线性代数全集(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,课程简介,线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系,问题,.,线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式,来表达的,.,最简单的线性问题就是解线性方程组,.,行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具，,也推动了线性代数的发展,.,向量概念的引入，形成了向,量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加,以讨论,.,因此向量空间及其线性变换，以及与此相联系,的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容,.,1,它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上,既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁,琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加,强这些方面的训练。,2,第一章 行列式,第二章 矩阵及其运算,第三章 矩阵的初等变换,及线性方程组,第四章 向量组的线性相关性,基础,基本内容,用向量的观点讨论基本问题并介绍向量空间的有关内容,第五章 相似矩阵及二次型,矩阵理论,3,一、二元线性方程组与二阶行列式,用消元法解二元,(,一次,),线性方程组,:,第一章 行列式,(1),(2),(1),a,22,:,a,11,a,22,x,1,+,a,12,a,22,x,2,=,b,1,a,22,(2),a,12,:,a,12,a,21,x,1,+,a,12,a,22,x,2,=,b,2,a,12,两式相减消去,x,2,得,(,a,11,a,22,a,12,a,21,),x,1,=,b,1,a,22,b,2,a,12,;,1.1,二阶与三阶行列式,4,方程组的解为,由方程组的四个系数确定,.,5,由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）的数表,定义,即,6,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,7,8,9,10,则二元线性方程组的解为,11,例,1,解,12,二、三阶行列式,定义,记,（,6,）式称为数表（,5,）所确定的,三阶行列式,.,13,(1),沙路法,三阶行列式的计算,.,列标,行标,14,(2),对角线法则,注意,红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三,元素的乘积冠以负号,说明,1,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,15,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,2,.,三阶行列式包括,3!,项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为,负,.,16,若记,或,17,记,即,18,19,得,20,得,21,则三元线性方程组的解为,:,22,例,解,按对角线法则，有,23,例,3,解,方程左端,24,例,4,解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,25,同理可得,故方程组的解为,:,26,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方,程组引入的,.,对角线法则,二阶与三阶行列式的计算,三、小结,27,思考题,28,思考题解答,解,设所求的二次多项式为,由题意得,得一个关于未知数 的线性方程组,又,得,29,故所求多项式为,30,1.2,全排列及其逆序数,引例,:,用,1,2,3,三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数？,这是一个大家熟知的问题,答案是,:3!