2023-2024学年广东省广州市海珠区中山大学附中七年级（下）期中数学试卷（含答案）.docx

2023-2024 学年广东省广州市海珠区中山大学附中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．请将正确选项前的字母代号涂在答题卡上．

第 22 页（共 22 页）

1．（3 分）下列实数 p , - 22 , 9, -
3 7

7, 3.14 中，无理数有( )

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．（3 分）如图，直线 a ， b 被直线c 所截，与Ð1 是内错角的是( )

A. Ð2
B. Ð3
C. Ð4
D. Ð5

3．（3 分）下列说法不正确的是( )

A．1 的平方根是±1


B． -1 的立方根是 1

16
C． 的平方根是±2
D．3 是 9 的一个平方根

4．（3 分）已知第二象限内点 P 到 x 轴的距离为 2，到 y 轴的距离为 3，那么点 P 的坐标是( )

A． (-2, 3)
B． (-3, 2)
C． (2, -3)
D． (3, -2)

5．（3 分）我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，
每人出 1 钱，会多出 4 钱．设人数为 x 人，玉石价格为 y 钱，则可列关于 x ， y 的方程为( )
2

A. y = 1 x + 4
2
B. y = 1 x - 4
2
C. y = x - 4
D. 2 y = x + 4

6．（3 分）下列结论中，错误的是( ) A．同位角相等，两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．同一平面内的两条直线不平行就相交 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行

í = -y 2
7．（3 分）若ìx = 3
î
是关于 x 、 y 的方程 x - my = 13 的一个解，则 m 的值是( )

A．5 B． -5 C．8 D． -8

8．（3 分）如图， AB / / EF ，C 点在 EF 上， ÐEAC = ÐECA ， BC 平分ÐDCF ，且 AC ^ BC ．下列结论：
① AC 平分ÐDCE ；② AE / /CD ；③ Ð1 + ÐB = 90° ；④ ÐBDC = 2Ð1 ． 其中结论正确的个数有( )

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
9．（3 分）已知数 a ，b ，c 的大小关系如图，下列说法：① ab + ac > 0 ；② -a - b + c < 0 ；③ a

+ b + c


= -1 ；

| a | | b | | c |
④| a - b | + | c + b | - | a - c |= -2b ；⑤若 x 为数轴上任意一点，则| x - b | + | x - a | 的最小值为 a - b ．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3 分）如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到(0 ，1) ® (1，0) ® (1 ，1) ® (1，2) ® (2 ，
1) ® (3 ， 0) ®¼，则 2024 分钟时粒子所在点的横坐标为( )

A．890 B．956 C．990 D．1024

二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分

11．（3 分）9 的平方根是 ．

12．（3 分）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b 上，且 a / /b ， Ð1 = 55° ，则Ð2 的度数为 ．

13．（3 分）如图，在平面直角坐标系中， DABC 的顶点 A ， C 的坐标分别为(0, 4) ， (3, 2) ，点 B 在 x 轴正半轴上．将DABC 沿射线 AB 方向平移，若点 A 的对应点为 A¢(1,1) ，则点C 的对应点C¢ 的坐标为 ．
14．（3 分）已知点 P 的坐标(2 - a, 3a + 6) ，且点 P 到两坐标轴的距离相等，则点 P 的坐标是 ．

15．（3 分）已知(m - 2)x|m-3| + 3y = 5 是关于 x ， y 的二元一次方程，则 m = ．

16．（3 分）如图，已知 AB / /CD ， BE 、 DE 的交点为 E ，现作如下操作：第一次操作，分别作ÐABE 和

ÐCDE 的平分线，交点为 E1 ，第二次操作，分别作ÐABE1 和ÐCDE1 的平分线，交点为 E2 ，第三次操作， 分别作ÐABE2 和ÐCDE2 的平分线，交点为 E3 ， 第 n(n…2) 次操作，分别作ÐABEn-1 和ÐCDEn-1 的平分线， 交点为 En ，若ÐEn = a 度，则ÐBED = 度．

