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一次函数知识点与题型总结
一、学习导航
1.一次函数的概念；
2. 一次函数的图像和性质；
3.一次函数的解析式；
4.一次函数的应用；
5. 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系.
二、知识梳理与例题精讲
知识点一、一次函数与正比例函数的意义
一般地，如果两个变量x与y之间的函数关系，可以表示为 (k、b为常数，且 )的形式，那么称y为x的一次函数(linear function)．特别地，当 时，y叫x的正比例函数．
例1. 列出下列函数关系式，判别其中哪些为一次函数、正比例函数．
(1)正方形周长p和一边的长a．
　　(2)圆的面积A与半径R．
　　(3)长a一定时矩形面积y与宽x．
　　(4)15斤梨售价20元．售价y与斤数x．
　　(5)定期存100元本金，月利率1.8％，本息y与所存月数x．
　　(6)水库原存水Q立方米，现以每小时a立方米的流量开闸放水，同时上游以每小时b立方米的流量向水库注水，求这时水库的蓄水量M与时间t的函数关系．
例2．已知，当=_____时，是的一次函数．
例3函数的自变量x的取值范围是_________．
例4．当 时，一次函数 与 的值相等，那么 与 的值分别是（ ）
A． ， B．－1，9    C．1，11    D．5，15
知识点二、一次函数的图象与性质
一次函数

，符号

图象

性质
随的增大而增大
随的增大而（ ）

例5．一次函数不经过第三象限，则下列正确的是（ ）．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
例6.（1）已知正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是图中的（　　）

例6.（2）正比例函数 ，当 ， ， 时，对应的 ， ， 之间的关系是（ ）
A．　　B．　　C．　　D．无法确定　

例7． 汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系用图象表示应为（ ）．
400
200
2
4
s（千米）
t（小时）
0
400
200
2
4
s（千米）
t（小时）
0
400
200
2
4
s（千米）
t（小时）
0
400
200
2
4
s（千米）
t（小时）
0

A B C D
知识点三、一次函数的图像平移
1．要得到y=-x-4的图像，可把直线y=-x( )．
A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位
C．向上平移4个单位 D．向下平移4个单位

知识点四、一次函数的解析式
例8．一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，这个函数的解析式是 ．
例9．从甲地向乙地打长途电话，计时收费，前3分钟收费元，以后每增加1分钟收1元，则电话费（元）与通话时间（分）之间的函数关系式是 ．
例10．某商店出售商品时，其数量x与售价y之间的关系如下表所示，请根据表中所提供的信息，列出y与x的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价。
数量x（千克）
1
2
3
4
…
售价y（元）
8+0.4
16+0.8
24+1.2
32+1.6
…

知识点五、一次函数图像与面积
例11. 已知一次函数 的图像经过 ， 两点。（1）求此一次函数的解析式；（2）求此函数图像与坐标轴围成的三角形面积。
例12．若一次函数与两坐标轴围成的三角形面积是4，求的值．
知识点六、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系
例13、一次函数与的图象如图，则下列结论①；②；③当时，中，正确的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
x
y
O
3

例15、如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P， 则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是________．

知识点六、实际问题与一次函数
例16．2008年夏天，某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，如图所示是某水库蓄水量V(万米3)与干旱持续时间t(天)之间的关系图.

请根据此图回答下列问题：
(1)该水库原蓄水量为多少万米3？持续干旱10天后，水库蓄水量为多少万米3？
(2)若水库的蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱预报，请问持续干旱多少天后，将发出严重干旱预报？
(3)按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？

三、方法规律
近年来，中考试题更加灵活和开放，更加注重应用和创新，不仅使试题设计有更多的创新，并且也通过试题更好地鼓励学生创新。为帮助同学们熟悉新题型，迎接新挑战，特采撷部分一次函数的中考特色题，供大家学习鉴赏。
一、开放型
例1 某函数的图象经过，且函数的值随自变量的值增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：______________________
二、程序选择型
例2 如图1，当输入时，输出的___________。

三、学科渗透型
例3 在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中（如图2），然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则能反映弹簧秤的读数（单位：N）与铁块被提起的高度（单位：cm）之间的函数关系的图象大致是

四、新定义型
例4 设关于的一次函数，与，则称函数（其中）为此两个函数的生成函数。当时，求函数与的生成函数的值；

五、图表信息型
例5 化工商店销售某种新型化工原料，其市场指导价是每千克160元（化工商店的售价还可以在市场指导价的基础上进行浮动），这种原料的进货价是市场指导价的75%。
（1）为了扩大销售量，化工商店决定适当调整价格，调整后的价格按八折销售，仍可获得实际售价的20%的利润，求化工商店调整价格后的标价是多少元？打折后的实际售价是多少元？
（2）化工商店为了解这种原料的月销售量（千克）与实际售价（元/千克）之间的关系，每个月调整一次实际售价，试销一段时间后，部门负责人把试销情况列成下表：
实际售价（元/千克）
…
150
160
168
180
…
月销售量（千克）
…
500
480
464
440
…
①请你在所给的平面直角坐标系中，以实际售价（元/千克）为横坐标，月销售量（千克）为纵坐标描出各点，观察这些点的发展趋势，猜想与之间可能存在怎样的函数关系；

②请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的与之间的函数表达式，并验证你在①中的猜想；
③若化工商店某月按同一实际售价共卖出这种原料450千克，请你求出化工商店这个月销售这种原料的利润是多少元？

