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《圆》知识点复习
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点及圆的位置关系
1、点在圆内 点在圆内；
2、点在圆上 点在圆上；
3、点在圆外 点在圆外；
三、直线及圆的位置关系
1、直线及圆相离 无交点；
2、直线及圆相切 有一个交点；
3、直线及圆相交 有两个交点；
四、圆及圆的位置关系
外离（图1） 无交点 ；
外切（图2） 有一个交点 ；
相交（图3） 有两个交点 ；
内切（图4） 有一个交点 ；
内含（图5） 无交点 ；
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①；②；
③；④ 弧弧
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵与是弧所对的圆心角与圆周角
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径 或∵
∴ ∴是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
∴△是直角三角形或
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中，
∵四边形是内接四边形
九、切线的性质及判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
平分
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙中，∵弦、相交于点，
（2）推论：如果弦及直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙中，∵直径，
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线与割线，切线长是这点到割线及圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙中，∵是切线，是割线
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线及圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙中，∵、是割线
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交于、两点
∴垂直平分
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：中，；
（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之与 。
十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，；
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.
十五、扇形、圆柱与圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：；
（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
（2）圆柱的体积：
（2）圆锥侧面展开图
（1）=
（2）圆锥的体积：
十六、知识框图：
【典型例题】
例1. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？
分析：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示：
解：
∴点导火索的人非常安全
例2. 已知梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，⊙O的半径为4，AB＝6，CD＝2，求梯形ABCD的面积。
分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，证OF⊥AB。
此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。
解：分两种情况讨论：
（1）当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1）：
过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F
连OC、OB，则CE＝DE
∵AB∥CD，OE⊥CD
∴OF⊥AB，即EF为梯形ABCD的高