三、解答题：本大题共 9 小题，共 72 分

(-2)2
3 8
3 - 1
27
49
17．（4 分）计算： - + + ．

18．（5 分）如图，已知ÐE = ÐF ， ÐA = ÐD ．求证： Ð1 = Ð2 ．

ì3x - 2 y = 7
í
19．（5 分）解方程组： ï x - 2 2 y - 1 ．
- = 1
ï 3 2

20．（8 分）如图，已知Ð1 = ÐBDC ， Ð2 + Ð3 = 180° ．
（1） AD 与 EC 平行吗？请说明理由；

（2） 若 DA 平分ÐBDC ， DA ^ FA 于点 A ， Ð1 = 75° ，求ÐFAB 的度数．

3b + 12
21．（8 分）已知| 2a + b | 与
互为相反数．

（1） 求2a - 3b 的平方根；
（2） 解关于 x 的方程 ax2 + 4b - 2 = 0 ．

22．（8 分）列二元一次方程组解应用题：

里程数（公里）
时间（分钟）
车费（元)
小明
8
8
12
小刚
10
12
16

随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按 x 元/ 公里计算，耗时费按 y 元/ 分钟计算（总费用不足 9 元按 9 元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表：

（1） 求出 x ， y 的值；

（2） 周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了 15 公里，用时 12 分钟，那么小华的打车总费用为多少元？

23．（10 分）如图所示，在平面直角坐标系中 xOy 中，点 A(-4,1) ，DABC 的三个顶点都在格点上．将DABC
在坐标系中平移，使得点 A 平移至图中点 D(1, -1) 的位置，点 B 对应点 E ，点C 对应点 F ．
（1） 点 B 的坐标为 ，点 F 的坐标为 ；

（2） 在图中作出DDEF ，并连接 AD ；
（3） 求在线段 AB 平移到线段 DE 的过程中扫过的面积．

a + 1
24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 A(a, 0) ， B(b, 0) ，其中 a ， b 满足
+ (b - 3)2 = 0 ．

（1）填空： a = ， b = ；
（2） 若在第三象限内有一点 M (-2, m) ，用含 m 的式子表示DABM 的面积；
（3） 在（2）条件下，线段 BM 与 y 轴相交于C(0, - 9 ) ，当 m = - 3 时，点 P 是 y 轴上的动点，当满足DPBM
10 2
的面积是DABM 的面积的 2 倍时，求点 P 的坐标．

25．（12 分）已知，如图， AB / /CD ，直线 MN 交 AB 于点 M ，交CD 于点 N ，点 E 是线段 MN 上一点，
P ， Q 分别在射线 MB ， ND 上，连接 PE ， EQ ， PF 平分ÐMPE ， QF 平分ÐDQE ．
（1） 如图 1，当 PE ^ QE 时，直接写出ÐPFQ 的度数；
（2） 如图 2，求ÐPEQ 与ÐPFQ 之间的数量关系，并说明理由；
（3） 如图 3，在（1）问的条件下，若ÐAPE = 46° ， ÐMND = 68° ，过点 P 作 PH ^ QF 交QF 的延长线于点 H ，将 MN 绕点 N 顺时针旋转，速度为每秒4° ，直线 MN 旋转后的对应直线为 M ¢N ，同时将DFPH 绕点 P 逆时针旋转，速度为每秒11° ， DFPH 旋转后的对应三角形为△ F¢PH ¢ ，当 MN 首次与CD 重合时， 整个运动停止．在此运动过程中，经过t(t…0) 秒后， M ¢N 恰好平行于△ F¢PH ¢ 的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t 的值．

2023-2024 学年广东省广州市海珠区中山大学附中七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．请将正确选项前的字母代号涂在答题卡上．

1．（3 分）下列实数 p , - 22 , 9, -
3 7

7, 3.14 中，无理数有( )

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

9
【解答】解：
= 3 ，

下列实数 p , - 22 , 9, -
3 7
故选： B ．
7, 3.14 中，无理数有 p , - ，共 2 个，
7
3

2．（3 分）如图，直线 a ， b 被直线c 所截，与Ð1 是内错角的是( )

A. Ð2
B. Ð3
C. Ð4
D. Ð5

【解答】解：由图可知，与Ð1 互为内错角的是Ð5 ．

故选： D ．

3．（3 分）下列说法不正确的是(

A．1 的平方根是±1

)

B． -1 的立方根是 1
C． 16 的平方根是±2

D．3 是 9 的一个平方根

【解答】解： A 、1 的平方根是±1 ，原说法正确，不符合题意；
B 、 -1 的立方根是-1 ，原说法错误，符合题意；

16
C 、 = 4 的平方根是±2 ，原说法正确，不符合题意；

D 、3 是 9 的一个平方根，原说法正确，不符合题意； 故选： B ．

4．（3 分）已知第二象限内点 P 到 x 轴的距离为 2，到 y 轴的距离为 3，那么点 P 的坐标是( )

