22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(课堂PPT).ppt

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图像,.,（,6,3,）,O,x,5,5,10,问题：,1.,看图像说说抛物线,的增减性。,2.,怎样平移抛物线,可以得到抛物线,？,8,9,你学会了吗？,研究二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象，关键是找到对称轴和顶点坐标。通常利用,配方法,把二次函数,y=ax,2,+bx+c,转化为,y=a(x-h),+k,的形式，然后确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点。,10,1,用配方法求二次函数,y=ax,+bx+c,的对称轴和顶点坐标,函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的顶点式,配方法：,11,2,待定系数法：,设,y,ax,2,bx,c,可化为,y,a,(,x,h,),2,k,而,y,a,(,x,h,),2,k,ax,2,2,ahx,ah,2,k,2,ah,b,ah,2,k,c,可得,h,k,综上得,y,ax,2,bx,c,a,(,x,),2,老师提示,:,配方后的表达式通常称为,配方式,或,顶点式,12,归纳,抛物线,y,ax,2,bx,c,（,a,0,）,a,(,x,),2,因此，抛物线,y,ax,2,bx,c,的对称轴是,x,顶点坐标是（，）,识记,13,图象的画法,步骤：,1,利用配方法或公式法把,化为,的形式。,2,确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。,3,在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。,14,15,函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的顶点式,总结：求二次函数最值，有两个方法,(1),用配方法；,(2),用公式法,16,怎样直接作出函数,y=3x,2,-6x+5,的图象,?,例2 我们知道,作出二次函数y=3x,2,的图象,通过平移抛物线y=3x,2,可以得到二次函数y=3x,2,-6x+5的图象.,1.,配方,:,提取二次项系数,配方,:,加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理,:,前三项化为平方形式,后两项合并同类项,化简,:,去掉中括号,17,相等，则形状相同。,(1),a,决定抛物线形状及开口方向，若,a,0,开口向上；,例,3抛物线,y,ax,2,bx,c,中,a,，,b,，,c,的作用。,a,0,开口向下。,x,y,a,的绝对值越大，开口越小,18,(2),a,和,b,共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线,y,ax,2,bx,c,的对称轴是直线,若,a,，,b,异号,对称轴在,y,轴右侧。,，故,若,b,0,对称轴为,y,轴，,若,a,，,b,同号,对称轴在,y,轴左侧，,x,y,o,19,(3),c,的大小决定抛物线,y,ax,2,bx,c,与,y,轴交点的位置。,当,x,0,时，,y,c,，抛物线,y,ax,2,bx,c,与,y,轴有且只有一个交点,(0,，,c,),，,c,0,抛物线经过原点,；,c,0,与,y,轴交于正半轴；,c,0,与,y,轴交于负半轴。,x,y,20,（,4,）二次函数有最大或最小值由,a,决定。,当,x=,时,y,有最大,(,最小,),值,y,.,.,x,y,.,x,x,能否说出,它们的增,减性呢？,21,x,y,O,22,（,3,）开口方向：当,a,0,时，抛物线开口向上；当,a,0,时，抛物线开口向下。,二次函数,的性质：,（,1,）顶点坐标,（,2,）对称轴是直线,课堂小结,23,如果,a,0,，当,时，函数有最小值，,如果,a,0,，当,时，函数有最大值，,（,4,）最值：,24,若,a,0,，当,时，,y,随,x,的增大而增大；,当,时，,y,随,x,的增大而减小。,若,a,0,，当,时，,y,随,x,的增大而减小；,当,时，,y,随,x,的增大而增大。