六、方案设计型
例6 某县响应“建设环保节约型社会”的号召，决定资助部发村镇修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源。幸福村共有264户村民，政府补助村里34万元，不足部分由村民集资。修建A型、B型沼气池共20个。两种型号沼气池每个修建费用、可供使用户数、修建用地情况如下表：
沼气池
修建费用（万元/个）
可供使用户数（户/个）
占地面积（/个）
A型
3
20
48
B型
2
3
6
政府相关部门批给该村沼气池修建用地。设修建A型沼气池个，修建两种型号沼气池共需费用万元。
（1）求与之间的函数关系式；
（2）不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有几种；
（3）若平均每户村民集资700元，能否满足所需费用少的修建方案。

七、阅读理解型
例7 （1）已知矩形A的长、宽分别是2和1，那么是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是矩形A的周长和面积的2倍？对上述问题，小明同学从“图形”的角度，利用函数图象给予了解决。小明论证的过程开始是这样的：如果用分别表示矩形的长和宽，那么矩形B满足。请你按照小明的论证思路完成后面的论证过程。
（2）已知矩形A的长和宽分别是2和1，那么是否存在一个矩形C，它的周长和面积分别是矩形A的周长和面积的一半？小明认为这个问题是肯定的，你同意小明的观点吗？为什么？
八、数形结合型
例8 平面直角坐标系中，点A的坐标是，点P在直线上，且。求m的值。

四、自我评价与中考链接
考点一：一次函数的概念
1.下列各曲线中不能表示y是x的函数是（　　）。
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y

A B C D
2．已知函数，那么 ．
3 下列函数中，一次函数为 （ ）(A)y=x3 (B)y=2x2+1 (C)y= (D)y=－3x 4、如果函数是一次函数，则
5.已知正比例函数y＝（m－1）的图象在第二、四象限，则m 的值为_________,
6.求下列函数自变量的取值范围
①函数自变量x的取值范围 ②函数中，
③函数 ④函数y= ___ _____
⑤已知矩形的周长为40，设其中一边长为，面积为，则关于的函数关系
为_________________________，自变量的取值范围是_______________________．
7.已知成正比例，成正比例，，当时，；当时，，求与的函数关系式．

考点2：一次函数图象与系数
思路点拨：一次函数的图象K决定① ②
b决定① ②
1.一次函数y= -3 x + 2的图象不经过第 象限.
2.直线可以由直线向 平移 个单位得到.
3. （若一次函数的图像经过 一、二、四象限，则m的取值范围是
4.关于x的一次函数y=kx+k2+1的图像可能是（ ）
．
5已知关于x的一次函数的图象如图所示，则可化简为_________________.
6．求与直线平行，并且经过点P(1，2)的一次函数解析式
7、直线与两坐标轴围成的三角形面积是
考点3：一次函数的增减性
1、一次函数y=－(m2+1)x－(m2+2)的图象(m为常数)不经过 （ ）
(A)第一象限 (B)第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限
2、点P1(x1,y1)点p2(x2,y2)是一次函数=－4x+3图象上的两点,且x1<x2,则y1与y2的大小关系是( ) (A)y1>y2 (B)y1>y2>0 (C)y1<y2 (D)y1=y2
3.已知关于x的一次函数y=kx+4k-2(k≠0).若其图象经过原点,则k=_____;若y随x的增大而减小,则k的取值范围是________.
4.当实数x的取值使得有意义时，函数y=4x+1中y的取值范围是（ ）．A．y≥－7 B．y≥9 C．y＞9 D．y≤9
考点4：函数图象经过点的含义及\待定系数法求解析式
1．在平面直角坐标系中，点P(2，)在正比例函数的图象上，则点Q()位于第______象限．
2、已知一次函数的图象过点（-2，5），并且与ｙ轴交于点P，直线与ｙ轴交于点Q，点Q恰好与点P关于ｘ轴对称，求这个一次函数的关系式；

考点5：函数图象与方程（组）与不等式
1.如图一 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 。
2.如图二，一次函数的图象经过点Ａ．当时，的取值范围是 ．
第3题图
3、如图三，已知函数和的图象交于点P, 则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是 .
4.点A，B，C，D的坐标如图，求直线AB与直线CD的交点坐标．

考点6：方案问题
1. A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C 市10台和D市8台．
已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为400元和800元；从B市调运
台机器到C市和D市的运费分别为300元和500元．
（1）设B市运往C市机器x台，求总运费Y（元）关于x的函数关系式．
（2）若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

同类练习
1． 某火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排一列挂有A，B两种不同规格的货厢共50节的货车将这批货物运往广州，已知一节A型货厢可用甲种货物35吨和乙种货物15吨装满，运费为0.5万元；一节B型货厢可用甲种货物25吨和乙种货物35吨装满，运费为0.8万元。设运输这批货物的总运费为W万元，用A型货厢的节数为X节。
（1） 请求W与X的函数关系
（2） 有几种运输方案？
（3） 采用哪种方案运费最少？最少运费是多少万元？

2.某水产品养殖加工厂有200名工人,每名工人每天平均捕捞水产品50,或将当日所捕捞的水产品40进行精加工,已知每千克水产品直接出售可获利润6元,精加工后再出售,可获利润18元,设每天安排名工人进行水产品精加工．
(1)求每天做水产品精加工所得利润(元)与的函数关系式；
(2)如果每天精加工的水产品和未来得及精加工的水产品全部出售,那么如何安排生产
可使这一天所获利润最大？最大利润是多少？