=6.,将此问题,推广,:,把,n,个不同的元素按先后次序排成一列,共有多少种不同的排法,.,定义,:,把,n,个不同的元素排成一列,叫做这,n,个元素的,全排列,(,或,排列,).,n,个不同的元素的所有排列的种数,通常用,P,n,表示,称为,排列数,.,P,n,=,n,(,n,1),(,n,2),2 1=,n,!,一、全排列,31,二、排列的逆序数,定义,:,在一个排列,i,1,i,2,i,s,i,t,i,n,中,若数,i,s,i,t,则称这两个数组成一个,逆序,.,例如,:,排列,32514,中,我们规定各元素之间有一个标准次序,.,以,n,个不同的自然数为例,规定,由小到大为标准次序,.,3 2 5 1 4,逆序,逆序,逆序,定义,:,一个排列中所有,逆序,的总数称为此,排列的,逆序数,.,前面的数比后面的数大,32,3 2 5 1 4,逆序数为,3,1,故此排列的逆序数为,:3+1+0+1+0,=,0+1+0+3+1,=,5.,例如,:,排列,32514,中,计算排列逆序数的方法,逆序数为奇数的排列称为,奇排列,;,逆序数为偶数的排列称为,偶排列,.,方法,1:,分别计算出排在,1,2,n,前面比它大的数码的个数并求和,即先分别算出,1,2,n,这,n,个元素的逆序数,则所有元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数,.,33,方法,2:,依次计算出排列中每个元素,前面比它大,的数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数,.,方法,3:,依次计算出排列中每个元素,后面比它小,的数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数,.,34,例,1:,求排列,32514,的逆序数,.,解,:,在排列,32514,中,3,排在首位,则,3,的逆序为,0,;,2,的前面比,2,大的数只有一个,3,故,2,的逆序为,1,;,3 2 5 1 4,没有比,5,大的数,故其逆序为,0,;,个,故其逆序为,3,;,4,的前面比,4,大的数有,1,个,故逆序为,1,.,5,的前面,1,的前面比,1,大的数有,3,即,于是排列,32514,的逆序数为,t,=0+1+0+3+1=5.,35,解,:,此排列为,偶排列,.,例,2:,计算下列排列的逆序数,并讨论其奇偶性,.,(1)217986354.,2 1 7 9 8 6 3 5 4,0,1,0,0,1,3,4,4,5,于是排列,217986354,的逆序数为,:,t,=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18.,(2),n,(,n,1)(,n,2),21,解,:,n,(,n,1)(,n,2),2 1,0,1,2,(,n,1),(,n,2),t,=0+1+2+,+(,n,2)+(,n,1),于是排列,n,(,n,1)(,n,2),21,的逆序数为,:,36,此排列当,n,=4,k,4,k,+1,时为偶排列,;,当,n,=4,k,+2,4,k,+3,时为奇排列,.,(3)(2,k,)1(2,k,1)2(2,k,2)3(2,k,3),(,k,1)(,k,+1),k,.,(2,k,)1(2,k,1)2(2,k,2)3(2,k,3),(,k,1)(,k,+1),k,解,:,0,1,2,1,2,3,3,(,k,1),(,k,1),k,t,=0+1+1+2+2+,+(,k,1)+(,k,1)+,k,于是排列,(2,k,)1(2,k,1)2(2,k,2),(,k,1)(,k,+1),k,的逆序数为,:,此排列当,k,为偶数时为偶排列,当,k,为奇数时为奇排列,.,37,1.,n,个不同的元素的所有排列种数为,n,!,个,;,2.,排列具有奇偶性,;,3.,计算排列逆序数常用的方法,.,三、小结,38,1.3,n,阶行列式的定义,一、概念的引入,三阶行列式,说明,(1),三阶行列式共有,6,项,即,3!,项,.,说明,(2),每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,.,说明,(3),每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列标排列的逆序数,(,行标为标准排列,).,39,例如,a,13,a,21,a,32,将行下标标准排列,列下标排列,312,的逆序数为,t,(312)=1+1=2,偶排列,.,a,13,a,21,a,32,的前面取,+,号,.,例如,a,11,a