浅谈存在性问题第44期.doc

浅谈存在性问题
山东省庆云县渤海中学（253700） 孟德俊
在数学的探索型问题中有一类存在性问题，它常常提出这样的问题：某个数学对象是否存在，或某种特性是否成立？若存在，请求出这个对象或论证该特性;若不存在，请说明理由。
解这类问题的一般方法是：先假设所求的对象存在或特性成立，以此假设为依据进行求解或推理论证，若能对该对象求出结果，或在推理论证过程中没出现矛盾，得出了肯定的结论，则该假设成立，存在此数学对象或特性；若在求解或推理过程中得出矛盾，则假设不成立，即不存在该数学对象或特性。下面以两道中考题对存在性问题加以阐释。
例1 已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
y
x
O
（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
y
x
O
B
A
D
C
(x=m)
(F2)F1
E1 (E2)
分析：（1）（2）略；（3）假设存在该点，使得四边形为平行四边形。然后利用这一假设充当已知条件，运用平行四边形的性质对边平行且相等进行求解。
解：（1）
（2）求得；．
（3）假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则，点的横坐标为。
Ⅰ、当点的坐标为时，点的坐标为，
∵点在抛物线的图象上，
∴，
∴（舍去），
∴，
∴S□ABEF =
Ⅱ、当点的坐标为时，点的坐标为，
∵点在抛物线的图象上，
∴，
∴（舍去），，
∴，
∴S□ABEF =1×6=6
例2 已知中，为边的中点，
绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、
当绕点旋转到于时（如图1），易证
A
E
C
F
B
D
图1
图3
A
D
F
E
C
B
A
D
B
C
E
图2
F
当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由，并写出你的猜想。

图2
A
D
B
C
E
M
N
F
26．解：（1）先假设图2成立。
过点作
则
再证有

由信息可知

（2）假设图3成立。
连接CD。
∵AC=BC,∠ACB=900,D为AB的中点
∴
由,得

故上述假设不成立，即不存在
的关系应是：
评注：解决类问题时，因结论不明确，所以不要一概而论，要结合已知条件做到具体问题具体分析，得出相应的结论。
由以上两例可以看出，由于问题的结论不明确，所以在求解时常常要假设问题的某个数学对象或特性存在．再经过分析、归纳、演算、推理．得出了肯定的结论，则表明原来假设问题存在．并且经过分析、归纳、演算、推理的过程就是解题的全过程：若在求解或推理过程中得出矛盾，则表明假设问题的数学对象或特性不存在．且不存在理由也就是分析、归纳、演算、推理的过程．