A． (-2, 3)
B． (-3, 2)
C． (2, -3)
D． (3, -2)

【解答】解：Q点 P 在第二象限内， P 到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 3，
\点 P 的横坐标是-3 ，纵坐标是 2，
\点 P(-3, 2) ． 故选： B ．
5．（3 分）我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，
每人出 1 钱，会多出 4 钱．设人数为 x 人，玉石价格为 y 钱，则可列关于 x ， y 的方程为( )
2

A. y = 1 x + 4
2
B. y = 1 x - 4
2
C. y = x - 4
D. 2 y = x + 4

【解答】解：由题意可得， y = 1 x - 4 ，
2
故选： B ．
6．（3 分）下列结论中，错误的是( ) A．同位角相等，两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．同一平面内的两条直线不平行就相交 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【解答】解： A 、同位角相等，两直线平行，正确，不符合题意， B 、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，不符合题意， C 、同一平面内的两条直线不平行就相交，正确，不符合题意，
D 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，符合题意，

故选： D ．

í = -y 2
7．（3 分）若ìx = 3
î


是关于 x 、 y 的方程 x - my = 13 的一个解，则 m 的值是( )

A．5 B． -5 C．8 D． -8

í = -y 2
【解答】解：Q ìx = 3
î

是关于 x 、 y 的方程 x - my = 13 的一个解，

\3 + 2m = 13 ， 解得： m = 5 ， 故选 A ．

8．（3 分）如图， AB / / EF ，C 点在 EF 上， ÐEAC = ÐECA ， BC 平分ÐDCF ，且 AC ^ BC ．下列结论：
① AC 平分ÐDCE ；② AE / /CD ；③ Ð1 + ÐB = 90° ；④ ÐBDC = 2Ð1 ． 其中结论正确的个数有( )

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【解答】解：Q AB / / EF ，
\ÐECA = ÐBAC ， ÐBCF = ÐB ，
Q AC ^ BC ，
\ÐACB = 90° ，
\Ð1 + ÐBCD = 90° ， ÐECA + ÐBCF = 90° ，
Q BC 平分ÐDCF ，
\ÐBCD = ÐBCF ，
\Ð1 = ÐECA ，
\ AC 平分ÐDCE ，①正确；
QÐEAC = ÐECA ，
\ÐEAC = Ð1 ，
\ AE / /CD ，②正确；
QÐBCF = ÐB ， ÐBCD = ÐBCF ，
\ÐB = ÐBCD ，
\Ð1 + ÐB = 90° ，③正确；
Q Ð1 = ÐECA = ÐBAC ， ÐBDC = ÐBAC + Ð1 ，
\ÐBDC = 2Ð1 ，④正确； 故选： D ．

9．（3 分）已知数 a ，b ，c 的大小关系如图，下列说法：① ab + ac > 0 ；② -a - b + c < 0 ；③ a
+ b + c
= -1 ；

| a | | b | | c |
④| a - b | + | c + b | - | a - c |= -2b ；⑤若 x 为数轴上任意一点，则| x - b | + | x - a | 的最小值为 a - b ．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由题意b < 0 ， c > a > 0 ， | c |>| b |>| a | ，则
① ab + ac > 0 ，故原结论正确；
② -a - b + c > 0 ，故原结论错误；

③ a + b + c

= 1 - 1 + 1 = 1，故原结论错误；

| a | | b | | c |
④| a - b | + | c + b | - | a - c |= a - b + c + b - (-a + c) = 2a ，故原结论错误；
⑤当b„x„a 时， | x - b | + | x - a | 的最小值为 a - b ，故原结论正确． 故正确结论有 2 个．
故选： B ．

10．（3 分）如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到(0 ，1) ® (1，0) ® (1 ，1) ® (1，2) ® (2 ，
1) ® (3 ， 0) ®¼，则 2024 分钟时粒子所在点的横坐标为( )