在Rt△OEC中，∵EC＝1，OC＝4
（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图（2）：
过O作OE⊥CD于E，交AB于F
以下证法同（1），略。
《圆》练习
一、填空题
1、已知⊙O1与⊙O2的半径分别为2与3，两圆相交于点A、B，且AB＝2，则O1O2＝______ ．
2、已知四边形ABCD是⊙O的外切等腰梯形，其周长为20，则梯形的中位线长为_____．
3、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点，且及BC切于点B，及AC交于D，连结BD，若BC＝－1，则AC＝______．
4、用铁皮制造一个圆柱形的油桶，上面有盖，它的高为80厘米，底面圆的直径为50厘米，那么这个油桶需要铁皮（不计接缝）      厘米2（不取近似值）．
5、已知两圆的半径分别为3与7，圆心距为5，则这两个圆的公切线有_____条．
6、如图，以AB为直径的⊙O及直线CD相切于点E，且AC⊥CD，BD⊥CD，AC＝8 cm，BD＝2 cm，则四边形ACDB的面积为______．
7、如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径长为6 cm，PO＝10 cm，
则△PDE的周长是______．图中知，CM＝R＋8，MD＝R－8，
8、一个正方形与一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形及正六边形的面积之比为_______．
9、如图，已知PA及圆相切于点A，过点P的割线及弦AC交于点B，及圆相交于点D、
E，且PA＝PB＝BC，又PD＝4，DE＝21，则AB＝______．
二、选择题
10、有4个命题：
①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；
③圆中最大的弧是过圆心的弧；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧．
其中真命题是（    ）（A）①③   （B）①③④   （C）①④   （D）①
11、如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O＝140°，则∠I为（   ）
（A）140°   （B）125°   （C）130°    （D）110°
12、如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为…………（    ）
（A）4         （B）5        （C）6        （D）7
13、如图，AB是⊙O的弦，点C是弦AB上一点，且BC︰CA＝2︰1，连结OC并延长交⊙O于D，又DC＝2厘米，OC＝3厘米，则圆心O到AB的距离为……（    ）
（A）厘米     （B）厘米     （C）2厘米     （D）3厘米
14、等边三角形的周长为18，则它的内切圆半径是……………………………………（    ）
（A）6    （B）3     （C）     （D）
15、如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA＝4厘米，PB＝3厘米，PC＝6厘米，EA切⊙O于点A，AE及CD的延长线交于点E，AE＝2厘米，则PE的长为（    ）
（A）4厘米    （B）3厘米    （C）厘米    （D）厘米
16、一个扇形的弧长为20p 厘米，面积是240p 厘米2，则扇形的圆心角是……………（    ）
（A）120°    （B）150°    （C）210°    （D）240°
17、两圆半径之比为2︰3，当两圆内切时，圆心距是4厘米，当两圆外切时，圆心距为（    ）
（A）5厘米    （B）11厘米    （C）14厘米    （D）20厘米
18、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆周角是……（    ）
（A）60°    （B）90°    （C）120°    （D）180°
19、如图，等腰直角三角形AOB的面积为S1，以点O为圆心，OA为半径的弧及以AB为直径的半圆围成的图形的面积为S2，则S1及S2的关系是………………………（    ）
（A）S1＞S2    （B）S1＜S2    （C）S1＝S2    （D）S1≥S2
三、解答题
20、如图，在□ABCD中，AB＝4，AD＝2，BD⊥AD，以BD为直径的⊙O交AB于E，交CD于F，则□ABCD被⊙O截得的阴影部分的面积为_______．
