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自动控制系统的数学模型习题答案

37
2020年4月19日
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习题
2-1、试列写图2-40中各电路的微分方程，图中、为输入、输出电压。
(a)
(b)
L
C
C1
R2
R2
R1
R1
u1
C2
u2
u1
u2
图2-40 习题2-1用图
i1
i2
i3
i1
i2
i3

答：（a）
设中间变量i1,i2,i3如图所示，则根据基尔霍夫电压回路、节点电流定律，得
-------------------（1）
--------------------（2）
-------------------（3）
--------------------（4）
将（3）整理得： ---------------------（5）
将（5）带入到（2），得
---------------------（6）
即 ---------------------（7）
将（5）、（7）带入到（4）及（6）带入到（1），整理得

即

设，，，则

（b）
设中间变量i1,i2,i3如图所示，则根据基尔霍夫电压回路、节点电流定律，得
-------------------（1）
--------------------（2）
-------------------（3）
--------------------（4）
将（3）变形得： ---------------------（5）
将（5）带入到（2），得
---------------------（6）
即 ---------------------（7）
将（5）、（7）带入到（4）及（6）带入到（1），整理得

------（8）
对（8）两边求导，整理得

设，，，则有

或者为

2-2 、设机械系统如图2-41所示，图中、为输入、输出角位移（角度），试列写该机械系统的微分方程。
[提示]扭力矩M与角位移、弹性系数成正比。风阻M与角速度、阻尼系数成正比。

图2-41 习题2-2用图

解：根据牛顿第二定律：（对直线运动，而旋转运动）
-------------------（1）
-------------------（2）
在零初始条件下，对式（1）、（2）两试进行拉氏变换，得：
-------（3）
-------（4）
由式（3）、（4）得：
-------------------（5）
-------------------（6）
将式（6）除以式（4）得：
-------------------（7）
即：
-------（8）
即：

即：

2-3 、在如图2-42所示系统中，用一台交流电动机拖动一台直流发电机，设交流电动机的角速度为系统的输入，电阻R两端的电压为输出，直流电机的内阻、电感为，试列写该机械系统的微分方程。

R
C

+
-
图2-42 习题2-3用图

解：直流发电机输出电压，其中为由直流发电机决定的电势常数，而为直流发电机的定子励磁磁通。设各支路电流如图所示，根据基尔霍夫电压回路定律，有
-------------------（1）
根据基尔霍夫电流定律，有
-------------------（2）
另外根据元件特性，有
------------------（3）
由（3）式得
------------------（4）
------------------（5）
将（4）、（5）式带入到（2）式，得
------------------（6）
将（6）式带入（1）式，整理得

图2-43 习题2-4用图

m

2-4、图2-43为加速度测试仪，箱体内部由质量块m、弹簧k、阻尼器f、指针、刻度表构成，系统的输入为箱体垂直方向的加速度，系统的输出为质量块m上的指针相对箱体刻度表的垂直方向位移，试建立该系统的微分方程，并说明在一定条件下位移与加速度成正比。
解：绝对位移与相对位移的关系为
-------（1）
箱体内部质量块m的受力关系为
-------（2）
将（1）式变形带入到式（2）得
-------（3）
考虑到为系统的输入，整理（3）式，得
-------（4）
当质量块m很小、阻尼系数f也很小时，式（4）近似为
，这说明加速度越大，相对位移向下也越大。
2-5、试画出习题2、3系统的动态结构图。
解：
（1）习题2
根据牛顿第二定律：（对直线运动，而旋转运动）
-------------------（1）
-------------------（2）
在零初始条件下，对式（1）、（2）两试进行拉氏变换，得：
-------（3）
-------（4）
由式（3）、（4）得：
-------------------（5）
-------------------（6）
系统的动态结构图为

（2）习题3
设各支路电流如图所示，建立如下各部分的微分方程
-------------------（1）
-------------------（2）
------------------（3）
对上述各式在零初始条件下，进行拉氏变换，得
-------------------（4）
-------------------（5）
-------------------（6）
由式（4）得： ---------下图中的虚线框（7）
由式（5）得： --------下图中的虚线框（8）
由式（6）得： --------下图中的虚线框（9）
--------下图中的虚线框（10）
故系统的动态结构图为：