,23,a,32,将行下标标准排列,列下标排列,132,的逆序数为,t,(132)=0+1=1,奇排列,.,a,11,a,23,a,32,的前面取,号,.,其中,是对列下标的所有排列求和,(3!,项,),t,是列下标排列,p,1,p,2,p,3,的逆序数,.,40,二、,n,阶行列式的定义,定义,:,设由,n,2,个数排成一个,n,行,n,列的数表,作出表中位于不同行不同列的,n,个数的乘积,并冠以符号,(1),t,得到形如,其中,p,1,p,2,p,n,为自然数,1,2,n,的一个排列,t,为排列,p,1,p,2,p,n,的逆序数,.,的项,41,所有这,n,!,项的代数和,称为,(,由上述数表构成的,),n,阶行列式,.,记作,简记作,det(,a,ij,).,数,a,ij,称为行列式,det(,a,ij,)(,第,i,行第,j,列,),的元素,.,即,42,说明,1.,行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的,;,说明,2.,n,阶行列式是,n,!,项的代数和,;,说明,3.,n,阶行列式的每项都是位于不同行,不同列,n,个元素的乘积,的符号为,(1),t,;,说明,4.,一阶行列式的符号,|,a,|=,a,不要与绝对值符号相混淆,一般不使用此符号,.,43,例,1:,计算对角行列式,解,:,分析,.,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零,同理可得,:,p,2,=3,p,3,=2,p,4,=1.,所以只能,p,1,=4;,若,p,1,4,则,即行列式中非零的项为,:,(1),t,(4321),a,14,a,23,a,32,a,41,即,44,例,2:,计算,上三角行列式,解,:,分析,展开式中项的一般形式是,所以非零的项只可能是,:,a,11,a,22,a,nn,.,从最后一行开始讨论非零项,.,显然,p,n,=,n,p,n,1,=,n,1,p,n,2,=,n,2,p,2,=2,p,1,=1,即,45,显然,=1,4,5,8,同理可得,下三角行列式,46,对角行列式,47,例,5:,设,证明,:,D,1,=,D,2,.,中,b,的指数正好是,a,的行标与列标的差,48,证,:,由行列式定义有,49,50,由于,p,1,+,p,2,+,+,p,n,=1+2+,+,n,所以,故,51,行列式是一种根据特殊需要而定义的,特定算式,.,n,阶行列式共有,n!,项,每项都是位于不同行,不同列的,n,个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定,.,三、小结,52,思考题,已知多项式,求,x,3,的系数,.,思考题解答,含,x,3,的项有仅两项,即,对应于,=,x,3,+(2,x,3,),故,x,3,的系数为,(1).,(1),t,(1234),a,11,a,22,a,33,a,44,+(1),t,(1243),a,11,a,22,a,34,a,43,53,一、对换的定义,1.4,对 换,定义,:,在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做,对换,将相邻两个元素对调,叫做,相邻对换,.,a,1,a,2,a,l,a,b,b,1,b,m,a,1,a,2,a,l,b,a,b,1,b,m,a,1,a,2,a,l,a,b,1,b,m,b,c,1,c,n,a,1,a,2,a,l,b,b,1,b,m,a,c,1,c,n,例如,54,二、对换与排列奇偶性的关系,定理,1:,一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性,.,对换,a,与,b,即除,a,b,外,其它元素的逆序数不改变,.,证明,:,先考虑相邻对换的情形,.,a,1,a,2,a,l,a,b,b,1,b,m,a,1,a,2,a,l,b,a,b,1,b,m,例如,因此,相邻对换排列改变奇偶性,.,当,a,b,时,对换后,a,的逆序数不变,b,的逆序数增加,1;,55,a,1,a,2,a,l,a,b,1,b,m,b,c,1,c,n,a,1,a,2,a,l,b,b,1,b,m,a,c,1,c,n,对一般对换的情形,例如,对换,a,与,b,经过,m,次相邻对换,排列,a,1,a,2,a,l,a,b,1,b,m,b,c,1,c,n,对,换为,a,1,a,2,a,l,ab,b,1,b,m,c,1,c,n,再经过,m,+1,次相邻对换