A．890 B．956 C．990 D．1024

【解答】解：由题知，
第 1 分钟时，粒子所在点的坐标为(0,1) ；

第 2 分钟时，粒子所在点的坐标为(1, 0) ；

第 3 分钟时，粒子所在点的坐标为(1,1) ；

第 4 分钟时，粒子所在点的坐标为(1, 2) ；

第 5 分钟时，粒子所在点的坐标为(2,1) ；

第 6 分钟时，粒子所在点的坐标为(3, 0) ；

第 7 分钟时，粒子所在点的坐标为(3,1) ；

第 8 分钟时，粒子所在点的坐标为(3, 2) ；

第 9 分钟时，粒子所在点的坐标为(3, 3) ；

第 10 分钟时，粒子所在点的坐标为(4, 2) ；

第 11 分钟时，粒子所在点的坐标为(5,1) ；

第 12 分钟时，粒子所在点的坐标为(6, 0) ；

，
由此可见，第 n(n + 1) 分钟时，粒子所在点的坐标可表示为( n(n + 1) , 0) ，且此点上方有(n + 1) 个点，
2
当 n = 44 时，
n(n + 1) = 1980 ， n(n + 1) = 990 ，
2
即第 1980 分钟时，粒子所在点的坐标为(990, 0) ；

因为2024 - 1980 = 44 ，且点(990, 0) 上方有 45 个点， 所以第 2024 分钟时，粒子所在点的横坐标坐标为 990． 故选： C ．
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分

11．（3 分）9 的平方根是 ±3 ．

9
【解答】解：9 的平方根是± = ±3 ． 故答案为： ±3 ．
12．（3 分）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b 上，且 a / /b ， Ð1 = 55° ，则Ð2 的度数为 35° ．

【解答】解：Q a / /b ，
\Ð3 = Ð1 = 55° ，
\Ð2 = 180° - 90° - 55° = 35° ． 故答案为： 35° ．

13．（3 分）如图，在平面直角坐标系中， DABC 的顶点 A ， C 的坐标分别为(0, 4) ， (3, 2) ，点 B 在 x 轴正 半轴上．将 DABC 沿射线 AB 方向平移， 若点 A 的对应点为 A¢(1,1) ，则点 C 的对应点 C¢ 的坐标为(4, -1) ．
【解答】解：Q点 A(0, 4) 的对应点为 A¢(1,1) ，
\平移规律为向右平移 1 个单位长度，先下平移 3 个单位长度，
\点C 的对应点C¢ 的坐标为(3 + 1, 2 - 3) ，即(4, -1) ． 故答案填： (4, -1) ．
14．（3 分）已知点 P 的坐标(2 - a, 3a + 6) ，且点 P 到两坐标轴的距离相等，则点 P 的坐标是 (3, 3) 或
(6, -6) ．

【解答】解：Q点 P 到两坐标轴的距离相等就是横纵坐标相等或互为相反数，
\分以下两种情考虑：
①横纵坐标相等时，即当 2 - a = 3a + 6 时，解得 a = -1 ，
\点 P 的坐标是(3, 3) ；
②横纵坐标互为相反数时，即当(2 - a) + (3a + 6) = 0 时，解得 a = -4 ，
\点 P 的坐标是(6, -6) ． 故答案为(3, 3) 或(6, -6) ．
15．（3 分）已知(m - 2)x|m-3| + 3y = 5 是关于 x ， y 的二元一次方程，则 m = 4 ．

【解答】解：根据题意得： m - 2 ¹ 0 且| m - 3 |= 1 ，
\ m = 4 ，
故答案为：4．

16．（3 分）如图，已知 AB / /CD ， BE 、 DE 的交点为 E ，现作如下操作：第一次操作，分别作ÐABE 和

n n
ÐCDE 的平分线，交点为 E1 ，第二次操作，分别作ÐABE1 和ÐCDE1 的平分线，交点为 E2 ，第三次操作， 分别作ÐABE2 和ÐCDE2 的平分线，交点为 E3 ， 第 n(n…2) 次操作，分别作ÐABEn-1 和ÐCDEn-1 的平分线， 交点为 E ，若ÐE = a 度，则ÐBED = 2na 度．