21、如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线及过C点的切线GC相交于点D，
BE及AC相交于点F，且CB＝CE，求证：（1）BE∥DG；（2）CB2－CF2＝BF·FE．
22、如图，⊙O表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，且MB︰MA＝1︰4，求工件半径的长．
23、已知：如图（1），⊙O1及⊙O2相交于A、B两点，经过A点的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D两点（C、D不及B重合），连结BD，过点C作BD的平行线交⊙O1于点E，连BE．
（1）求证：BE是⊙O2的切线；
（2）如图（2）若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其他条件不变，判断BE与⊙O2的位置关系（不要求证明）．
24、如图，已知CP为⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB切⊙O于点D，并及CP的延长线相交于点B，又BD＝2 BP．求证：（1）PC＝3 PB；（2）AC＝PC．
《圆》参考答案
一、填空题
1、当两圆在AB的两侧时，设O1O2交AB于C，则O1O2⊥AB，且AC＝BC，
∴  AC＝1．
在Rt△AO2C中，O2C＝＝＝2；
在Rt△AO1C中，O1C＝＝＝．
∴  O1O2＝2＋．
当两圆在AB的同侧时，同理可求O1O2＝2－． 【答案】2±．
2、圆外切四边形的两组对边之与相等，则上、下底之与为10，故中位线长为5．【答案】5．
3、在△ABC中，AB＝AC，则  ∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴  ∠BAC＝36°．
又  BC切⊙O于B，
∴  ∠A＝∠DBC＝36°．
∴  ∠BDC＝72°．
∴  ∠ABD＝72°－36°＝36°．
∴  AD＝BD＝BC．
易证△CBD∽△CAB，
∴  BC 2＝CD·CA．
∵  AD＝BD＝BC，
∴  CD＝AC－AD＝AC－BC．
∴  BC2＝（AC－BC）·CA．
解关于AC的方程，得AC＝BC．
∴  AC＝·（－1）＝2．【答案】2．
4、铁皮的面积即圆柱的侧面积及两底的面积的与．底面圆面积为p·502＝625p（厘米2），底面圆周长为p×50＝50p（厘米），则铁皮的面积为2×625p＋80×50p＝5250p（厘米2）．
【答案】5250p厘米2．
5、∵  7－3＜5＜7＋3，
∴  两圆相交，
∴  外公切线有2条，内公切线有0条．【答案】2．
6、设AC交⊙O于F，连结BF．
∵  AB为⊙O的直径，
∴  ∠AFB＝90°．
连结OE，则OE⊥CD，
∴  AC∥OE∥BD．
∵  点O为AB的中点，
∴  E为CD的中点．
∴  OE＝（BD＋AC）＝（8＋2）＝5（cm）．
∴  AB＝2×5＝10（cm）．
在Rt△BFA中，AF＝CA－BD＝8－2＝6（cm），AB＝10 cm，
∴  BF＝＝8（cm）．
∴  四边形ACDB的面积为
（2＋8）·8＝40（cm2）．
【答案】40 cm2．
7、连结OA，则OA⊥AP．
在Rt△POA中，PA＝＝＝8（cm）．
由切线长定理，得EA＝EC，CD＝BD，PA＝PB，
∴  △PDE的周长为
PE＋DE＋PD
＝PE＋EC＋DC＋PD，
＝PE＋EA＋PD＋DB
＝PA＋PB＝16（cm）．
【答案】16 cm．
8、设两正多边形的外接圆半径为R，则正方形面积为4×·R2＝2 R2，正六边形的面积为6×R2＝R2，所以它们的比为2 R2：R2＝4︰9．
【答案】4︰9．
9、由切割线定理，得  PA2＝PD·PE．
∴  PA＝＝10．
∴  PB＝BC＝10．
∵  PE＝PD＋DE＝25，
∴  BE＝25－10＝15．
∴  DB＝21－15＝6．
由相交弦定理，得  AB·BC＝BE·BD．
∴  AB·10＝15×6．
∴  AB＝9．
【答案】9．
二、选择题
10、长度相等的两弧不一定是等弧，故②不对；当弦是直径时，直径把圆分为两个半圆，它们是等弧，故④不对．【答案】A．
11、因点O为△ABC的外心，则∠BOC、∠A分别是所对的圆心角、圆周角，所以∠O＝2∠A，故∠A＝×140°＝70°．又因为I为△ABC的内心，所以∠I＝90°＋∠A＝90°＋×70°＝125°．
【答案】B．
12、正多边形的外角等于它的中心角，所以＝60°，故n＝6．【答案】C．
13、延长DO交⊙O于E，过点O作OF⊥AB于F，则CE＝8厘米．
由相交弦定理，得DC·CE＝AC·CB，
所以AC·2 AC＝2×8，
故AC＝2（厘米），
从而BC＝4厘米．
由垂径定理，得