,对,换为,a,1,a,2,a,l,b,b,1,b,m,a,c,1,c,n,共经过了,2,m,+1,次相邻对换,.,所以,由相邻对换的结果知,:,一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性,.,56,次相邻对换,次相邻对换,次相邻对换,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变,奇偶性,.,对一般对换的情形,例如,a,1,a,2,a,l,a,b,1,b,m,b,c,1,c,n,a,1,a,2,a,l,b,b,1,b,m,a,c,1,c,n,对换,a,与,b,57,推论,:,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数,.,证明,:,由定理,1,知,对换的次数就是排列奇偶性的,变化次数,而标准排列是偶排列,(,逆序数为,0),论成立,.,因此,推,58,下面讨论,行列式的另一种定义,形式,.,对于行列式的任一项,其中,12,i,j,n,为自然排列,其逆序数,0,t,为列标排列,p,1,p,2,p,i,p,j,p,n,的逆序数,对换元素,59,此时,行标排列,12,j,i,n,的逆序为奇数,而列标排列,p,1,p,2,p,j,p,i,p,n,的逆序也改变了一次奇偶性,.,换后,行标排列逆序与列标排列逆序之和,的,奇偶性不变,即,t,(1,j,i,n,)+,t,(,p,1,p,j,p,i,p,n,),与,t,(,p,1,p,i,p,j,p,n,),具有相同的奇偶性,.,因此,对,故,60,一般地,经过若干次对换行列式的任一项乘积元素的位置后得到的符号仍为,(1),t,.,因此,总可以经过,若干次对换行列式的任一项,得,其中,s,为行下标排列,q,1,q,2,q,n,的逆序数,.,61,定理,2:,n,阶行列式也可定义为,其中,s,为行标排列,q,1,q,2,q,n,的逆序数,并按行标排列求和,.,定理,3:,n,阶行列式也可定义为,其中,t,为行标排列,p,1,p,2,p,n,与列标排列,q,1,q,2,q,n,的逆序数之和,.,并按行标排列,(,或列标排列,),求和,.,因此,我们可以得到行列式的另一种定义形式,:,根据以上讨论,还可以如下定义,62,例,1:,试判断,a,14,a,23,a,31,a,42,a,56,a,65,和,a,32,a,43,a,14,a,51,a,25,a,66,是否六阶行列式中的项,.,解,:,a,14,a,23,a,31,a,42,a,56,a,65,的行标为顺序排列,列标排列的逆序数为,:,t,(431265)=0+1+2+2+0+1=6(,偶数,),所以,a,14,a,23,a,31,a,42,a,56,a,65,是六阶行列式中的项,.,将,a,32,a,43,a,14,a,51,a,25,a,66,的行标按标准次序排列,则其列标排列的逆序数为,:,t,(452316)=0+0+2+2+4+0=8(,偶数,),所以,a,32,a,43,a,14,a,51,a,25,a,66,不是六阶行列式中的项,.,63,解,:,将,a,23,a,31,a,42,a,56,a,14,a,65,的行标按标准次序排列,则其列标排列的逆序数为,:,t,(431265)=0+1+2+2+0+1=6(,偶数,),所以,a,23,a,31,a,42,a,56,a,14,a,65,的前边应带正号,.,例,2:,在六阶行列式中,下列两项各应带什么符号,.,(1),a,23,a,31,a,42,a,56,a,14,a,65,;(2),a,32,a,43,a,14,a,51,a,66,a,25,.,64,项,a,32,a,43,a,14,a,51,a,66,a,25,的行下标与列下标的逆序数之和为,t,(341562)+,t,(234165),=(0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)=6+4=10(,偶数,),所以,a,32,a,43,a,14,a,51,a,66,a,25,的前边应带正号,.,65,例,3,:,用行列式的定义计算,解,:,由于行列式,D,n,每行每列中仅有一个非零元素,所以,D,n,=(1),t,a,1,n,-1,a,2,n,-2,a,n,-1 1,a,n n,D,n,=(1),t,12(,n,1),n,=(1),t,n,!,即,而,t,=,t,(,n,1)(,n,2)21,n,=0+1+2+(,n,3)+(,n,2)+0=(,n,1)(,n,2)/2,所以,66,三、小结,1.,对换排列中的任意两个元素,排列改变奇偶性,.,2.,行列式的三种定义方法,:,其中,r,为行标排列,p,1,p,2,p,n,与列标排列,q,1,q,2,q,n,的逆序数之和,.,并按行标排列,(,或列标排列,),求和,.,67,思考题,证明在全部,n,阶排列中,(,n,2,),奇偶排列各占一半,.,思考题解答,证,:,设在全部,n,阶排列中有,s,个奇排列,t,个偶排列,则,s+t=n,！