【解答】解：如图，过 E 作 EF / / AB ，

Q AB / /CD ，
\ AB / / EF / /CD ，
\ÐABE = Ð1 ， ÐCDE = Ð2 ，
QÐBED = Ð1 + Ð2 ，
\ÐBED = ÐABE + ÐCDE ；

QÐABE 和ÐCDE 的平分线交点为 E1

\ÐDE B = ÐABE + ÐCDE
= 1 ÐABE + 1 ÐCDE = 1 ÐBED ．

1 1 1
2 2 2

QÐABE1 和ÐDCE1 的平分线交点为 E2 ，
\ÐBE D = ÐABE + ÐCDE = 1 ÐABE + 1 ÐCDE = 1 ÐDE B = 1 ÐBED ；

2 2 2 2 1 2 1 2 1 4

QÐABE2 和ÐCDE2 的平分线，交点为 E3 ，
\ÐBE D = ÐABE + ÐCDE = 1 ÐABE + 1 ÐCDE = 1 ÐDE B = 1 ÐBED ；

3 3 3 2 2 2 2 2 2 8

以此类推， ÐEn
= 1 ÐBED ．
2n

\当ÐEn = a 度时， ÐBED 等于(2na ) 度．故答案为： 2na ．

三、解答题：本大题共 9 小题，共 72 分

17．（4 分）计算：
- + 3 - + ．
(-2)2
3 8
49
1
27

【解答】解：原式= 2 - 2 - 1 + 7 = 20 ．
3 3
18．（5 分）如图，已知ÐE = ÐF ， ÐA = ÐD ．求证： Ð1 = Ð2 ．

【解答】证明：QÐE = ÐF ，
\ AE / / DF ，
\ÐA = ÐABF ，
QÐA = ÐD ，
\ÐD = ÐABF ，
\ AB / /CD ，
\Ð1 = Ð2 ．
ì3x - 2 y = 7
í
19．（5 分）解方程组： ï x - 2 2 y - 1 ．
- = 1
ï 3 2
ì3x - 2 y = 7①
【解答】解：
ï
í x - 2 - 2 y - 1 = 1② ，
ï 3 2
由②得： 2x - 6 y = 7 ③，
①´3 得： 9x - 6 y = 21 ④，
④ - ③得： 7x = 14 ， 解得： x = 2 ，
把 x = 2 代入①得： 6 - 2 y = 7 ，
解得： y = - 1 ，
2
ìx = 2
í 1
故原方程组的解是： ï ．
y = -
ï 2

20．（8 分）如图，已知Ð1 = ÐBDC ， Ð2 + Ð3 = 180° ．
（1） AD 与 EC 平行吗？请说明理由；
（2） 若 DA 平分ÐBDC ， DA ^ FA 于点 A ， Ð1 = 75° ，求ÐFAB 的度数．

【解答】解：（1） AD / /CE ，理由如下：
Q Ð1 = ÐBDC ，
\ AB / /CD ，
\Ð2 = ÐADC ，
QÐ2 + Ð3 = 180° ，
\ÐADC + Ð3 = 180° ，
\ AD / /CE ；
（2）Q DA 平分ÐBDC ， Ð1 = ÐBDC = 75° ，
\ ÐADC = 1 ÐBDC = 37.5° ，
2
Q AB / /CD ，
\Ð2 = ÐADC = 37.5° ，
Q DA ^ FA ，
\ÐDAF = 90° ，
\ÐBAF = ÐDAF - Ð2 = 52.5° ．

3b + 12
21．（8 分）已知| 2a + b | 与
互为相反数．

（1） 求2a - 3b 的平方根；
（2） 解关于 x 的方程 ax2 + 4b - 2 = 0 ．
【解答】解：由题意，得2a + b = 0 ， 3b + 12 = 0 ，解得b = -4 ， a = 2 ．
（1）Q 2a - 3b = 2 ´ 2 - 3 ´ (-4) = 16 ，
\ 2a - 3b 的平方根为±4 ．

（2）把b = -4 ， a = 2 代入方程，得 2x2 + 4 ´ (-4) - 2 = 0 ，即 x2 = 9 ，解得 x = ±3 ．

22．（8 分）列二元一次方程组解应用题：

里程数（公里）
时间（分钟）
车费（元)
小明
8
8
12
小刚
10
12
16

随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按 x 元/ 公里计算，耗时费按 y 元/ 分钟计算（总费用不足 9 元按 9 元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表：

（1） 求出 x ， y 的值；

（2） 周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了 15 公里，用时 12 分钟，那么小华的打车总费用为多少元？
【解答】解：（1）根据题意得：