AF＝FB＝（2＋4）＝3（厘米）．
所以CF＝3－2＝（厘米）．
在Rt△COF中，
          OF＝＝＝（厘米）．
【答案】C．
14、等边三角形的边长为6，则它的面积为×62＝9．又因为三角形的面积等于内切圆的半径及三角形的周长的积的一半，所以9＝r·18（r为内切圆半径）．
解此方程，得r＝．【答案】C．
15、由相交弦定理，得PA·PB＝PD·PC．
∴  4×3＝PD·6．
∴  PD＝2（厘米）．
由切割线定理，得   AE2＝ED·EC．
∴ （2）2＝ED ·（ED＋2＋6）．解此方程得
ED＝2或ED＝－10（舍去）．
∴  PE＝2＋2＝4（厘米）．
【答案】A．
16、设扇形的圆心角为n度，半径为R，则解方程组得
【答案】B．
17、设两圆半径分别为2 x、3 x厘米，则内切时有3 x－2 x＝4，所以x＝4．于是两圆半径分别为8厘米、12厘米．故外切时圆心距为20厘米．
【答案】D．
18、设圆锥的母线长为a，圆心角度数为n，底面圆的半径为r，则
解此方程组，得  n＝180．
【答案】D．
19、设OA＝a，则S1＝a2，弓形ACB的面积＝pa2－a2．
在Rt△AOB中，AB＝a，则以AB为直径的半圆面积为
·p·（）2＝p·（a）2＝pa2．则S2＝pa2－（pa2－a2）＝a2．
【答案】C．
三、简答题
20、连结OE、DE．
∵  AD⊥BD，且AB＝4，AD＝2，
∴  ∠DBA＝30°，且BD＝6．
∵  BD为直径，
∴  ∠DEB＝90°．
∴  DE＝BD·sin 30°＝6×＝3，BE＝6×＝3．
∴  S△DEB＝×3×3＝．
∵  O为BD的中点，
∴  S△BOE＝S△DEB＝．
∵  DO＝BD＝3，∠DOE＝2×30°＝60°，
∴  S阴影＝2（S△ADB－S扇形DOE－S△EOB）＝2（×2×6－p·32－）．
＝－3p．【答案】．
21、【略证】（1）∵  CG为⊙O的切线，
∴  ∠EBC＝∠GCE．
∵  CB＝CE，∴  ．
∴  ∠EBC＝∠E．∴  ∠E＝∠GCE．∴  GC∥EB．
（2）∵  ∠EBC＝∠E＝∠A，∠FCBO为公共角，
∴  △CBF∽△CAB．
∴  CB2＝CF·CA＝CF·（CF＋AF）＝CF2＋CF·AF．
由相交弦定理，得  CF·FA＝BF·FE，
∴  CB2＝CF2＋BF·FE．即  CB2－CF2＝BF·FE．
22、把OM向两方延长，分别交⊙O于C、D两点．设⊙O的半径为R．
从图中知，AB＝15 cm．
又  MB︰MA＝1︰4，
∴  MB＝×15＝3（cm），MA＝12 cm．
从图中知，CM＝R＋8，MD＝R－8，
由相交弦定理，得  AM·BM＝CM·MD．
∴  12×3＝（R＋8）（R－8）．
解此方程，得  R＝10或R＝－10（舍去）．
故工件的半径长为10 cm．
23、【证明】（1）连结AB，作⊙O2的直径BH，连结AH．
则  ∠ABH＋∠H＝90°，∠H＝∠ADB，∠EBA＝∠ECA．
∵  EC∥BD，
∴  ∠ADB＝∠ACE＝∠EBA．
∴  ∠EBA＋∠ABH＝90°．
即  ∠EBH＝90°．
∴  BE是⊙O2的切线．
（2）同理可知，BE仍是⊙O2的切线．
24、（1）∵  BD是⊙O的切线，BPC是⊙O的割线，
∴  BD2＝BP·BC．
∵  BD＝2 BP，∴  4 BD2＝BP·BC．
∴  4 BP＝BC．∵  BC＝BP＋PC，
∴  4 BP＝BP＋PC．∴  PC＝3 BP．
（2）连结DO．
∵  AB切⊙O于点D，AC切⊙O于点C，
∴  ∠ODB＝∠ACB＝90°．
∵  ∠B＝∠B，∴  △ODB∽△ACB．
∴  AC＝2 DO．∴  PC＝2 DO．∴  AC＝PC．
25、（1）【略证】连结OD．
∵  OA是半圆的直径，∴  ∠ADO＝90°．∴  AE切⊙O于点D．
（2）【略解】∵  AC、AD的长是关于x的方程x2－kx＋4＝0的两个根，且AC＝2，AC·AD＝2，
∴  AD＝4．∵  AD是⊙O的切线，ACB为割线，
∴  AD2＝AC·AB．又  AD＝2，AC＝2，∴  AB＝10．
则　BC＝8，OB＝4．∵  BE⊥AB，
∴  BE切⊙O于B．
又  AE切⊙O于点D，∴  ED＝EB．
在Rt△ABE中，设BE＝x，由勾股定理，得
（x＋2）2＝x2＋102．
解此方程，得  x＝4．
即BE的长为4．
（3）连结BD，有∠CDB＝90°．
∵  AD切⊙O于D，
∴  ∠ADC＝∠ABD，且tan ∠ADC＝tan ∠ABD＝．
在△ADC与△ABD中，∠A＝∠A，∠ADC＝∠ABD，
∴  △ADC∽△ABD．
∴  tan ∠ADC＝．
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