,（,5,）增减性：,25,与,y,轴的交点坐标为（,0,，,c,）,(6),抛物线,与坐标轴的交点,抛物线,抛物线,与,x,轴的交点坐标为,，其中,为方程,的两实数根,26,与,x,轴的交点情况可由对应的一元二次方程,(7),抛物线,的根的判别式判定：,0,有两个交点,抛物线与,x,轴相交；,0,有一个交点,抛物线与,x,轴相切；,0,没有交点,抛物线与,x,轴相离。,27,再见,28,二次,函数,y=ax,2,+bx+c(a0),的图象和性质,.,顶点坐标与对称轴,.,位置与开口方向,.,增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax,2,+bx+c,(,a0,),y=ax,2,+bx+c,(,a0,时,向右平移,;,当,0,时向上平移,;,当,0,、,2a+b0,、,a+b+c0,、,4a+2b+c0,、,4a-2b+c0.,31,二次函数的几种表达式：,、,、,、,、,、,、,、,(,顶点式,),(,一般式,),(,交点式,),x,y,o,32,例,7,已知二次函数,的最大值是,0,，求此函数的解析式,33,例,8,已知如图是二次函数,y,ax,2,bx,c,的图,象，判断以下各式的值是正值还是负值,(1),a,；,(2),b,；,(3),c,；,(4)2,a,b,；,(5),a,b,c,；,(6),a,b,c,34,分析：已知的是几何关系,(,图形的位置、形状,),，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用,35,解：,(1),因为抛物线开口向下，所以,a,0,；,判断,a,的符号,36,(2),因为对称轴在,y,轴右侧，所以,，而,a,0,，故,b,0,；,判断,b,的符号,37,(3),因为,x,0,时，,y,c,，即图象与,y,轴交点的坐标是,(0,，,c,),，而图中这一点在,y,轴正半轴，即,c,0,；,判断,c,的符号,38,，且,a,0,，所以,b,2,a,，故,2,a,b,0,；,(5),因为顶点横坐标小于,1,，即,判断2a,b的符号,39,(6),因为图象上的点的横坐标为,1,时，点的纵坐标为正值，即,a,1,2,b,1,c,0,，故,a,b,c,0,；,判断,a,b,c,的符号,40,(7),因为图象上的点的横坐标为,1,时，点的纵坐标为负值，即,a,(,1),2,b,(,1),c,0,，故,a,b,c,0,判断,a,b,c,的符号,41,9,42,y,o,x,1,x=1,43,-2,11.,二次函数,y=ax,2,+bx+c(a,0),的几个,特例：,1）、当x=1 时，,2）、当x=-1时，,3）、当x=2时,.,4）、当x=-2时，,y=,y=,y=,y=,6,）,、,2a+b,0.,x,y,o,1,-1,2,5,）,、,b,-4ac,0.,a+b+c,a-b+c,4a+2b+c,4a-2b+c,44,12.,函数,y=ax,2,+bx+c(a0),的应用,例：某服装公司试销一种成本为每件,50,元的,T,恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件,70,元，试销中销售量,y,（件）与销售单价,x,（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）,（,1,）求,y,与,x,之间的函数关系式；,（,2,）设公司获得的总利润（总利润总销售额,-,总成本）为,P,元，求,P,与,x,之间的函数关系式，并写出自变量,x,的取值范围；根据题意判断：当,x,取何值时，,P,的值最大？最大值是多少？,400,300,60,70,y,(,件,),x,(,元,),45,解：（,1,）设,y,与,x,之间的函数关为,经过（,60,，,400,）（,70,，,300,）,解得：,y,与,x,之间的函数关系式为,（,2,）,P,（,10 x,1000,）（,x,50,）,当,x,75,时，,P,最大，最大利润为,6250,元,46,13,、已知二次函数,y=ax,2,+bx+c,的最大值是,2,，图象顶点在直线,y=x+1,上，并且图象经过点（,3,，,-6,）。求,a,、,b,、,c,。,解：二次函数的最大值是,2,抛物线的顶点纵坐标为,2,又抛物线的顶点在直线,y=x+1,上,当,y=2,时，,x=1 ,顶点坐标为（,1,，,2,）,设二次函数的解析式为,y=a(x-,1,)2+,2,又图象经过点（,3,，,-6,）,-6,=a(,3,-1)2+2 a=-2,二次函数的解析式为,y=-2(x-,1,)2+,2,即：,y=-2x2+4x,前进,47,14,：,已知二次函数,y=,x,2,+x-,（,1,）求抛物线开口方向，对称轴和顶点,M,的坐标。