三角形的证明经典讲义.doc

第二章三角形的证明
1．等腰三角形
一、主要知识点
1、 证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。
2、 等腰三角形的有关知识点。
等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
3、 等边三角形的有关知识点。
判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
三条边都相等的三角形是等边三角形；
三个角都是60°的三角形是等边三角形；
有两个叫是60°的三角形是等边三角形。
性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。
4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出 与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法
二、重点例题分析
例1: 如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=M A.
例2 如右图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.
例3： 如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,
求证: ① AC＝AD； ②CF＝DF。
例4 如图1、图2，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，
（1）在图1中，AC与BD相等吗？请说明理由（4分）
（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC与BD还相等吗？为什么？
例5 如图，在△ABC中，AB=AC、D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且CE=BD，连结DE交BC于F。（1）猜想DF与EF的大小关系；（2）请证明你的猜想。
例6 证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角.
2．直角三角形
一、主要知识点
1、直角三角形的有关知识。
直角三角形两条直角边的平方与等于斜边的平方；
如果三角形两边的平方与等于第三边的平方那么这个三角形是直角三角形；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
2、互逆命题、互逆定理
在两个命题中，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
二、典型例题分析
例1 ：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
（1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）如果ab=0,那么a=0,b=0；
（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等
例2：如图，中，，求的长。
例3 ：如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。
例4：如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
例5 ：如图2-5所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．
3.线段的垂直平分线 4.角平分线
一、主要知识点
1、 线段的垂直平分线。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
2、 角平分线。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
3、 逆命题、互逆命题的概念，及反证法
如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
二、重点例题分析
例1：（1）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝，求∠NMB的大小
（2）如果将（1）中∠A的度数改为，其余条件不变，再求∠NMB的大小　
（3）你发现有什么样的规律性？试证明之.
（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改
A
B
C
N
M
A
B
C
N
M
A
B
C
N
M

例2：在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D，若AC=6，BC=4，求△BCF的周长。
例3：如图所示，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于点E。求证：直线AB是线段CD的垂直平分线。
例4：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点，，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。
例5:：如图所示，Rt△ABC中，，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。求证：BE垂直平分CD。
例6:：在⊿ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，与
2
1
∠ACB的角平分线交于点E，与∠ACB的外角平分线交于点F，求证：OE=OF
A
O
F
E
C
B
M
N

例7、如图所示，AB>AC，的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作于E，，求证：BE=CF。
相应练习
P
Q
E
D
C
B
A
1、 如图，在△ABC中，AB=AC=BC，AE= CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q。求证：BP=2PQ
2、 如图，△ABC中，AB= AC，P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且BP=CQ，BQ=CR。
Q
R
P
B
C
A
求证：点Q在PR的垂直平分线上。
3、 如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF。
E
D
F
C
B
A
求证：∠B=∠CAF
4、 已知：如图，AB∥CD，∠BAC的角平分线与∠DCA的角平分线交于点M，经过M的直线EF与AB垂直，垂足为F，且EF与CD交于E
求证：点M为EF的中点
E
C
M
A
D
F
B

第二章三角形的证明单元训练题
一、精心选一选，慧眼识金（每小题3分，共30分）
1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（ ）去配.
A. ① B. ② C. ③ D. ①与②
2．下列说法中，正确的是（ ）.
A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等
D．面积相等的两个三角形全等
3．如图2，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm，那么AC长为（ ）.
A．4cm B．5cm C．8cm D．cm
4．如图3，在等边中，分别是上的点，且，AD与BE相交于点P，则的度数是（ ）.
A． B． C． D．
5．如图4，在中，AB=AC，，BD与CE分别是与的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段与字母）的个数为（ ）.
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
6．如图5，表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）.
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
7．如图6，A、C、E三点在同一条直线上，△DAC与△EBC都是
等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结
论：① △ACE≌△DCB；② CM＝CN；③ AC＝DN. 其中，正确结论的个数是（ ）.
A．3个 B．2个 C． 1个 D．0个
8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E 在同一条直线上（如图7），可以证明≌，得ED=AB. 因此，测得DE的长就是AB的长，在这里判定≌的条件是( ).
A．ASA B．SAS C．SSS D．HL
9．如图8，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的
图8
位置，BE交AD于点F.
求证：重叠部分（即）是等腰三角形.
证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC
又∵与关于BD对称，
∴ . ∴是等腰三角形.
请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（ ）.
A．①③ B．②③ C．②① D．③④
10.如图9，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，且
BC＝a，BC边上的高AD＝h. 张红的作法是：（1）作线段
BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相
交于点D；（3）在直线MN上截取线段h；（4）连结AB，
AC，则△ABC为所求的等腰三角形.
上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）.
A. （1）　　　B. （2）　　C. （3）　　D. （4）
二、细心填一填，一锤定音（每小题3分，共30分）
1．如图10，已知，在△ABC与△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使
△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是____________.
2．如图11，在中，，分别过点作经过点A的直线的垂线段BD，CE，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE的长为_______.
3．如图12，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC等于_________度.
4．如图13，在等腰中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若 的周长为50，则底边BC的长为_________.
5．在中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为，则
底角B的大小为________.
6．在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方与
等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段
垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的
距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是________.(填序号)
7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B

与点A重合，折痕为DE，则CD的长为________.
8．如图15，在中，AB=AC，，D是BC上任意一点，分别做DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如果BC=20cm，那么DE+DF= _______cm.
9．如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC
于点，若，则_______ .
10．如图17，有一块边长为24m的长方形绿地，在绿地旁边B处有健身
器材， 由于居住在A处的居民践踏了绿地，小颖想在A处立一个标
牌“少走_____步，踏之何忍？”但小颖不知在“_____”处应填什么
数字，请你帮助她填上好吗？（假设两步为1米
三、耐心做一做，马到成功（本大题共48分）
1．（7分）如图18，在中，，CD是AB边上的高，
. 求证：AB= 4BD.
2．（7分）如图19，在中，，AC=BC，AD平分
交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm. 你能否求出的
周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.
3．（10分）如图20，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，
BE与CD相交于O点. 现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC；
③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD.
(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：
命题的条件是 与 ，命题的结论是 与 (均填序号).
(2)证明你写出的命题.
已知：
求证：
证明：
图21
4．（8分）如图21，在中，，AB=AC，的
平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E.
求证：.
5．（8分）如图22，在中，.
（1）用圆规与直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等.
（保留作图痕迹，不写作法与证明）；
（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数.
图23
6．（8分）如图23，，OM平分，将直角三角板的顶
点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问
PC与PD相等吗？试说明理由.
图24
四、拓广探索（本大题12分）
如图24，在中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，
交BC的延长线于点M，若.
（1）求的度数；
（2）如果将（1）中的度数改为，其余条件不变，再求
的度数；
（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；
（4）若将（1）中的改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？
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