
【考题1】〔2021、湖北模拟〕关于二次函数 的图象有以下命题：①当0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数的图象开口向下时，’＋＋0必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是；④当0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确的个数是〔 〕
A．1 B．2 C．3 D．4
解：C 点拨：①显然正确；由a＜0及c＞0，得△2 -4＞0．所以②正确．由于a的符号不定，所以顶点是最高点或最低点不定．所以③不正确．因为0时，对称轴为x＝0．所以④正确．
【考题2】〔2021、青岛模拟，8分〕
二次函数2－68，求：
〔1〕抛物线及x轴y轴相交的 交点坐标；
〔2〕抛物线的顶点坐标；
〔3〕画出此抛物线图象，利用
图象答复以下问题：
①方程x2 －6x＋8=0的解是什
么？
②x取什么值时，函数值大于0？
③x取什么值时，函数值小于0？
解：〔1〕根据题意，得x2－68=0．那么〔x－2〕(x－4〕= 0，x1=2，x2=4．所以及x轴交点为〔2,0〕与〔4，0〕；当x1=0时，8．所以抛物线及 y轴交点为〔0，8〕。
〔2〕，抛物线的顶点坐标为〔3，－1〕。
〔3〕图1－2－29所示．①由图象知，x2－68=0的解为x1=2，x2=4．②当x＜2或x＞4时，函数值大于0；③当2＜x＜4时，函数值小于0．
点拨：二次函数 x2－68及x轴交点的横坐标就是一元二次方程x2－68=0的两个解，用抛物线解一元二次方程需要知道抛物线及x轴的交点坐标．
【考题3】〔2021、天津〕抛物线y＝x2－2x－8，
〔1〕求证：该抛物线及x轴一定有两个交点；
〔2〕假设该抛物线及x轴的两个交点分别为A、B，
且它的顶点为P，求△的面积．
解：〔1〕证明：因为对于方程x2－2x－8=0，其判别式△=〔－2〕2 －4×〔－8〕－36＞0，所以方程x2－2x－8=0有两个实根，抛物线 x2－2x－8及x轴一定有两个交点；
〔2〕解：因为方程x2－2x－8=0有两个根为x1=2，x2=4，所以 x1－x2|＝6．又抛物线顶点P的纵坐标 －9，
所以SΔ··27。
点拨：此题主要考察了二次函数，一元二次方程等知识及它们的综合应用．
三、针对性训练：( 45分钟)
1．函数2－7x—7的图象与x轴有交点，那么k的取值范围是〔 〕
2．直线3x－3及抛物线2 －1的交点的个数是〔 〕
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
3．函数的图象如图l－2－30，那么关于x的方程的根的情况是〔 〕
A．有两个不等的实数根B．有两个异号实数根
C．有两个相等实数根 D．无实数根
4．二次函数的图象如图l－2－31所示，那么以下结论成立的是〔 〕
A．a＞0，＞0，△＜0
＜0，＞0，△＜0
C．a＞0，＜0，△＜0
＜0，＜0，△＞0
5．函数的图象如图 l－2－32所示，那么以下结论错误的选项是〔 〕
A．a＞0 B．b2－4＞0
C、的两根之与为负
D、的两根之积为正
6．不管m为何实数，抛物线2－＋m－2〔 〕
A．在x轴上方 B．及x轴只有一个交点
C．及x轴有两个交点 D．在x轴下方
7．画出函数y 2－2x－3的图象，利用图象答复：
〔1〕方程x2－2x－3=0的解是什么？
〔2〕b取什么值时，函数值大于0？
〔3〕b取什么值时，函数值小于0？
8．二次函数y 2－x－6·
〔1〕求二次函数图象及坐标轴的交点坐标及顶点坐标；
〔2〕画出函数图象；
〔3〕观察图象，指出方程x2－x—6=0的解；
〔4〕求二次函数图象及坐标轴交点所构成的三角形的面积
考点5：用二次函数解决实际问题
一、考点讲解：
1．二次函数的应用：
〔1〕二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大〔小〕值；
〔2〕二次函数的应用包括以下方面：分析与表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大〔小〕值．
注意：二次函数实际问题主要分为两个方面的问题，几何图形面积问题与经济问题。解几何图形面积问题时要把面积公式中的各个局部分别用同一个未知数表示出来，如三角形，我们要用x分别把h，l表示出来。经济问题：总利润=总销售额－总本钱；总利润=单件利润×销售数量。解最值问题时，一定要注意自变量的取值范围。分为三类：①对称轴在取值范围内；②取值范围在对称轴左边；③取值范围在对称轴右边。
2．解决实际问题时的根本思路：〔1〕理解问题；〔2〕分析问题中的变量与常量；〔3〕用函数表达式表示出它们之间的关系；〔4〕利用二次函数的有关性质进展求解；〔5〕检验结果的合理性，对问题加以拓展等．
二、经典考题剖析：
【考题1】〔2021、贵阳，12分〕某产品每件本钱10元，试销阶段每件产品的销售价x〔元〕及产品的日销售量y〔件〕之间的关系如下表：
假设日销售量y是销售价x的一次函数；
〔1〕求出日销售量y〔件〕及销售价x〔元〕的函数关系式；
〔2〕要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
解：〔1〕设此一次函数解析式为
那么，解得：140,
即：一次函数解析式为
〔2〕设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元，w =
=。产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元
点拨：求〔1〕〔2〕中解析式时，可选取表格中的任意两组值即可．
【考题2】〔2021、鹿泉〕图1－2－33是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：