现来证,s,=,t,.,若,将所有,s,个奇排列的前两个数作对换,则这,s,个奇排列全变成偶排列,故必有,s,=,t=,若,将所有,t,个偶排列的前两个数作对换,则这,t,个偶排列全变成奇排列,如此产生的,s,个偶排列不会超,过所有的,s,个奇排列,所以,t,s,.,过所有的,t,个偶排列,所以,s,t,.,如此产生的,t,个奇排列不会超,68,1.5,行列式的性质,一、行列式的性质,行列式,D,T,称为行列式,D,的,转置行列式,.,记,将,D,的行列互换就得到,69,证明,:,记行列式,D,=det(,a,ij,),的转置行列式为,:,性质,1:,行列式与它的转置行列式相等,即,D,T,=,D,.,按定义,即,b,ij,=,a,ji,(,i,j,=1,2,n,),70,又由行列式的另一种表示得,所以,D,T,=,D,结论成立,说明,:,性质,1,行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的结论,对列也同样成立,.,71,性质,2:,互换行列式的两行,(,列,),行列式变号,.,证明,:,设行列式,72,是由行列式,互换,i,j,(,i,j,时，,则称,A,为,上三角矩阵,.,若当,i,j,时,205,即,C,为上三角矩阵,.,206,方阵的幂和方阵的多项式,定义,设,A,是,n,阶方阵，,k,个,A,的连乘积称为,A,的,k,次幂，记作,即,当,m,，,k,为正整数时，有,只有方阵能定义幂,当,AB,不可交换时，一般,当,AB,可交换时，,207,定义,设,是,x,的,k,次多项式，,A,是,n,阶方阵，则称,为方阵,A,的,n,次多项式,.,208,若,f,(,x,),，,g,(,x,),为多项式，,A,、,B,为,n,阶方阵，则,f,(,A,),g,(,A,)=,g,(,A,),f,(,A,),当,AB,不可交换时，一般,f,(,A,),g,(,B,)=,g,(,B,),f,(,A,),209,特别当矩阵为对角阵,=diag(,1,2,n,),时,则,f,(,),=,a,0,E,+,a,1,+,+,a,k,k,210,211,方阵,A,的多项式可以类似一般多项式一样相乘或分解因式,.,例如,(,E,+,A,)(2,E,A,),=,2,E,+,A,A,2,(,E,A,),3,=,E,3,A,+3,A,2,A,3,.,因为单位矩阵,E,与任意同阶方阵可交换，所以有,212,解,:,例,4:,213,由此归纳出,214,用数学归纳法证明,.,当,k,=2,时,显然成立,.,假设,当,k,=,n,时结论成立,对,k,=,n,+1,时,215,所以对于任意的,k,都有,:,也可利用二项式,定理展开计算,.,216,记,于是,注意到：,217,即当,时，,所以,218,219,四、矩阵的转置,定义,:,把矩阵,A,的行列互换,所得到的新矩阵,叫做,矩阵,A,的转置矩阵,记作,A,T,.,例如,:,220,(1)(,A,T,),T,=,A,;,(2)(,A,+,B,),T,=,A,T,+,B,T,;,(3)(,A,),T,=,A,T,;,(4)(,AB,),T,=,B,T,A,T,;,转置矩阵的运算性质,一般地,221,证明（,4,）,设,首先容易看到,与,为同型矩阵,.,因为,所以,的第,i,行第,j,列,的元素为,222,又因为,中第,i,行的元素为,B,中第,i,列的元素,中第,j,列的元素为,A,中第,j,行的元素,于是,的第,i,行第,j,列元素为,故,223,解法,1:,因为,例,5:,已知,求,(,AB,),T,.,所以,解法,2:,(,AB,),T,=,B,T,A,T,224,例,6,：,设,（,1,）,的第,i,行第,j,列的元素为,（,2,）,的第,i,行第,j,列的元素为,（,3,）,的第,i,行第,j,列的元素为,225,设,A,=,(,a,ij,),为,n,阶方阵,对任意,i,j,如果,a,ij,=,a,ji,都成立,则称,A,为,对称矩阵,;,如果,a,ij