ì8x + 8 y = 12
+ =
í
î10x 12 y 16
ìx = 1
í 1
，解得： ï ；
y =

ï 2
（2）小华的里程数是15km ，时间为12min ． 则总费用是：15x + 12 y = 15 + 6 = 21（元) ． 答：总费用是 21 元．
23．（10 分）如图所示，在平面直角坐标系中 xOy 中，点 A(-4,1) ，DABC 的三个顶点都在格点上．将DABC
在坐标系中平移，使得点 A 平移至图中点 D(1, -1) 的位置，点 B 对应点 E ，点C 对应点 F ．
（1） 点 B 的坐标为 (-2, 4) ，点 F 的坐标为 ；
（2） 在图中作出DDEF ，并连接 AD ；
（3） 求在线段 AB 平移到线段 DE 的过程中扫过的面积．

【解答】解：（1）点 B 的坐标为(-2, 4) ；
Q A(-4,1) ， D(1, -1) ， C (0, 3)
\由平移得点 F 的坐标为： (5,1) ， 故答案为： (-2, 4) ； (5,1) ；

（2） 如图， DDEF 和 AD 即为所作：

（3） 线段 AB 沿 AD 的方向平移到 DE 的过程中扫过的图形为平行四边形 ADEB ，
S = 7 ´ 5 - 1 ´ 3 ´ 2 - 1 ´ 5 ´ 2 - 1 ´ 3 ´ 2 - 1 ´ 5 ´ 2 = 35 - 16 = 19 ．

平行四边形ADEB
2 2 2 2

a + 1
24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 A(a, 0) ， B(b, 0) ，其中 a ， b 满足
+ (b - 3)2 = 0 ．

（1）填空： a = -1 ， b = ；
（2） 若在第三象限内有一点 M (-2, m) ，用含 m 的式子表示DABM 的面积；
（3） 在（2）条件下，线段 BM 与 y 轴相交于C(0, - 9 ) ，当 m = - 3 时，点 P 是 y 轴上的动点，当满足DPBM
10 2
的面积是DABM 的面积的 2 倍时，求点 P 的坐标．

a + 1
【解答】解：（1）Q a 、b 满足
+ (b - 3)2 = 0 ，

\ a + 1 = 0 ，且b - 3 = 0 ，
\ a = -1 ， b = 3 ， 故答案为： -1 ，3；
（2）Q a = -1 ， b = 3 ，
\ A(-1, 0) ， B(3, 0) ，
\ AB = 4 ，
Q M (-2, m) ，且 M 在第三象限，
\ m < 0 ，
\DABM 的面积= 1 ´ 4 ´ (-m) = -2m ；
2

（3）当 m = - 3 时，
2
则 M (-2, - 3) ， S


= -2m = -2 ´ (- 3) = 3 ，

2 DABM 2
QDPBM 的面积= DABM 的面积的 2 倍= 6 ，
QDPBM 的面积= DMPC 的面积+DBPC 的面积= 1 PC ´ 2 + 1 PC ´ 3 = 6 ，
2 2
解得： PC = 12 ，
5
QC(0, - 9 ) ，
10
\OC = 9 ，
10
当点 P 在点C 的下方时， P(0, - 12 - 9 ) ，即 P(0, - 33) ；
5 10 10
P(0, )
当点 P 在点C 的上方时， P(0, 12 - 9 ) ，即 3 ；
5 10 2
(0, )
综上所述，点 P 的坐标为(0, - 33) 或 3 ．
10 2

25．（12 分）已知，如图， AB / /CD ，直线 MN 交 AB 于点 M ，交CD 于点 N ，点 E 是线段 MN 上一点，
P ， Q 分别在射线 MB ， ND 上，连接 PE ， EQ ， PF 平分ÐMPE ， QF 平分ÐDQE ．

（1） 如图 1，当 PE ^ QE 时，直接写出ÐPFQ 的度数；
（2） 如图 2，求ÐPEQ 与ÐPFQ 之间的数量关系，并说明理由；
（3） 如图 3，在（1）问的条件下，若ÐAPE = 46° ， ÐMND = 68° ，过点 P 作 PH ^ QF 交QF 的延长线于点 H ，将 MN 绕点 N 顺时针旋转，速度为每秒4° ，直线 MN 旋转后的对应直线为 M ¢N ，同时将DFPH 绕点 P 逆时针旋转，速度为每秒11° ， DFPH 旋转后的对应三角形为△ F¢PH ¢ ，当 MN 首次与CD 重合时， 整个运动停止．在此运动过程中，经过t(t…0) 秒后， M ¢N 恰好平行于△ F¢PH ¢ 的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t 的值．
【解答】解：（1）延长 PE 交CD 于G ，设 PE ， FQ 交于点 H ，如图：