（7）
（8）
（9）
（10）

2-6、设某系统用如下微分方程组描述，试画出系统的动态结构图。

解：对已知的微分方程组在零初始条件下进行拉氏变换，得

故系统的动态结构图为：

2-7 、设某系统用如下微分方程组描述，试画出系统的动态结构图。

解：对已知的微分方程组在零初始条件下进行拉氏变换，得

故系统的动态结构图为：

2-8、画出如图2-44所示系统的动态结构图，并比较（a）与（b）的结果为什么不同。
(a)
C1
R2
R1
u1
C2
u2
图2-44 习题2-8图
(b)
C1
R2
R1
u1
C2
u2

K=1
隔离放大器

A

解：
（a）设经过R1、 R2 、C1的电流为i1、i2、i3，A点的电压为UA，则可直接运用元件的欧姆定律建立关系：

这样（a）图对应的动态结构图如下：

（b）设经过R1、C1及R2、C2的电流为i1、i2，隔离放大器的输入电压为U01、输出电压为U02，则可直接运用元件的欧姆定律建立关系：

这样（b）图对应的动态结构图如下：

比较（a）与（b）的结果是不同，因为（a）考虑了负载效应，（b）图由于隔离放大器的作用，对应的动态结构图中前后两个R、C网络已经不存在电流反馈了。
2-9、利用等效变换化简习题2-6、2-7、2-8（a）系统的动态结构图，求系统的传递函数。
1、将习题2-6系统的动态结构图化简为：

2、对习题2-7系统的动态结构图，求系统的传递函数
（1）求从到的传递函数，另，将习题2-7系统的动态结构图化简为：

即

（2）求从到的传递函数，另，将习题2-7系统的动态结构图化简为：（去掉了为零的信号，同时把原来的负反馈极性沿信号顺沿到下一个比较点）

即

（3）求从到的传递函数，另，将习题2-7化简为：

即

3、对习题2-8（a）系统的动态结构图，求系统的传递函数

对中间闭合回路的反馈进行等效如下：（移动比较点，使内部呈两个单位反馈）

这样，两个虚线框等效为、，然后进行串联，再被与的串联的结果负反馈，故：

2-10、利用梅逊增益公式求习题2-6、2-7、2-8（a）系统的传递函数。
解：
（1）由习题2-6的系统的动态结构图

从到有两条前向通道，，；有两个闭合回路，。无两个及以上不接触回路，故

（2）由习题2-7的系统的动态结构图，求系统的传递函数

l 从到有两条前向通道，，；有两个闭合回路，。无两个及以上不接触回路，故

l 从到有一条前向通道，；有两个闭合回路，。无两个及以上不接触回路，特征多项式，故从到的传递函数

l 从到有一条前向通道，；有两个闭合回路，。无两个及以上不接触回路，特征多项式，故从到的传递函数

（3）由习题2-8（a）的系统的动态结构图，求系统的传递函数

从到有一条前向通道，；有三个闭合回路、、。有两个互不接触回路，特征多项式，故从到的传递函数

2-11、利用梅逊增益公式图2-45的传递函数、、。
图2-45习题2-11 图
(a)

(b)
(c)
(d)

解：
1、对于(a)图：
系统有两个闭合回路，。无两个及以上不接触回路。
（1）求传递函数
从到有一条前向通道，去掉该通道无回路：；，故

（2）求传递函数
从到有一条前向通道，去掉该通道无回路：，故

（3）求传递函数
从到有一条前向通道，去掉该通道仍有一个回路：，故

2、对于(b)图：
系统有一个闭合回路。无两个及以上不接触回路，特征式。
（1）求传递函数
从到有两条前向通道，去掉通道无回路：，，去掉通道无回路：，故

（2）求传递函数
从到有一条前向通道，去掉该通道无回路：，故

（3）求传递函数
从到有一条前向通道，去掉该通道没有回路：，故

3、对于(c)图：
系统有四个闭合回路、、、。无两个及以上不接触回路，特征式
（1）求传递函数
从到有两条前向通道，去掉通道无回路：，，去掉通道无回路：，故

（2）求传递函数
从到有一条前向通道，去掉该通道无回路：，故

（3）求传递函数
从到有一条前向通道，去掉该通道没有回路：，故

4、对于(d)图：
系统有三个闭合回路、、。无两个及以上不接触回路，特征式。
（1）求传递函数
从到有三条前向通道，去掉通道无回路：，，去掉通道无回路：，，去掉通道无回路：，故

（2）求传递函数
从到有一条前向通道，去掉该通道无回路：，故

（3）求传递函数
从到有两条前向通道，去掉通道仍有一个回路：，，去掉通道没有回路：，故