,=,a,ji,都成立,则称,A,为,反对称矩阵,;,显然，若,A,是反对称矩阵，那么对任意,i,，,有,226,由矩阵转置和对称矩阵、反对称矩阵的定义可得,:,方阵,A,为对称矩阵的充分必要条件是,:,A,=,A,T,.,方阵,A,为反对称矩阵的充分必要条件是,:,A,=,A,T,.,227,证明,:,因为,例,7:,设列矩阵,X,=,(,x,1,x,2,x,n,),T,满足,X,T,X,=1,E,为,n,阶单位矩阵,H,=,E,2,XX,T,证明,:,H,为对称矩阵,且,HH,T,=,E,.,H,T,=,(,E,2,XX,T,),T,=,E,T,2(,XX,T,),T,=,E,2,XX,T,=,H,.,所以,H,为对称矩阵,.,=,E,2,E,(2,XX,T,),(2,XX,T,),E,+,(2,XX,T,)(2,XX,T,),=,E,4,XX,T,+,4(,XX,T,)(,XX,T,),=,E,4,XX,T,+,4,X,(,X,T,X,),X,T,=E,4,XX,T,+,4,XX,T,=E,HH,T,=,H,2,=(,E,2,XX,T,),2,228,例,8:,证明任一,n,阶方阵,A,都可表示成对称阵与反对称阵之和,.,证明,:,设,C,=,A,+,A,T,所以,C,为对称矩阵,.,从而,命题得证,.,则,C,T,=,(,A,+,A,T,),T,=,A,T,+,A,=,C,设,B,=,A,A,T,则,B,T,=,(,A,A,T,),T,=,A,T,A,=,B,所以,B,为反对称矩阵,.,229,五、方阵的行列式,定义,:,由,n,阶方阵,A,的元素所构成的行列式叫做,方阵,A,的行列式,记作,|,A,|,或,det,A,.,例如,:,则,方阵行列式的运算性质,|,A,T,|=|,A,|;,|,k,A,|=,k,n,|,A,|;,(3)|,AB,|=|,A,|,B,|=|,B,|,A,|=|,BA,|.,230,定理：,设,A,、,B,是两个,n,阶方阵，则,思路：,利用分块行列式的结论，行列式的性质,6,及矩阵乘法的定义,.,对于同阶方阵,A,和,B,，一般,AB,BA,，但是,|,AB,|=|,BA,|,231,232,继续做,233,重要例子,例,9,.,设,其中,是行列式,|,A,|,中元素,的代数余子式,.,矩阵,A,的伴随矩阵,注意其元素的下标,证明：,（,2,）当,|,A,|,不等于,0,时，,称,为矩阵,A,的伴随矩阵。,234,证：设,其中,于是,235,两边取行列式得,:,因为,所以,类似可证：,236,六、共轭矩阵,定义,:,当,A,=,(,a,ij,),为复矩阵时,用 表示,a,ij,的共轭复数,记,称 为,A,的共轭矩阵,.,运算性质,设,A,B,为复矩阵,为复数,且运算都是可行的,则,:,237,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,对称阵与伴随矩阵,方阵的行列式,共轭矩阵,五、小结,(1),只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算,.,(2),只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两矩阵才能相乘,且矩阵相乘,不满足交换律,.,(3),矩阵的数乘运算与行列式的性质,3,不同,.,注意,238,思考题,思考题解答,设,A,与,B,为,n,阶方阵,等式,A,2,B,2,=,(,A,+,B,)(,A,B,),成立的充要条件是什么,?,答,:,因为,(,A,+,B,),(,A,B,),=,A,2,+,BA,AB,B,2,故等式,A,2,B,2,=,(,A,+,B,)(,A,B,),成立的充要条件是,:,AB,=,BA,.,239,作业：,P53,54,3,，,4,，,7,，,9,，,10,240,在数的运算中,当数,a,0,时,有,aa,-1,=,a,-1,a,=1.,在矩阵的运算中,单位阵,E,相当于数的乘法运算中,的,1,那么,对于矩阵,A,如果存在一个矩阵,A,-1,使得,为,a,的倒数,或称,a,的逆,(,元,).,其中,AA,-1,=,A,-1,A,=,E,则矩阵,A,称为可逆矩阵,称,A,-1,为,A,逆阵,.,一、逆矩阵的概念和性质,2.3,逆 矩 