高中数学圆的方程典型例题全.doc

类型七：圆中的最值问题
例18：圆上的点到直线的最大距离和最小距离的差是

例19　(1)已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值．
(2)已知圆，为圆上任一点．求的最大、最小值，求的最大、最小值．
分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．
解：(1)(法1)由圆的标准方程．
可设圆的参数方程为（是参数）．
则
（其中）．
所以，．
(法2)圆上点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，圆上点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1．
所以．
．
所以．．
(2) (法1)由得圆的参数方程：是参数．
则．令，
得，
．
所以，．
即的最大值为，最小值为．
此时．
所以的最大值为，最小值为．
(法2)设，则．由于是圆上点，当直线和圆有交点时，如图所示，

两条切线的斜率分别是最大、最小值．
由，得．
所以的最大值为，最小值为．
令，同理两条切线在轴上的截距分别是最大、最小值．
由，得．
所以的最大值为，最小值为．
例20：已知，，点在圆上运动，则的最小值是.
解：设，则.设圆心为，则，∴的最小值为.
练习：
1：已知点在圆上运动.
（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值.
解：（1）设，则表示点和点（2，1）连线的斜率.当该直线和圆相切时，取得最大值和最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.
（2）设，则表示直线在轴上的截距. 当该直线和圆相切时，取得最大值和最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.
2 设点是圆是任一点，求的取值范围．
分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替、，转化为三角问题来解决．
解法一：设圆上任一点
则有，
∴，∴
∴．
即（）
∴．
又∵
∴
解之得：．
分析二：的几何意义是过圆上一动点和定点的连线的斜率，利用此直线和圆有公共点，可确定出的取值范围．
解法二：由得：，此直线和圆有公共点，故点到直线的距离．
∴
解得：．
另外，直线和圆的公共点还可以这样来处理：
由消去后得：，
此方程有实根，故，
解之得：．
说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解．或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便．
3、已知点，点在圆上运动，求的最大值和最小值.
类型八：轨迹问题
例21、基础训练：已知点和两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程.

例22、已知线段的端点的坐标是（4，3），端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.

例23 如图所示，已知圆和轴的正方向交于点，点在直线上运动，过做圆的切线，切点为，求垂心的轨迹．

分析：按常规求轨迹的方法，设，找的关系非常难．由于点随，点运动而运动，可考虑，，三点坐标之间的关系．
解：设，，连结，，
则，，是切线，
所以，，，
所以四边形是菱形．
所以，得
又满足，
所以即是所求轨迹方程．
说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析和动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．

例24 已知圆的方程为，圆内有定点，圆周上有两个动点、，使，求矩形的顶点的轨迹方程．
分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．
解法一：如图，在矩形中，连结，交于，显然，，

在直角三角形中，若设，则．
由，即
，
也即，这便是的轨迹方程．
解法二：设、、，则，．
又，即
．①
又和的中点重合，故，，即
②
①＋②，有．
这就是所求的轨迹方程．
解法三：设、、，
由于为矩形，故和的中点重合，即有
，　　　①
，　　　②
又由有③
联立①、②、③消去、，即可得点的轨迹方程为．
说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中．
本题给出三种解法．其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系．而解法二和解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法．解法二涉及到了、、、四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆的参数方程，只涉及到两个参数、，故只需列出三个方程便可．上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解．

练习：
1、由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，=600，则动点的轨迹方程是.
解：设.∵=600，∴=300.∵，∴，∴，化简得，∴动点的轨迹方程是.
练习巩固：设为两定点，动点到点的距离和到点的距离的比为定值，求点的轨迹.
解：设动点的坐标为.由，得，
化简得.
当时，化简得，整理得；
当时，化简得.
所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；
当时，点的轨迹是轴.

2、已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于
解：设点的坐标是.由，得，化简得，∴点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为.

4、已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，问点的轨迹是什么？
解：设.∵，∴，
∴，∴.∵点在圆上运动，∴，∴，即，∴点的轨迹方程是.
例5、已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是.
解：设.∵是的平分线，∴，∴.由变式1可得点的轨迹方程是.
练习巩固：已知直线和圆相交于、两点，以、为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程.
解：设，的中点为.∵是平行四边形，∴是的中点，∴点的坐标为，且.∵直线经过定点，∴，∴，化简得.∴点的轨迹方程是.

类型九：圆的综合应用
例25、 已知圆和直线相交于、两点，为原点，且，求实数的值．
分析：设、两点的坐标为、，则由，可得，再利用一元二次方程根和系数的关系求解．或因为通过原点的直线的斜率为，由直线和圆的方程构造以为未知数的一元二次方程，由根和系数关系得出的值，从而使问题得以解决．
解法一：设点、的坐标为、．一方面，由，得
，即，也即：．　　　①
另一方面，、是方程组的实数解，即、是方程②
的两个根．
∴，．　③
又、在直线上，
∴．
将③代入，得．　　④
将③、④代入①，解得，代入方程②，检验成立，
∴．
解法二：由直线方程可得，代入圆的方程，有
，
整理，得．
由于，故可得
．
∴，是上述方程两根．故．得
，解得．
经检验可知为所求．
说明：求解本题时，应避免去求、两点的坐标的具体数值．除此之外，还应对求出的值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点、存在．
解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于的二次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感．

例26、已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数的取值范围．
分析一：为了使不等式恒成立，即使恒成立，只须使就行了．因此只要求出的最小值，的范围就可求得．
解法一：令，
由
得：
∵且，
∴．
即，∴，
∴，即
又恒成立即恒成立．
∴成立，
∴．
分析二：设圆上一点[因为这时点坐标满足方程]问题转化为利用三解问题来解．
解法二：设圆上任一点
∴，
∵恒成立
∴
即恒成立．
∴只须不小于的最大值．
设
∴即．
说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆上的点设为()．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．

例27 有一种大型商品，、两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离地的运费是地的运费的3倍．已知、两地距离为10公里，顾客选择地或地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求、两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．
分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用．解题时要明确题意，掌握建立数学模型的方法．
解：以、所确定的直线为轴，的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

∵，∴，．
设某地的坐标为，且地居民选择地购买商品便宜，并设地的运费为元/公里，地的运费为元/公里．因为地居民购货总费用满足条件：
价格＋地运费≤价格＋地的运费
即：．
∵，
∴
化简整理得：
∴以点为圆心为半径的圆是两地购货的分界线．
圆内的居民从地购货便宜，圆外的居民从地购货便宜，圆上的居民从、两地购货的总费用相等．因此可随意从、两地之一购货．
说明：实际应用题要明确题意，建议数学模型．

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