设ÐAPE = 2a ，则ÐFPH = 1 ÐAPE = a ，
2
Q AB / /CD ，
\ÐPGQ = ÐAPE = 2a ，
Q PE ^ QE ，
\ÐQEH = QEG = 90° ，
\ÐEQD = ÐQEG + ÐPGQ = 90° + 2a ，
\ÐEQH = 1 ÐEQD = 45° + a
2
在DEQH 和DPFH 中，
QÐHEQ + ÐHQE + ÐEHQ = 180° ， ÐFPH + ÐFHP + ÐPFH = 180° ， ÐPHF = ÐEHQ ，
\ÐHEQ + ÐHQE = ÐFPH + ÐPFH ， 即： 90° + 45° + a = a + ÐPFH ，
\ÐPFH = 135° ；

（2） 2ÐPFQ - ÐPEQ = 180° ，
理由如下：延长 PE 交CD 于G ，设 PE ， FQ 交于点 H ，如图：

设ÐAPE = 2a ，则ÐFPH = 1 ÐAPE = a ，
2
Q AB / /CD ，
\ÐPGQ = ÐAPE = 2a ，
QÐGEQ = 180° - ÐPEQ ，
\ÐEQD = ÐQEG + ÐPGQ = 180° - ÐPEQ + 2a ，

\ÐHQE = 1 ÐEQD = 90° + a - 1 ÐPEQ ，
2 2
在DEQH 和DPFH 中，
QÐPEQ + ÐHQE + ÐEHQ = 180° ， ÐFPH + ÐFHP + ÐPFH = 180° ， ÐPHF = ÐEHQ ，
\ÐPEQ + ÐHQE = ÐFPH + ÐPFH ，
即： ÐPEQ + 90° + a - 1 ÐPEQ = a + ÐPFQ ，
2
\ 2ÐPFQ - ÐPEQ = 180° ；

（3）QÐMND = 68° ，

\tmax
= 68 = 17 ，
4

\ÐMND = 68° - 4t ，
QÐAPE = 46° ， PF 是ÐAPE 的平分线，
\ÐAPF = 23° ，
\ÐBPF = 180° - 23° = 157° ，
ì157° - 11t, 0„t < 157

í
\转动过程中， ÐBPF = ï
ï
ï11t - 157°,
î
由（1）知， ÐQFP = 135° ，
\ÐHFP = 45° ，
Q PH ^ FH ，
\ÐPHF = 45° ，
\ÐHPM = 45° - 23° = 22° ，
\ÐHPB = 180° - 22° = 158° ，

157

11
11 ，
„t„17

í202° - 11t, 2„t„17
\在转动过程中， ÐHPB = ì158° + 11t, 0„t < 2 ，
î
设QH 所在直线与射线 PB 的夹角为a ，
\a = 90° - ÐHPA = 68° ，
ì68° + 11t, 0„t < 112

í
\在转动过程中， a = ï
ï
ï292° - 11t,
î

112

11
11 ，
„t„17

①当 MN / / PF 时，
(i) 当0„t < 157 时，此时， F 在 AB 下方，
11
\ÐMND + ÐBPF = 180° ，
即， 68° - 4t + 157° - 11t = 180° ， 解得： t = 3 ，
(ii) 当157 „t„17 时，此时， F 在 AB 上方，
11
\ÐMND = ÐBPF ，
即， 68° - 4t = 11t - 157° ， 解得： t = 15 ，
②当 MN / / HP 时，
(i) 当0„t < 2 时，此时， H 在 AB 上方，
\ÐMND = ÐHPB ，
即， 68° - 4t = 158° + 11t ， 解得： t = -6 ，舍去，
(ii) 当 2„t„17 时，此时， H 在 AB 下方，
\ÐMND + ÐHPB = 180° ，
即， 68° - 4t + 202° - 11t = 180° ， 解得： t = 6 ，
③当 MN / / FH 时，
(i) 当0„t < 112 时， ÐMND = a ，
11
即， 68° - 4t = 68° + 11t ， 解得： t = 0 ，
(ii) 当112 „t„17 时， ÐMND + a = 180° ，
11
即， 68° - 4t + 292° - 11t = 180° ， 解得： t = 12 ，
综上所述， t = 0 或 3 或 6 或 12 或 15．