三角形的证明经典讲义.doc

第二章三角形的证明
1．等腰三角形
一、主要知识点
1、 证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。
2、 等腰三角形的有关知识点。
等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
3、 等边三角形的有关知识点。
判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
三条边都相等的三角形是等边三角形；
三个角都是60°的三角形是等边三角形；
有两个叫是60°的三角形是等边三角形。
性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。
4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出 与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法
二、重点例题分析
例1: 如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=M A.
例2 如右图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.
例3： 如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,
求证: ① AC＝AD； ②CF＝DF。
例4 如图1、图2，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，
（1）在图1中，AC与BD相等吗？请说明理由（4分）
（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC与BD还相等吗？为什么？
例5 如图，在△ABC中，AB=AC、D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且CE=BD，连结DE交BC于F。（1）猜想DF与EF的大小关系；（2）请证明你的猜想。
例6 证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角.
2．直角三角形
一、主要知识点
1、直角三角形的有关知识。
直角三角形两条直角边的平方与等于斜边的平方；
如果三角形两边的平方与等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
2、互逆命题、互逆定理
在两个命题中，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
二、典型例题分析
例1 ：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
（1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）如果ab=0,那么a=0,b=0；
（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等
例2：如图，中，，求的长。
例3 ：如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。
例4：如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
例5 ：如图2-5所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．
3.线段的垂直平分线 4.角平分线
一、主要知识点
1、 线段的垂直平分线。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
2、 角平分线。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
3、 逆命题、互逆命题的概念，及反证法
如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
二、重点例题分析
例1：（1）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝，求∠NMB的大小
（2）如果将（1）中∠A的度数改为，其余条件不变，再求∠NMB的大小　
（3）你发现有什么样的规律性？试证明之.
（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改
A
B
C
N
M
A
B
C
N
M
A
B
C
N
M

例2：在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D，若AC=6，BC=4，求△BCF的周长。
例3：如图所示，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于点E。求证：直线AB是线段CD的垂直平分线。
例4：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点，，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。
例5:：如图所示，Rt△ABC中，，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。求证：BE垂直平分CD。
例6:：在⊿ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，与
2
1
∠ACB的角平分线交于点E，与∠ACB的外角平分线交于点F，求证：OE=OF
A
O
F
E
C
B
M
N

例7、如图所示，AB>AC，的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作于E，，求证：BE=CF。
相应练习
P
Q
E
D
C
B
A
1、 如图，在△ABC中，AB=AC=BC，AE= CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q。求证：BP=2PQ
2、 如图，△ABC中，AB= AC，P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且BP=CQ，BQ=CR。
Q
R
P
B
C
A
求证：点Q在PR的垂直平分线上。
3、 如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF。
E
D
F
C
B
A
求证：∠B=∠CAF
4、 已知：如图，AB∥CD，∠BAC的角平分线与∠DCA的角平分线交于点M，经过M的直线EF与AB垂直，垂足为F，且EF与CD交于E
求证：点M为EF的中点
E
C
M
A
D
F
B

第二章三角形的证明单元训练题
一、精心选一选，慧眼识金（每小题3分，共30分）
1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（ ）去配.
A. ① B. ② C. ③ D. ①与②
2．下列说法中，正确的是（ ）.
A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等
D．面积相等的两个三角形全等
3．如图2，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm，那么AC长为（ ）.
A．4cm B．5cm C．8cm D．cm
4．如图3，在等边中，分别是上的点，且，AD与BE相交于点P，则的度数是（ ）.
A． B． C． D．
5．如图4，在中，AB=AC，，BD与CE分别是与的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段与字母）的个数为（ ）.
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
6．如图5，表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）.
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
7．如图6，A、C、E三点在同一条直线上，△DAC与△EBC都是
等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结
论：① △ACE≌△DCB；② CM＝CN；③ AC＝DN. 其中，正确结论的个数是（ ）.
A．3个 B．2个 C． 1个 D．0个
8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E 在同一条直线上（如图7），可以证明≌，得ED=AB. 因此，测得DE的长就是AB的长，在这里判定≌的条件是( ).
A．ASA B．SAS C．SSS D．HL
9．如图8，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的
图8
位置，BE交AD于点F.
求证：重叠部分（即）是等腰三角形.
证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC
又∵与关于BD对称，
∴ . ∴是等腰三角形.
请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（ ）.
A．①③ B．②③ C．②① D．③④
10.如图9，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，且
BC＝a，BC边上的高AD＝h. 张红的作法是：（1）作线段
BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相
交于点D；（3）在直线MN上截取线段h；（4）连结AB，
AC，则△ABC为所求的等腰三角形.
上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）.
A. （1）　　　B. （2）　　C. （3）　　D. （4）
二、细心填一填，一锤定音（每小题3分，共30分）
1．如图10，已知，在△ABC与△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使
△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是____________.
2．如图11，在中，，分别过点作经过点A的直线的垂线段BD，CE，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE的长为_______.
3．如图12，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC等于_________度.
4．如图13，在等腰中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若 的周长为50，则底边BC的长为_________.
5．在中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为，则
底角B的大小为________.
6．在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方与
等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段
垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的
距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是________.(填序号)
7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B
与点A重合，折痕为DE，则CD的长为________.
8．如图15，在中，AB=AC，，D是BC上任意一点，分别做DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如果BC=20cm，那么DE+DF= _______cm.
9．如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC
于点，若，则_______ .
10．如图17，有一块边长为24m的长方形绿地，在绿地旁边B处有健身
器材， 由于居住在A处的居民践踏了绿地，小颖想在A处立一个标
牌“少走_____步，踏之何忍？”但小颖不知在“_____”处应填什么
数字，请你帮助她填上好吗？（假设两步为1米）？
三、耐心做一做，马到成功（本大题共48分）
1．（7分）如图18，在中，，CD是AB边上的高，
. 求证：AB= 4BD.
2．（7分）如图19，在中，，AC=BC，AD平分
交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm. 你能否求出的
周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.
3．（10分）如图20，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，
BE与CD相交于O点. 现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC；
③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD.
(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：
命题的条件是 与 ，命题的结论是 与 (均填序号).
(2)证明你写出的命题.
已知：
求证：
证明：
图21
4．（8分）如图21，在中，，AB=AC，的
平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E.
求证：.
5．（8分）如图22，在中，.
（1）用圆规与直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等.
（保留作图痕迹，不写作法与证明）；
（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数.
图23
6．（8分）如图23，，OM平分，将直角三角板的顶
点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问
PC与PD相等吗？试说明理由.
图24
四、拓广探索（本大题12分）
如图24，在中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，
交BC的延长线于点M，若.
（1）求的度数；
（2）如果将（1）中的度数改为，其余条件不变，再求
的度数；
（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；
（4）若将（1）中的改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？
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