阵,241,或者从线性变换的观点来看：,给定线性变换,若记其,系数矩阵,则线性变换可记为：,242,若,记,则上式可以写作：,这是一个从,Y,到,X,的线性变换，,它是线性变换,的逆变换,.,243,为恒等变换,则有：,244,定义,:,对于,n,阶方阵,A,如果存在一个,n,阶方阵,B,使得,AB,=,BA,=,E,则称矩阵,A,是可逆的,并称矩阵,B,为,A,的逆矩阵,.,A,的逆,矩阵记作,A,-1,即,（,1,）,A,与,为同阶方阵；,（,2,）若,B,是,A,的逆矩阵，那么,A,也是,B,的逆矩阵,;,(3),245,例如,:,设,由于,AB,=,BA,=,E,所以,B,为,A,的逆矩阵,.,246,说明,:,若,A,是可逆矩阵,则,A,的逆矩阵是,唯一的,.,事实上,:,若设,B,和,C,是,A,的逆矩阵,则有,所以,A,的逆矩阵是唯一的,即,AB,=,BA,=,E,AC,=,CA,=,E,可得,:,B,=,EB,=(,CA,),B,=,C,(,AB,)=,CE,=,C,.,B,=,C,=,A,-1,.,247,解,:,利用待定系数法,.,例,1:,设,求,A,的逆矩阵,.,是,A,的逆矩阵,设,即,则,248,又因为,则,解得,所以,即,A,B,=,B,A,=,E,如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的,必须寻求可行而有效的方法,.,249,证明,:,若,A,可逆,则有,A,-1,使得,AA,-1,=,E,.,定理,1:,矩阵,A,可逆的充要条件是,|,A,|,0,且,其中,A,*,为矩阵,A,的伴随矩阵,.,故,|,A,|,A,-1,|,=,|,E,|,=,1,所以,|,A,|,0,.,250,由,伴随矩阵的性质,:,AA,*=,A,*,A,=,|,A,|,E,知,当,|,A,|,0,时,按逆矩阵的定义得,251,说明：,（,1,）该定理揭示了矩阵可逆的充要条件，,并给出了逆矩阵的一种求法,公式法,.,(2),上（下）三角矩阵可逆当且仅当,主对角元全不为,0,，且当,时,这里逆矩阵由定义得到！,252,若,当,1,2,n,0,时，,A,可逆，且,253,例,2,、当,a,，,b,满足什么条件时，矩阵,A,不可逆，其中,254,解：,255,由矩阵可逆的充要条件可知：,当,a,=1,或,b,=2,时，,A,不可逆,.,256,当,|,A,|,=,0,时,称,A,为,奇异矩阵,否则称,A,为,非奇异矩阵,.,由此可得,A,是可逆矩阵的充分必要条件是,A,为非奇异矩阵,.,若,A,可逆，那么由,AB,=,O,B,=,O,由,AB,=,AC,B,=,C,257,证明,:,由,AB,=,E,得,|,A,|,|,B,|,=,|,E,|,=,1,推论,:,若,AB,=,E,(,或,BA,=,E,),则,B,=,A,-1,.,故,|,A,|,0,.,因而,A,-1,存在,于是,B,=,EB,=(,A,-1,A,),B,=,A,-1,(,AB,)=,A,-1,E,=,A,-1,.,故结论成立,.,推论说明：若,AB,E,，则一定有,BA,E,.,258,当,|,A,|,0,时,定义,A,0,=,E,A,-,k,=(,A,-1,),k,(,k,为正整数,).,且此时对任意整数,有,A,A,=,A,+,(,A,),=,A,.,259,逆矩阵的运算性质,(1),若矩阵,A,可逆,则,A,-1,亦可逆,且,(,A,-1,),-1,=,A,.,(2),若矩阵,A,可逆,且,0,则,A,亦可逆,且,260,若,A,B,为同阶可逆方阵,则,AB,亦可逆,且,(,AB,),-1,=,B,-1,A,-1,.,证明,:,(,AB,)(,B,-1,A,-1,)=,A,(,BB,-1,),A,-1,=,AEA,-1,=,AA,-1,=,E,所以,(,AB,),-1,=,B,-1,A,-1,.,一般地,261,证明,:,(4),若矩阵,A,可逆,则,A,T,亦可逆,且,(,A,T,),-1,=(,A,-1,),T,.,A,T,(,A,-1,),T,=(,A,-1,A,),T,=,E,T,=,E,所以,(,A,T,),-1,=(,A,-1,),T,.,求转置和求逆可以换序,.,262,(5),若矩阵,A,可逆,则有,|,A,-1,|=|,A,|,-1,.,证明,:,因为,AA,-1,=,E,所以,|,A,|,|,A,-1,|,=,|,E,|,=,1,因此,|,A,-1,|=|,A,|,-1,.,263,注意：,（,1,）当,A,，,B,可逆时，,A,+,B,不一定可逆；,即使,A+B,可逆，一般,反例：设,A,可逆，取,B,=,A,，,显然,B,可逆，但,A+B=O,不可逆,.,264,取,A,diag,（,2,，,1,），,B,diag,（,1,，,