,（,2,）设抛物线与,y,轴交于,C,点，与,x,轴交于,A,、,B,两点，求,C,，,A,，,B,的坐标。,（,3,）画出函数图象的示意图。,（,4,）求,MAB,的周长及面积。,（,5,）,x,为何值时，,y,随的增大而减小，,x,为何值时，,y,有最大,（小）值，这个最大（小）值是多少？,（,6,）,x,为何值时，,y0,？,1,2,3,2,解,:,（,1,）,a=,0,抛物线的开口向上,y=,(x,2,+2x+1)-2=,(x+1),2,-2,对称轴,x=-1,，顶点坐标,M,（,-1,，,-2,）,1,2,1,2,1,2,前进,48,已知二次函数,y=,x,2,+x-,（,1,）求抛物线开口方向，对称轴和顶点,M,的坐标。,（,2,）设抛物线与,y,轴交于,C,点，与,x,轴交于,A,、,B,两点，求,C,，,A,，,B,的坐标。,（,3,）画出函数图象的示意图。,（,4,）求,MAB,的周长及面积。,（,5,）,x,为何值时，,y,随的增大而减小，,x,为何值时，,y,有最大,（小）值，这个最大（小）值是多少？,（,6,）,x,为何值时，,y0,？,1,2,3,2,解,:,(2),由,x=0,，得,y=-,抛物线与,y,轴的交点,C,（,0,，,-,）,由,y=0,，得,x,2,+x-,=0,x,1,=-3 x,2,=1,与,x,轴交点,A,（,-3,，,0,）,B,（,1,，,0,）,3,2,3,2,3,2,1,2,前进,49,已知二次函数,y=,x,2,+x-,（,1,）求抛物线开口方向，对称轴和顶点,M,的坐标。,（,2,）设抛物线与,y,轴交于,C,点，与,x,轴交于,A,、,B,两点，求,C,，,A,，,B,的坐标。,（,3,）画出函数图象的示意图。,（,4,）求,MAB,的周长及面积。,（,5,）,x,为何值时，,y,随的增大而减小，,x,为何值时，,y,有最大,（小）值，这个最大（小）值是多少？,（,6,）,x,为何值时，,y0,？,1,2,3,2,解,0,x,y,(3),连线,画对称轴,x=-1,确定顶点,(-1,-2),(0,-),确定与坐标轴的交点,及对称点,(-3,0),(1,0),3,2,前进,50,已知二次函数,y=,x,2,+x-,（,1,）求抛物线开口方向，对称轴和顶点,M,的坐标。,（,2,）设抛物线与,y,轴交于,C,点，与,x,轴交于,A,、,B,两点，求,C,，,A,，,B,的坐标。,（,3,）画出函数图象的示意图。,（,4,）求,MAB,的周长及面积。,（,5,）,x,为何值时，,y,随的增大而减小，,x,为何值时，,y,有最大,（小）值，这个最大（小）值是多少？,（,6,）,x,为何值时，,y0,？,1,2,3,2,解,0,M(-1,-2),C(0,-),A(-3,0),B(1,0),3,2,y,x,D,：,（,4,）由对称性可知,MA=MB=2,2,+2,2,=22,AB=|x,1,-x,2,|=4,MAB,的周长,=2MA+AB,=2 22+4=4 2+4,MAB,的面积,=ABMD,=,42=4,1,2,1,2,前进,51,已知二次函数,y=,x,2,+x-,（,1,）求抛物线开口方向，对称轴和顶点,M,的坐标。,（,2,）设抛物线与,y,轴交于,C,点，与,x,轴交于,A,、,B,两点，求,C,，,A,，,B,的坐标。,（,3,）画出函数图象的示意图。,（,4,）求,MAB,的周长及面积。,（,5,）,x,为何值时，,y,随的增大而减小，,x,为何值时，,y,有最大,（小）值，这个最大（小）值是多少？,（,6,）,x,为何值时，,y0,？,1,2,3,2,解,解,0,x,x=-1,(0,-),(-3,0),(1,0),3,2,:(5),(-1,-2),当,x=-1,时，,y,有最小值为,y,最小值,=-2,当,x-1,时，,y,随,x,的增大,而减小,;,前进,52,已知二次函数,y=,x,2,+x-,（,1,）求抛物线开口方向，对称轴和顶点,M,的坐标。,（,2,）设抛物线与,y,轴交于,C,点，与,x,轴交于,A,、,B,两点，求,C,，,A,，,B,的坐标。,（,3,）画出函数图象的示意图。,（,4,）求,MAB,的周长及面积。,（,5,）,x,为何值时，,y,随的增大而减小，,x,为何值时，,y,有最大,（小）值，这个最大（小）值是多少？,（,6,）,x,为何值时，,y0,？,1,2,3,2,解,:,0,(-1,-2),(0,-),(-3,0),(1,0),3,2,y,x,由图象可知,(6),当,x1,时，,y 0,当,-3 x 1,时，,y 0,53,