5
10
20
30
40
50

2

8

〔1〕请你以上表中的各对数据〔x，y〕作为点的坐标，尝试在图1－2－34所示的坐标系中画出y关于x的函数图像；
〔2〕①填写下表：
x
5
10
20
30
40
50

②根据所填表中数据呈现的规律，猜测出用x表示y 的二次函数关系式：.
〔3〕当水面宽度为36m时，一般吃水深度〔船底部到水面的距离〕为的货船能否在这个河段平安通过？为什么？
解：〔1〕图象如图1－2－35所示；
〔2〕①如下表所示；② x2；
〔3〕当水面宽度为36m时，相应的18，那么y＝×182 =1．62，此时该河段的最大水深为1．62m．因为货船吃水深度为1．8米，而1.62 ＜1．8，所以当水面宽度为36m时，该货船不能通过这个河段．
【考题3】我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济开展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P＝－〔x－30〕2＋10万元。为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济开展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该工程投资的专项资金每年最多50万元。假设开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通。公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q＝－〔50－x〕2＋〔50－x〕＋308万元。
⑴假设不进展开发，求10年所获利润的最大值是多少？
⑵假设按此规划进展开发，求10年所获利润的最大值是多少？
⑶根据⑴、⑵计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。
解：〔1〕假设不修路，由P＝－〔x－30〕2＋10知，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获得最大利润10万元，那么10年的最大利润M1 =10 ×10=100万元；
〔2〕假设对产品开发，在前5年中，当25时，每年最大利润是P＝－〔25－30〕2＋10=9.5，那么前5年的最大利润M2×万元；
设5年中x万元是用于本地销售的投资P＝－〔25－30〕2＋10，那么将余下的(50－x)万元全部用于外地的投资Q＝－［50－〔50－x〕］2＋［50－〔50－x〕］＋308，才有可能获得最大利润，那么后5年的利润是M3 =3500．故当x＝20时，M3取得最大值为 3500万元．所以，10年的最大利润为2 3 =47．5+3500=3547．5万元；
〔3〕因为3547．5＞100，故有极大的开发价值．
【考题4】学校要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子．O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状一样的抛物线路径落下．且在过的任意平面上的抛物线如图l－2－36所示，建立平面直角坐标系〔如图l－2－37〕，水流喷出的高度y(m)及水面距离x(m)之间的函数关系式是，请答复以下问题：
〔1〕花形柱子的高度；
〔2〕假设不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？
⑴把代入抛物线，得 ∴ ．
⑵把代入，得， ∴。
∴， 又∵＞0，∴。
∴3 ， ∴半径至少是3米．
点拨：以学校要建圆形喷水池为背景材料，将学生送到了一个“设计师〞的角度，运用二次函数解题时，应注意实际情况中的取值．
【考题5】〔2021、青岛〕某工厂现有 80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机
器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
〔1〕如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y及x之间的关系式；。
〔2〕增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？
解：〔1〕根据题意，得(80＋x)(384－4x)．
整理，得4x2＋64x＋30720；
〔2〕因为4x2＋64x＋30720=－4〔x－8〕2＋30976，所以，当x =8时，y最大值=3072030976．即：增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是 30976件．
三、针对性训练：( 60分钟) (答案：270 )
1．小王家在农村，他家想利用房屋侧面的一面墙，围成一个矩形猪圈〔以墙为长人现在已备足可以砌10米长的墙的材料．他想使猪圈的面积最大，你能帮他计算一下矩形的长与宽应当分别是多少米吗？此时猪圈的面积有多大？
2．数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，假设以每箱50元销售平均每天销售90箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．教师要求根据以上资料，解答以下问题，你能做到吗？
⑴ 写出平均每天销售量y〔箱〕及每箱售价社元〕之间的函数关系；
⑵ 写出平均每天销售利润W〔元〕及每箱售价x〔元〕之间的函数关系；
⑶ 求出⑵中M次函数的顶点坐标及当40、70时的W的值．
3．某商人开场时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件．他想采用提高售价的方法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价l元，每天的销售量就会减少10件．
⑴ 写出售价x〔元／件〕及每天所得的利润y〔元〕之间的函数关系式；
⑵ 每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？
4．图1－2－38所示是一条