2,），,此时,A,+,B,=,diag,(3,1),可逆，且,显然,265,的逆矩阵,.,例,3:,求方阵,解,:,因为,二、关于逆矩阵的求法,所以,A,-1,存在,.,266,同理可得,所以,故,267,解,:,例,4,:,下列矩阵,A,B,是否可逆,?,若可逆,求其逆矩阵,.,所以,A,可逆,.,由于,268,同理可得,所以,由于,故,B,不可逆,.,269,例,4:,求,的逆矩阵,(,ad,bc,0,).,解,:,用伴随矩阵的方法求,A,逆阵,.,|,A,|,=,ad,bc,0,.,A,11,=,d,A,21,=,b,A,12,=,c,A,22,=,a,.,设,则,A,可逆且,270,则,求,二阶矩阵,A,的逆,可用“,两换一除,”的方法,其做法如下,:,先将矩阵,A,中的主对角元素调换其位置,再将次对,角元素调换其符号,最后用,A,的行列式,|,A,|,除矩阵,A,的每一个元素,即可得,A,的逆矩阵,A,-1,.,271,利用公式求,A,的逆矩阵，要注意：,（,1,）不要忘记除以,|A|;,(2),注意,A,的伴随矩阵的定义和其中元素的符号；,（,3,）适用范围：特殊矩阵，低阶矩阵,.,求出,A,的逆矩阵后，可以检查其正确性：,（做矩阵乘法）,272,例,5:,设,问线性方程组,AX=b,是否有解？如有解，求其解,.,解,:,由于,所以,AX=b,有唯一解，且由,AX=b,可得,即,273,因为,所以,274,例,5:,设,求矩阵,X,使其满足,AXB,=,C,.,解,:,由于,所以,A,-1,B,-1,都存在,.,且,275,又由,AXB,=,C,得,A,-1,AXBB,-1,=,A,-1,CB,-1,则,X,=,A,-1,CB,-1,.,于是,X,=,A,-1,CB,-1,276,例,6:,解矩阵方程,解,:,给方程两端左乘矩阵,得,所以,277,例,7:,设方阵,A,满足矩阵方程,A,2,A,2,E,=,O,证明,:,A,A,+2,E,都可逆,并求它们的逆矩阵,.,证明,:,由,A,2,A,2,E,=,O,得,A,(,A,E,)=2,E,则,故,A,可逆,且,A,-1,=,又由,可得,因为,A,可逆，所以,A,2,E,可逆，且,278,又由,A,2,A,2,E,=,O,得,(,A,+2,E,)(,A,3,E,)+4,E,=,O,则,故,(,A,+2,E,),可逆,且,(,A,+2,E,),-1,=,或者,279,例,8:,设三阶方阵,A,B,满足关系式,:,A,-1,BA,=6,A,+,BA,且,求,B,.,解,:,由于,|,A,|=1/56,0,由,A,-1,BA,=6,A,+,BA,得,A,-1,BA,BA,=6,A,所以,A,可逆,且,A,-1,=,则,(,A,-1,E,),BA,=6,A,280,由于,(,A,-1,E,)=,所以,(,A,-1,E,),可逆,且,(,A,-1,E,),-1,=,由,A,和,(,A,-1,E,),可逆可,得,:,B,=6(,A,-1,E,),-1,281,例,9:,设,且,AP,=,P,求,A,n,.,解,:,由于,|,P,|,=2,A,=,P,P,-1,A,2,=,P,P,-1,P,P,-1,=,P,P,-1,=,P,2,P,-1,A,m,=,P,m,P,-1,282,则,A,n,=,P,n,P,-1,而,283,例,10,.,设,为非零实矩阵，证明：若,则,A,可逆,.,证明：设,284,那么,于是由条件,可得,又因为,A,为非零实矩阵，所以,且至少有一个不等于,0,，假设,285,将,A,按照第,行展开得：,所以,A,可逆,.,286,例,11,.,设,A,，,B,均为,n,阶可逆矩阵，证明,证明：,（,1,）因为,A,，,B,可逆，所以,|AB|=|A|B|,0,从而,A,B,可逆,.,由,得：,287,（,2,）因为,所以,且,于是,288,小结,逆矩阵的概念及运算性质,;,逆矩阵,A,-1,存在当且仅当,|,A,|,0.,逆矩阵的计算方法,:,(1),待定系数法,;,(3),初等变换法,(,下一节介绍,).,(2),伴随矩阵法,:,289,思考题,思考题解答,若,A,可逆,那么矩阵方程,AX,=,B,(,或,YA,=,B,),是否有唯一解,:,X,=,A,-1,B,(,或,X,=,BA,-1,)?,若当,A,为奇异方阵时,上述方程可能有解但不唯一,也可能无解,.,是的,!,这是由,A,-1,的唯一性决定的,.,290,作业：第,96,97,页,40,（,2,）（,4,）（,5,）,41,（,1,）（,3,）,42,46,291,